数学建模航空公司的预订票策略
预订票策略
数学建模论文（设计）题目：航空公司预订票策略问题学生姓名于会杰学号201431180指导教师窦霁虹院系数学学院专业学科教学（数学）年级14 级航空公司预订票策略摘要随着经济的发展及技术的进步，交通运输行业相继出现了一批速度更快、性能更安全的交通工具，这也使得交通运输业的竞争趋于白热化。
尤其是高速铁路的快速发展，打破了航空客运在速度和时间方面的优势，对其在中长途客运中的优势地位造成了巨大的冲击。
面对越来越激烈的竞争环境，纵观航空客运业的发展，却还存在很多的问题和不足。
为了尽快改善不利的现状，提出了航空预订票业务。
预订票业务是航空公司为争取更多的客源而提供的一种优质服务。
预订票也就是航空公司承诺预先订票的乘客如果没有按时前来登机，乘客可以乘坐下一班或者退票，并且无需附加任何费用。
若航空公司预订票数量为飞机容量，那么总会出现部分乘客因某种原因不按时登机，于是使飞机不满员而利润降低或亏本；若航空公司预订票数量太多，则会出现那些本已订好了某家航空公司的某趟航班的乘客，却被意外地告知此趟航班已满，公司不管以什么方式补救总会引起乘客的抱怨，导致荣誉受损和赔偿其损失。
本文就是基于怎么样确定预订票的数量使得航空公司收益最大化的预订票策略分析。
关键字：航空公司，预订票，收益最大化，策略分析一、问题背景中国民航业很长时间以来都是全球民航关注的焦点，即便是在世界民航业全面衰退的2008年，中国民航市场也保持了惊人的增加速度。
目前我国各航空公司的上座率大都在百分之八十以上，这在国际民航中已经是非常了不起的成绩，然而要在激烈的市场竞争中立于不败之地，就要采取更多优质的服务来争取更多的客源进一步提高上座率进而取得更大的利润。
预订票业务是一种可以争取到更多的客源行之有效的策略。
简单来说预订票就是要售出比航班容量更多的票，因为总会有些旅客不能按时到达，不按时到达的旅客可以改签到其他航班而不承受别的风险，旅客会接受这种服务而使得预订票策略是可行的，这个策略的风险在于有可能因为到达机场的旅客超过了航班容量，即便在补救措施的情况下，仍然会使得航空公司的社会声誉和经济效益同时造成到达机场而不能按时起飞的旅客不满。
航空预订票数学建模.doc
航空预订票数学建模航空预订票数学建模篇1试谈机票订票模型与求解一、概述１．问题背景描述在激烈的市场竞争中，航空为争取更多的客而开展的一个优质服务项目是预订票业务,本模型针对预订票业务，建立二元规划订票方案，既考虑航空的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得美誉。
航空的经济利润可以用机票收入除飞行费用和赔偿金后的利润衡量,声誉可以用持票按时前登记、但因满员不能飞走的乘客，即被挤掉者限制在一定数量为标准，这个问题的关键因素――预订票的成可是否按时前登机是随机的，所以经济利益和声誉两个指标都应该在平均意义下衡量。
针对此种现象，航空一般都采用超量订票的运营模式，即每班售出票数大于飞机客数。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票.航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法，即每班售出票数大于飞机客数.但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下,航空让超员旅客改乘其它航班,并给旅客机票价的20%作为补偿。
为了减少发生持票登机旅客多于座位数的情况,航空需要对乘客数量进行统计，从而对机票预售量做出一定估算,从而获得最大的利润。
2。
问题的提出某航空执行两地的飞行任务。
已知飞机的有效客量为１50人。
按民用航空管理有关规定旅客因有事或误机,机票可免费改签一次，此外也可在飞机起飞前退票。
航空为了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法,即每班售出票数大于飞机客数。
但由此会发生持票登机旅客多于座位数的情况,在这种情况下，航空让超员旅客改乘其它航班，并给旅客机票价的２０％作为补偿。
要求（１）假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票，使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大，最大利润为多少？3。
分析与建立模型(1)假设两地的机票价为1500元,每位旅客有0.04的概率发生有事、误机或退票的情况,问航空多售出多少张票,使该的预期损失达到最小?（2）上述参数不变的情况下，问航空多售出多少张票，使该的预期利润达到最大,最大利润为多少?设飞机的有效客数为N，超订票数为S（即售出票数为NS），k为每个座位的盈利值，h为改乘其他航班旅客的补偿值。
数学建模 航空公司的预订票策略说课材料
数学建模航空公司的预订票策略书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为:function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p);y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。
数学建模(航空公司的预定票策略).
数学建模竞赛承诺书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： B我们的队号为：11参赛队员：1. 电子0903 徐路源2. 数学0901 王璐璐3. 数学0901 张乐孝指导教师或指导教师组负责人：数模组日期： 2010 年 8 月 10 日评阅编号（由评阅老师评阅前进行编号）：.数学建模竞赛编号专用页评阅编号：预测机票价格和预定数量限额最优问题摘要本文所要讨论的问题可以归结为一个趋势拟合和基于二项分布求最优决策的问题。
建立了两个模型：分别用来预测机票的未来价格和求机票的预定限额。
首先我们根据所给的2005年10月～2010年3月期间，每月经济舱机票平均价格(单位:元)数据，通过Matlab 软件用函数去拟合，所得函数即为机票预订价格的数学模型。
可表示为：f(x)=a1*exp(-((x-b1)/c1)^2)+a2*exp(-((x-b2)/c2)^2)+a3*exp(-((x-b3)/c3)^2)+a4*exp(-((x-b4)/c4)^2) +a5*exp(-((x-b5)/c5)^2) + a6*exp(-((x-b6)/c6)^2)但在预测中发现，由模型所得参考价格不合实际。
单方面拟合出的模型并不具有实际价值。
之后我们采用趋势外推法中最小二乘法的周期波动模型来解题。
通过与实际价格的比较，发现其误差较小且置信度较高。
所以我们得到的机票预定价格的数学模型即为)122sin(*4632.0)122cos(*9938.0)122sin(0239.58)122cos(*9355.492690.73877.638~xx x x xx ytππππ-+-++=价格随时间呈周期性变化，每过一个周期价格略有上升。
全国大学生数学建模竞赛2009年D题_讲解
问题分析和解决方法从题目要求出发，主要需要解决三个问题：1）预测本届会议与会代表的数量, 并确定需要预订各类客房的数量；2）确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量；3）确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室以及租车的规格和数量。
问题1是求解问题2，3的前提，首先应该根据附表2，3的数据对本届会议与会代表的数量进行预测。
确定预订客房总量时，应使会议筹备组在订房上的损失尽量小，损失包括：预订客房数超过实际用量时需要支付的一天空房费；预订客房数不够时引起代表不满的“费用”，后者要用适当的数学表达式加以量化。
根据附表2数据中本届会议的代表所需要6种类型的客房的比例，可由预订客房的总量得到预定各类客房的数量。
问题2主要应考虑筹备组管理的方便及代表的满意，如满足代表在合住或独住及价位方面的需求、预订的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
若建立优化模型，可以用宾馆总数最少为目标函数，以满足代表在合住或独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，以在哪几家宾馆订房及各类客房订多少间为决策变量。
以宾馆总数最少为目标的优化模型其最优解一般不唯一，可以再考虑宾馆间的距离、客房价格等因素，从几个解中选出相对较好的一个。
问题3主要应考虑租用会议室和客车的总费用尽量小、会议室所在的宾馆总数尽量少、距离上尽量靠近等。
租车要考虑多少代表参加哪个分组会议, 题目中没有这方面的信息, 可以按照平均的、随机的方式处理。
当建立优化模型时, 可用租借会议室和客车的总费用最少为目标函数, 以满足对会议室数量、大小及租车的需要为约束条件, 以租用会议室和车辆的规格、数量为决策变量。
将问题2, 3统一建立模型并求解有一定困难, 可在问题2几个解的基础上解问题3，通过比较得出最后结果。
一种参考解法1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量设有n届同类型会议的历史数据可利用(n较小, 本题n=4)第i届发来回执的代表数量ai第i届发来回执但未与会的代表数量bi第i届未发回执而与会的代表数量ci第i届与会代表数量di= ai- bi+ ci•比例法预测第i届与会代表占发来回执数量的比例ei= di/ai emean，emax本届发来回执数量A预测本届会议与会代表数量Nmean=Aemean=661Nmax=Aemax=6781. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量• 建立di 对ai的回归模型用线性模型预测本届会议与会代表数量N =638确定预订客房的总量考虑两种可能的损失：空房费；代表不满的量化“费用”• 适当提高预测的与会代表数量•对未发回执而与会的代表另作安排 • 参考“航空公司的预订票策略”模型（姜启源等：《数学模型（第三版）第284页》1. 预测本届会议的与会代表数量确定需要预订各类客房的数量本届会议要求合住、独住各s (=3)种价位(类型)代表数量及所占比例 (合住考虑性别) 预订客房的总量预订各类客房的数量需要预订合住第j 种类型客房数量T 1j需要预订独住第j 种类型客房数量T 2j第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住或独住)能提供的间数C 1ij第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)能提供的间数C 2ij2. 确定在哪些宾馆预订客房及预订各类客房的数量以宾馆总数最少为目标，以满足代表在合住、独住及价位方面的需求，及各宾馆拥有客房数量等为约束条件，建立优化模型.决策变量设共有r 家宾馆双人、单人房各s 种类型预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(合住)间数 x 1ij预订第i 家宾馆第j 种类型单人房(独住)间数 x 2ij预订第i 家宾馆第j 种类型双人房(改独住)间数 yij第i 家宾馆的选择变量 ki (ki =0,1)目标函数约束条件满足需求250300350400450500550600650∑==r i i k z 1min s j T x k j r i ij i ,,2,1,111 =≥∑=s j T y x k j ij r i ij i ,,2,1,)(212 =≥+∑=满足供给求解整数规划模型（LINGO ）最优解一般不唯一，可得到多个解可考虑距离因素、价格因素等确定最终方案或者在这些解的基础上进入下一步，根据租借会议室和租车情况确定最终方案.3. 确定在哪些宾馆预订哪些类型的会议室 以及租车的规格和数量预订会议室的原则：• 每个会议室的容量至少为与会总人数的1/6• 会议室位于预订客房的宾馆内租车的原则：•与会总人数1/6的代表不需接送 • 宾馆距离在一定范围内的代表不需接送• 一辆车每次会议最多接送2趟以会议室和客车的租费最小为目标建立优化模型求解对学生论文的评述基本情况• 绝大多数同学都能根据对问题的理解和掌握的数学知识，给出解决问题的方法，并得到所要求的结果。
概率论在数模竞赛中的应用-3
三、（2002年国际数模竞赛B 题）飞机票超额预订问题航空公司通常可以让乘客免费预订机票。
预订了机票的乘客，有可能会因为种种原因，不来乘飞机，这样，当飞机起飞时，就会有一些空位子白白浪费掉。
为了减少损失，航空公司往往采取超额预订飞机票的办法，即：允许乘客预订的机票数超过飞机上的座位数。
但是，这样做，又会发生预订了机票的乘客乘不上飞机，被“挤掉”的情况。
对于被“挤掉”的乘客，航空公司必须给予一定的赔偿。
现在的问题是：航空公司应该采取怎样的超额预订策略，才能使自己损失最小，利润最大？一次飞行的费用，包括飞到目的地的燃料费，机组人员、地勤人员的工资，机场的管理费，飞机的保养费等等，这些几乎都与乘客数无关，因此，作为近似，我们可以假定，每次飞行的费用是一个常数。
由于航空公司的利润等于（扣除赔偿金后）机票费的收入减去飞行费用，当飞行费用为常数时，航空公司的利润要达到最大，可以不必考虑飞行费用，只要（扣除赔偿金后）机票费的收入达到最大就可以了。
设g ——每张机票的价格（作为近似，我们不考虑座位的等级，认为g 是一个常数）。
b ——给每个被“挤掉”的乘客的赔偿金。
M ——飞机上的座位总数。
N ——让乘客预订的机票数（由于是超额预订，所以必有M N ≥）。
ξ——实际来乘飞机的乘客数（ξ是一个随机变量，N ≤≤ξ0）。
η——（扣除赔偿金后）机票费的收入（η与ξ有关，是ξ的函数，也是一个随机变量）。
⎩⎨⎧≤<--≤≤==时当时当N M M b gM M g f ξξξξξη)(0)( 。
设ξ的概率分布为}{k P =ξ，N k ,,2,1,0 =。
这时，可以求出η的数学期望，即航空公司（扣除赔偿金后）机票费的平均收入为)(ξηEf E =∑===Nk k P k f 0}{)(ξ∑∑+===--+==NM k M k k P M k b gMk gkP 1}{)]([}{ξξ。
以每张机票的价格g 为单位计算的（扣除赔偿金后）机票费平均收入为gE η∑∑+===--+==NM k Mk k P M k gb M k kP 10}{)]([}{ξξ。
机票预售价格和策略的数学模型
图 14 图中星号为实际值；曲线为拟合值。 从上图中可以看出，拟合曲线和每个点结合的也很不错
45
4. 预测 利用前十周的数据拟合后的模型对第十一，十二周进行预测，结果如下表： 表六 模型三对十一十二周价格的预测 Obs Forecast Std Error 95% Confidence Limits 71 500.0000 60.4830 381.4556 618.5444 72 500.0000 73.4987 355.9452 644.0548 73 500.0000 87.5420 328.4208 671.5792 74 590.0000 98.7812 396.3925 783.6075 75 590.0000 109.1008 376.1664 803.8336 76 490.0000 118.4582 257.8263 722.1737 77 490.0000 127.1480 240.7945 739.2055 78 490.0000 165.9637 164.7170 815.2830 79 490.0000 187.8259 121.8681 858.1319 80 490.0000 209.9188 78.5666 901.4334 81 580.0000 229.1729 130.8294 1029.1706 82 580.0000 247.1375 95.6195 1064.3805 83 480.0000 263.8217 -37.0810 997.0810 84 480.0000 279.5293 -67.8674 1027.8674 把预测后的曲线和实际值画成联合曲线如下图：
2. 用 SAS 软件对模型进行求解： 考虑到机票的价格的波动以 7 天为周期， 所以对原序列作 7 步差分， 差分后的时序图如图 8。
数学建模---最佳预定票策略(案例分析) 20页PPT文档
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量；
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更 多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票 业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未 能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票， 无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座， 登机时才付款，这两种办法对于下面的讨论是
等价的。
设某种型号的飞机容量为n，若公司限制预 定n张机票，那么由于总会有一些订了机票的 乘客不按时来登机，致使飞机因不满员飞行而 利润降低，甚至亏本，如果不限制订票数量呢
m n 1
m
m n 1
(m g f )(1 pk ) g ( kpk kpk )
k 0
k 0
k 0
m n 1
m n 1
(mg f ) (mg f ) pk gE(k ) g kpk
k 0
k 0
所以
mn1
2000 2000
1 y 4 x y dx 1 4000 3 ydx
2000 2000
2000 y
1 y2 7000 y 4000000
1000
此式当y 350是0 达到最大，因此组织3500吨 此种商品为最好的策略。
2、最佳预订票策略 一、 问题的提出
（显然可以只考虑 2000y4000的情况），则收
益（单位万元）为
数学建模案例分析-“航空公司的预订票策略”
主讲：薛震中北大学数学系全国大学生数学建模竞赛系列讲座随机因素影响必须考虑,随机模型随机性模型:随机因素可以忽略,或随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现.确定性模型:主要包括概率模型、统计回归模型和马氏链模型.1.概率模型:概率论的基本理论是建立随机性模型的基础,主要思路是在随机变量的概率分布已知或已经被估计出来的情况下,运用相关的定义和性质,计算某些事件的概率,或者得到有用的数字特征,按照研究对象的目的以及客观规律来建立模型.例如:报童的诀窍,随机存储策略等.2.统计回归模型:如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限制,无法分析实际对象内在的因果关系,建立合乎机理规律的模型,那么通常要搜集大量的数据,通过对数据的统计分析,找出与数据拟合最好的回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型.例如:牙膏的销售量,基金或股票的投资等.3.马氏链模型:随机过程研究客观世界中随机演变过程的规律性.马氏链是时间、状态均为离散的马氏过程,其特点为:①系统在每个时期所处的状态是随机的;②从一时期到下时期的状态按一定概率转移;③时期状态只取决于本时期状态和转移概率.马氏过程是一种特殊的随机过程,建模中应用非常广泛.它在数学例如:健康与疾病,基因遗传等.p =0.9,m =323,max( / f )=0.45/S fmp =1,m =300,max( / f )=0.53p =0.95,m =311,max( / f )=0.493003103203300.350.450.55S S Sb /g =0.2,m =314,max( / f )=0.494b /g =0.5,m =312,max( / f )=0.490b /g =0.8,m =311,max( / f )=0.487/S f m 3000.410.503103203300.45S S S谢谢! NORTH UNIVERSITY OF CHINA大学。
航空公司定票策略(数学建模相关习题)
m n 1
(4 )
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
(4)和(5)是两个目标,双目标最优问题 模型求解 化为单目标求解.先将(4)式除以r,变为J(m) g=r/nλ
1 b mn 1 J (m ) = S (m ) / r = qm 1 + ∑ (m k n ) pk 1 λn g k =0
模型建立经济效益平均经济效益sm每次航班的效益s不能按时登机的乘客数k随机变量社会效益考虑到社会声誉最多只能挤掉j个顾客超过j人会给公司带来损m表示
航空公司的预订票策略
问题的提出 略 问题的分析 经济收益：机票收入-飞行费用和赔偿金
社会声誉：订票而来但不能登机的乘客数。需要限制 预订票而能登机的乘客数——随机变量 目标应当是数学期望—双目标优化问题 决策变量——预定票数
模型假设 H1：飞机容量是n，机票价格是g。飞行费用r。均为常数 机票价格按g=r/nλ制定， λ <1表示利润调节因子， λ =0.6意义? H2: 预定票数量限制为m(m>n). 每位乘客不能按时前来乘机的概率为p,且相互独立 H3: 每位被挤掉的乘客的赔偿金为常数b.
模型建立 经济效益
不能按时登机的乘客数k 平均经济效益S(m),每次航班的效益s
社会效益
(4 )
考虑到社会声誉,最多只能挤掉j个顾客, 超过j人会给公司带来损 失. 目标用超过j人的概率Pj(m)表示.等价于不能前来登机的乘客 数不能超过m-n-j-1人
P j (m ) =
m n j 1
∑
k =0
pk
(5 )
m Pj(m)
S (m ) = qmg r (g + b ) ∑ (m k n ) pk
数学建模 航空公司的预订票策略
书上作业：P317“取β=0.75，t=50,100,150，其他参数同上，计算结果表明，当t 增加时)(m J 和)(m P j 均有所减少”写出程序及结果。
模型求解求解()J m 的程序如下：n=300;lambda=0.6; p=0.05; bg=0.2; beta=0.75; t=50; nn=50;for m=n:n+nnj(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t); end j'其中函数程序为:function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t) q=1-p;bb=0:m-n-1;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk);y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1; 求解)(m P j 的程序如下：n=300; nn=50; p=0.1; j=10;for m=n:n+nnpp(m-n+1)=pj(m,n,j,p); end pp'其中函数程序为: function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1; t=50;pk=pdf('bino',bb,m-t,p); y=sum(pk);取p=0.05，0.1；t=50,100,150；bg=0.2，0.4；j=5，10，得到计算结果。
（对照书本上可将计算结果制定成表格）实验结果：表1 p=0,05时的计算结果表2 p=0.1时的计算结果结果分析：参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：()5P m ＜0.2，()10Pm ＜0.05， 则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=0.05,取m=311;若估计p=0.1,取m=318.。
数学建模案例
数学建模案例
——航空公司的机票预订策略
1.1 问题的提出
在激烈的市场竞争中，航空公司为了争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是订票业务，公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一个航班或退票，无需附加任何费用。
当然也可以订票时订坐，登机时付款，这两种办法对于下面的讨论是等价的。
开展预订机票业务时，对于一次航班，若公司限制预订机票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。
而如果不量预订机票的数量，那么当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，必然会引起不能飞走乘客的抱怨，公司不管以什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少、挤掉以后航班的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等。
所以，航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订机票数量的最佳限额。
1.2问题的分析
公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时来登机、但因满员不能飞走的乘客（以下称被挤掉者）限制在一定数量为标准，注意到这个问题的关键因素——预订机票的乘客是否按时前来登机——是随机的，所以经济利益和社会声誉两个指标都应该在平均意义下衡量，这是个两目标
的优化问题，决策变量是预订机票数量的限额。
1.3 模型假设。
机票预售价格和策略的数学模型
t = 9,10...
3. 模型检验 我们用前九周的价格数据作拟合，并预测第十周的价格，列表如下： 模型三对第十周价格的预测结果 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 预测值 500 500 500 560 590 520 520 实际值 510 510 510 600 600 500 500 误差(%) 1.96 1.96 1.96 6.67 1.67 4.00 4.00 从上表中可以看出，用 ARIMA 模型所得到的结果和实际值误差很小，基本在 5%以内。因此，本 模型是很优秀的，用来预测也是十分可信的。 将前十周的序列拟合值和实际值联合作图如下： 表五
40
(四) 问题一模型的建立、求解与检验
我们作出价格的时序图如下:
图一 观察可知价格随着时间的变化以 7 天为周期有明显的周期性波动趋势，同时每周的平均价 格也有一个波动趋势，对这种比较复杂的变化规律，我们尝试用三种模型来分析和预测。
模型一：(略) 模型二：非平稳时间序列确定性分析模型(略) 模型三：非平稳序列的随机分析模型。 1. 模型的建立：我们考虑求和自回归移动平均模 型[1] ，简记为 ARIMA(p,d,q)模型：
A. 一个基本的模型的求解 本问题中可以抽象出一个基本的问题，即：给定座位个数 n ，票价均为 g ，买票的人不能 登机的概率为 p ，如果造成超员赔偿给每位乘客的钱是 b ，预售出多少张票 m ，可以使利润最 大？我们把这种模型称为 P( p, bg , n) 模型（其中 bg = b / g ，在后面的分析中我们可以看到，模 型只和 b ， g 的比值有关） 问题的解： 设 r 为飞行中的固定损耗， 当 m 位乘客中有 k 位 公司的经济利益可以用总的收益 s 来衡量， 不按时前来时：
数学建模候选题(五)
《数学建模》航空公司的预订票策略摘要1、研究目的：本文研究针对预订票业务，既考虑航空公司的利润最大化，又尽可能减少乘客订票而飞机满员无法登机的抱怨，从而赢得社会美誉的问题。
2、建立模型思路：首先，本文通过对航空公司预订票问题，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等）和社会声誉（被挤掉者不要太多、被挤掉的概率不要太大等）确定最佳的预订票数量的问题，进行了充分的分析和思考后，得出如下建模思路：针对第一问对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析的问题，本文建立模型：已知当n很大（>500），p很小（<0.05）时，以n，p作为参数的二项分布可以用泊松分布来逼近。
在第一个条件的模型中，本文对飞机容量、费用、迟到概率等问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型在第二个条件的模型中，本文对增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废的问题进行简化，利用非线性规划知识建立了非线性规划模型3、求解思路，使用的方法、程序针对模型的求解，本文使用非线性规划方法，计算航空公司的平均利润S（m）和被挤掉的乘客数超过j人的概率Pj(m)之间的平衡关系结果，并用LINGO软件工具求解出最优计划问题，进一步求解出最优结果。
4、建模特点（模型优点，建模思想或方法，算法特点，结果检验，灵敏度分析，模型检验等）模型优点：有统一的算法，为最优设计提供了有力的工具。
建模思想：规划问题就是最优解问题，基本思路是尽可能的通过各种方式构建最优化目标，分析这些模型中有没有好解的。
算法特点：运用二次规划5、在模型的检验模型中，本文分别讨论了以上模型的精度和稳定性6、最后，本文通过改变，得出非线性规划模型。
关键词：二项分布、约束条件、泊松分布、最大利润一、问题重述1、问题背景：在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
航空公司的预订票策略(数学建模)
航空公司的预订票策略一、模型假设：1、飞行容量为常数n ，机票价格为常数g ，飞行费用为常数r ，r 与乘客数量无关，机票价格按照/g r n λ=来制定，其中(1)λ<是利润调节因子。
2、预订票数量的限额为常数m （>n ）,每位乘客不按时来登机的概率为p ，各位乘客是否按时前来登机是相互独立的。
3、每位乘客被挤掉者获得的赔偿金为常数b 。
二、模型建立：当m 位乘客中有k 位不按时前来登机时，每次航班的利润s 为： ()(),,m k g r m k n s ng r m k n b m k n ---≤⎧⎪=⎨----->⎪⎩（1） 不按时前来登机的乘客数k 服从二项分布，其概率为： (),1k k m k k m p p K k C p q q p -====- （2） 平均利润S(即s 的期望)为：[][][]()110()()()m n m k k k k m n m n k k S ng r m k n b pm k g r p qmg r g b m k n p --==---=----+--=--+--∑∑∑（m)= （3）被挤掉的乘客数超过j 人的概率为：10()m n j j k k p m p ---==∑ （4）三、模型求解：为了减少S（m)中的参数，取S （m)除以飞行费用r 为新的目标函数J（m)，其含义是单位费用获得的平均利润： 101(1)()1m n k k S b J qm m k n p r n g λ--=⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦∑（m)（m)= （5） 约束条件为：10()m n j j k k p m p α---==≤∑ （6）四、程序及结果：程序：lambda=0.6;n=300;p=0.05;bg=0.2;M=300:2:330;J=zeros(length(M),1);p5=zeros(length(M),1);p10=zeros(length(M),1);for i=1:length(M)m=M(i);k=0:m-n-1;J(i)=1/lambda/n*((1-p)*m-(1+bg)*(sum((m-k-n).*binopdf(k,m,p))))-1;k=0:m-n-5-1;p5=sum(binopdf(k,m,p));k=0:m-n-10-1;p10=sum(binopdf(k,m,p)); end运行结果：。
航空公司的预订票策略新
六、 模型评价与推广
评价：模型没有分别考虑头等舱与经济舱的 两种情况，幸而，在基本假设下MATLAB拟合 的结果以满足我们对问题进行分析的要求。在 模型的改进中，最好对这两种情况单独分析。 推广：与航空公司的预定票策略相似的事件 在日常商务活动中并不少见，旅馆、汽车出租 公司等为争夺顾客也可以如此处理。 P m
二、 符号的约定
符号 n m b g 飞机容量 预订票数量的限额（>n） 每位因满员不能飞走的乘客获得的赔 偿金 机票价格 表示
r λ
飞行费用 利润调节因子（例如，λ=60%，表示飞 机60%的满员率就不亏本）
机票的价格按照 g=r/(λn) 来制定
三、 模型的假设
1、每位预订票的乘客前来登记是随机的，行为是独 立的，不按时来登机的概率记为 p； 2、公司的经济利润由平均利润 f=S/r 体现，其中 S 表示一次飞行费用为 r 的航班利润。
m—k—n位乘客因满员不能飞走，要付给赔偿金（ m—k—m）b，因此，乘客中有 k 位不按时前来登 机时，航班利润为：
s
k
(m k ) g r , mk n ng r (m k n)b, mk n
因为 k 是随机变量，所以航班利润也是随机 变量，它的期望值才是我们要求的航班利润。由 于一位乘客不按时前来登机的概率为 p，由假设1 ，m位订票乘客中有 k 位不按时前来登机的概率服 从二项分布，为
1 p m g r g b m k n p
其中在简化过程中，我们用到了二项分布变量期望 m 值的公式 k mp
k 0
p
k
最后得到平均利润
m n 1 1 f m 1 p m 1 b / g ( m k n ) 1 p k n k 0
数学建模---最佳预定票策略(案例分析)
k：已预订票的乘客不能前来登机的乘客数， 即迟到的乘客数，它是一个随机变量； pk：已预订票的m个乘客中有k个乘客不能按 时前来登机的概率； p：每位乘客迟到的概率； Pj（m）：已预订票前来登机的乘客中至少挤 掉j人的概率，即社会声誉指标； S：公司的利润； ES：公司的平均利润。
三、 问题的分析及数学模型 （1）问题的分析 通过上面引进的符号易知，赔偿费b=0.1g， 飞行费用f=0.6ng，每位乘客迟到的概率 p=0.03，已预订票的m个乘客中，恰有k个 乘客不能按时前来登机，即迟到的乘客数k 服从二项分布B（m，p），此时，
从计算结果易见，当m=309时，社会声誉 指标 P5 ( 309 ) 0 . 0442 0 . 05 ，当 m=310时，社会声誉指 标 P5 ( 310 ) 0 . 0952 0 . 05 ，所以为了使 ES/f尽量大，且要满足社会声誉指 标 P5 ( m ) 0 . 05 ，则最佳订票数可取 m=309。
p=p+pp; sm=sm+(m-k-300)*pp/prod(1:k); end Es=(1/180)*[0.97*m-1.1*sm]-1; m Es p end
执行后可输出以下结果：
m 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 ES 0.6436 0.6490 0.6543 0.6596 0.6649 0.6703 0.6756 0.6810 0.6864 0.6917 0.6971 p 9.2338e-005 9.3723e-004 0.0048 0.0167 0.0442 0.0952 0.1742 0.2796 0.4028 0.5314 0.6525于是平源自利润m n 1ES
数学建模作业
大作业《二》航空公司的预订票策略摘要针对航空公司预订票问题，本文研究航空公司不能完全预料乘客在订票后能否登机，问题，为了追求最大利润，往往预订给乘客某次航班的票数要适当多余该航班所能容纳的乘客数，这样就导致一些乘客可能被挤掉而无法搭乘这个预订航班，另一方面，为了争取更多的客源、提高客乘率，航空公司在提高服务质量的同时，对被挤掉的乘客进行经济补偿以减少由此造成的不利影响。
影响航空公司受益的主要因素有航班的客座率、飞机飞行费用、公司对被挤掉订票乘客的赔偿费用、公司信誉、飞机场安全管理费用等。
关键字：预订票收益管理公司信誉一、问题重述1.1 基本情况：如今的航空公司都面临着订座决策，我们总结了其面临的风险：超售风险，以航班客座容量为临界点，如果决策结果多于航班容量，造成有些旅客被拒绝登机，从而带来超售风险，合理的超售可以减少空位损失。
对于被挤掉的乘客航空公司应给与合理的经济补偿减少不利影响提高公司信誉。
所以确定合理的数额是十分必要的。
1.2需要解决的问题：问题：考虑经济利益，又考虑社会声誉问题，去确定该航班的预订票数量以及被挤掉的乘客的经济补偿。
二、问题分析2.2 问题二的分析从长远利益来看，由于航空公司订票业务的开展，需要在二者辨证关系中，找到一个最佳订票数额点。
公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，声誉可以用按时前来登记但被挤下飞机的乘客限制在一定数量为标准。
由于我们假定预订票的乘客是否前来登机是随机的，因此我们要讨论利润和声誉的平均期望值。
三、模型假设1、预订机票的乘客出现与否是相互独立的。
2、预定票数量都大于实际座位数。
3、飞行费用不变。
4、以低价得到机票的乘客若错过本次航班则机票作废。
5、每位被挤掉者获得的赔偿金为常数。
四、符号说明m ：预订票数量的限额n ：飞机容量g ：机票价格r ：飞行费用λ：利润调节因子s ：每次航班的利润S ：平均利润b ：被挤掉者获得的赔偿金（为常数）p ：每位乘客不按时前来登机的概率q ： 每位乘客出现的概率五、名词解释二项分布：未到乘客人数X 服从参数为m 、p 二项分布，即 p k =P （X=k ）=C m k p k q m-k，k=1,2,3…m 六、模型的建立与求解由于超定额情况的存在，到达机场的已订票的乘客存在被挤掉的可能性。
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书上作业：P317
“取B =, t=5o,ioo,i5o，其他参数同上，计算结果表明，当t增加时J(m)和P j(m)均有所减少”写出程序及结果。
模型求解
求解J (m )的程序如下：
n=300;
lambda=;
p=;
bg=;
beta=;
t=50;
nn=50;
for m=n:n+nn j(m-n+1)=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t);
end
j'
其中函数程序为:
function y=jm(m,n,lambda,p,bg,beta,t)
q=1-p;
bb=0:m-n-1; pk=pdf( 'bino',bb,m-t,p); temp=sum((m-n-bb).*pk); y=(q*m-(q-beta)*t-(1+bg)*temp)/(lambda* (n-((1-beta)*t)))-1;
求解P j (m) 的程序如下：
n=300;
nn=50;
p=;
j=10;
for m=n:n+nn
pp(m-n+1)=pj(m,n,j,p);
end
pp' 其中函数程序为: function y=pj(m,n,j,p) bb=0:m-n-j-1;
t=50;
pk=pdf( 'bino',bb,m-t,p); y=sum(pk);
取p=，；t=50,100,150；bg=，；j=5，10，得到计算结果。
(对照书本上可将计算结果制定成表格)
实验结果：
表1 p=0,05时的计算结果
表2 p=时的计算结果
结果分析：
参考书上例题，综合考虑经济效益和社会声誉，得出：Rm v, P10 m v,
则由表1、2可知，当n=300时，若估计p=，取m=311; 若估计p=，取m=318.。