化二次型为标准形的方法

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化二次型为标准形几种方法的比较及技巧

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧1. 引言1.1 化二次型为标准形的重要性化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念。

在实际问题中，我们经常会遇到涉及二次型的计算和分析，因此将二次型化为标准形可以简化计算过程，方便问题的进一步研究和解决。

化为标准形后，我们可以更清晰地看到二次型的特征，比如主轴方向、主轴长度等，这有助于我们对二次型的性质进行深入了解。

将二次型化为标准形也为后续的计算和分析提供了便利。

通过化为标准形，我们可以更方便地进行求导、求极值等操作，从而更好地研究二次型的性质和应用。

标准形也为我们提供了一种比较统一的形式，使得不同二次型之间的比较和分析更加简便和直观。

化二次型为标准形是具有重要意义的。

它不仅简化了计算过程，提供了便利的分析工具，还有助于我们深入理解二次型的性质和特征。

选择合适的方法和技巧进行化标准形的操作可以更快速地解决问题，提高工作效率，是线性代数学习中不可或缺的一环。

2. 正文2.1 方法一：通过配方法求解通过配方法求解是一种将二次型化为标准形的常用方法。

在这种方法中，我们首先将二次型中的平方项配方，使其变为完全平方，然后再通过变量替换的方法将其化为标准形。

具体步骤如下：1. 将二次型中的平方项配方。

对于二次型Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2(a _{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+...+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)，我们可以将每一项中的平方项提出并进行配方，得到完全平方的形式。

2. 然后，通过适当的变量替换将配方后的二次型化为标准形。

通常情况下，我们选择适当的线性变换矩阵P，使得Q(x)=x^TAX中的A 为对角矩阵，即A=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)。

这样就将二次型成功化为标准形。

通过配方法求解的优点在于操作简单直观，容易理解和掌握。

化二次型为标准型的方法解读

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴） ''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的12n x ,x ,...,x 的二次齐次多项式22212n 11112121n 1n 2222n 2n nn n f (x ,x ,...,x )a x 2a x x ...2a x x a x ...2a x x ...a x =++++++++称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设12n x ,x ,...,x ；12n y ,y ,...,y 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式11111221n n 22112222n n 33113223n n n n12n22nn nx c y c y ...c y x c y c y ...c y x c y c y ...c y ...........x c y c y ...c y =++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩ （4）称为由12n x ,x ,...,x 到12n y ,y ,...,y 的一个线性替换，。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

化二次型为标准型

1
1 1 得基础解系 1 , 单位化即得 p1 1 1
1 1 1 . 2 1 1
当l l l 1时 , 解方程( I A ) x 0 ,
2 3 4
可得正交的基础解系 1 0 1 1 0 1 2 , 3 , 2 , 0 1 1 0 1 1 1 2 0 12 1 2 0 1 2 , p3 , p4 单位化即得 p2 1 2 12 0 1 2 1 2 0
T
T
3．将特征向量正交化 a 2 , 3 a2, 取 a 1 1 ,a 2 2 , a 3 3 a 2 ,a 2 得正交向量组
a 1 (1 2,1,1) , a 2 ( 2,1,0) , a 3 ( 2 5, 4 5,1) .
T T
T
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
6 2018/1/4
定理设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PT AP L
l1 l2 T P AP L
ln
P (e1 e2
en )
7 2018/1/4
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式 f xT Ax, 求出A;
一、用正交变换化二次型为标准型
在前面讲过, 对于任一个n阶实对称矩阵A, 一定存在正交矩阵Q, 使得QTAQ=L. 由于Q1=QT, 所以有 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln). 因此有下面的定理.

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程ax 2 +2bxy+ cy 2 = f .为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度。

，作转轴（反时针方把方程（1）化成标准方程,在二次曲面的研究中也有类似的情况.（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

设P 是一数域，一个系数在数域P 上的X“X2，...,Xn 的二次齐次多项式 f （X],x^,・・・,Xn ） = a.eX.2 +2a“X]X, +... + 2a.x.x n+... + 2a. x ?x n +... + a n x n 2J xnii Ii i *in i n匕 .n 二 n nil n称为数域P 上的一个n 元二次型，或者在不致引起混淆时简称二次型。

设x p x 2,...,x n ； y,,y 2，…,yn 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式x 1=c I1y I +c 12y 2+...c ln y nx 2=c 2iyi +c 22y 2+-c 2nyn X 3=C 3iyi +C 32y2+-C 3ny n（4）/n =C niy2+C n2y2+-C nnyn称为由X|,X2，...,Xn 到力必，…,yn 的一个线性替换，。

如果|cJ #。

，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

另, i<j.由于XjXj=XjXi ,所以f （x p x 2,...,x n ） = a 11x 12 +2a 12X!X 2 +... +2a ln X!X n +a 22x 22 +... + 2a 2n x 2x n +... + a nn x n 2n n= Z»,jXjXjj —1它的系数排成一个n*n 矩阵(1)向转轴） x = x cos 0-y sin 。

二次型化为标准型条件

二次型化为标准型条件
将二次型化为标准型是通过线性代数中的合同变换（congruence transformation）来实现的。

二次型的标准型是一个更简单形式的二次型，其中只有平方项，没有交叉项。

下面是将二次型化为标准型的一般步骤：
假设有一个二次型：
Q(x)=x T Ax
其中x是列向量，A是对称矩阵。

1.找到矩阵A的特征值和特征向量
特征值为λ，对应的特征向量为v。

2.构造正交矩阵P
正交矩阵P的列是A的特征向量，即P=[v1,v2,…,v n]，其中v i是第i个特征向量。

3.进行合同变换
使用正交矩阵P进行合同变换：
Q′(x′)=(x′)T(P T AP)(x′)
其中x′=P T x
4.化简为标准型
根据合同变换后的矩阵P T AP，进行线性代数运算，将二次型化为标准型。

这个标准型中只包含平方项，没有交叉项。

总结起来，将二次型化为标准型的步骤主要包括找到特征值和特征向量、构造正交矩阵、进行合同变换，最后将合同变换后的矩阵化简为标准型。

这个过程是线性代数中矩阵对角化的一种形式。

将二次型化为标准型

将二次型化为标准型首先，我们来看一下什么是二次型。

二次型是关于变量的二次多项式，一般形式可以表示为：\[ Q(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]其中，$ x_1, x_2, \cdots, x_n $ 是变量，$ a_{ij} $ 是系数。

二次型在实际问题中有很多应用，比如描述物体的形状、分析物理问题中的能量分布等。

接下来，我们来讨论如何将二次型化为标准型。

要将二次型化为标准型，首先需要通过合同变换将二次型的二次项消去，使得二次型的矩阵变为对角矩阵。

具体的步骤如下：1. 针对二次型的二次项进行配方法，使得二次型的矩阵变为对称矩阵。

这一步是为了方便后续的对角化处理。

2. 通过正交变换（合同变换）将对称矩阵对角化。

正交变换可以保持矩阵的对称性，将二次型的二次项化为对角型，从而得到二次型的标准型。

通过以上步骤，我们就可以将任意的二次型化为标准型。

这一过程在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中描述粒子的能量分布、在工程学中描述结构的稳定性等。

除了将二次型化为标准型，我们还可以通过配方法和正交变换，将二次型化为规范型。

规范型是介于二次型和标准型之间的一种形式，它可以更好地反映二次型的特性，对于一些特殊的问题有着重要的应用价值。

总之，将二次型化为标准型是对二次型进行化简和分类的重要过程，通过这一过程可以更好地理解和分析二次型的性质。

在实际问题中，我们经常需要对二次型进行化简和分类，以便更好地解决问题和应用二次型的性质。

希望本文对读者有所帮助，谢谢阅读！。

5-2化二次型为标准型

例1 用正交变换化二次型
f ( x1, x2, x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3
为标准形. 解：二次型的矩阵为
2 0 0
A
0
3
2
0 2 3
2 0 0
I A 0 3 2
0 2 3
( 2) ( 3)2 4 ( 1)( 2)( 5)。
A 的特征值为 1 1, 2 2, 3 5。
令
z1 z2
y1 y2
y3
，即
z1 z2
1
0
0 1
1 y1
0
y2
z3 y3
z3 0 0 1 y3
则二次型就化为标准形：z12 z22 z32 .
例4 用配方法化二次型
f ( x1, x2 ) x12 x1 x2 x22
为标准形.
解：一种配方法为
f
令
x1 x2
x3
y1 y1 y3
y2 y2 ，即
x1 x2 x3
1
1
0
1 1 0
0
0
y1 y2
1 y3
则 f ( x1, x2, x3 ) y12 y22 y1 y3 y2 y3 y1 y3 y2 y3 y12 y22 2 y1 y3 y12 2 y1 y3 y32 y22 y32 ( y1 y3 )2 y22 y32，
解： 1 1 1
1
2
2
1 0
1
1
0 (1)
1
1 2 1
1 1 0
A I
=
1
0
-
0
-
-
-
1 1 1
0 1 0
0 1 0

二次型化为标准规定型的三种方法

2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0

化二次型为标准型的方法

化二次型为标准型的方法【1】二、二次型及其矩阵表示在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程是 22ax 2bxy cy f ++=. （1）为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度θ，作转轴（反时针方向转轴）''''x x cos y sin y x sin y cos θθθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩ （2）把方程（1）化成标准方程。

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

二次型标准化

二次型标准化二次型是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和数学分析中都有着广泛的应用。

在线性代数中，二次型是一个关于一组变量的二次齐次多项式，它可以用矩阵的形式来表示。

在实际问题中，我们常常需要对二次型进行标准化处理，以便更好地理解和应用。

本文将介绍二次型标准化的相关知识和方法。

首先，我们来看一下什么是二次型标准化。

对于一个二次型，我们希望通过一系列的线性变换，将其化为一个特定的标准形式，这个标准形式通常是一个对角矩阵。

这样做的好处是可以简化问题的求解，使得二次型的性质更加清晰明了。

因此，二次型标准化是对二次型进行一系列变换，使其化为一个标准形式的过程。

接下来，我们来介绍二次型标准化的具体方法。

对于一个二次型，我们首先需要找到一个合适的线性变换矩阵，通过这个矩阵的变换，将原始的二次型化为一个对角矩阵。

这个线性变换矩阵通常是通过对称矩阵的特征值和特征向量来确定的。

具体来说，我们可以先求出原始二次型对应的实对称矩阵，然后通过特征值分解或者正交相似对角化的方法，找到一个合适的变换矩阵，使得通过这个矩阵的变换，原始二次型可以化为一个对角矩阵。

在实际操作中，我们可以通过一系列的算法来实现二次型的标准化。

常用的算法包括Jacobi方法、Givens变换等。

这些算法可以有效地求解对称矩阵的特征值和特征向量，从而得到二次型的标准形式。

在计算机科学领域，这些算法也有着广泛的应用，可以帮助我们高效地处理二次型标准化的问题。

最后，我们来总结一下二次型标准化的重要性。

通过对二次型进行标准化处理，可以使得原始的二次型问题更加简化和明了。

标准化后的二次型具有更加清晰的性质和结构，可以更方便地进行求解和分析。

因此，二次型标准化是数学中一个重要的概念和方法，对于理解和应用二次型都具有着重要的意义。

总之，二次型标准化是对二次型进行一系列线性变换，使其化为一个特定的标准形式的过程。

通过特征值和特征向量的分解，我们可以找到一个合适的变换矩阵，将原始二次型化为一个对角矩阵。

二次型化为标准型合同变换的方法

二次型化为标准型合同变换的方法二次型是高等代数学中一个重要的概念，它在数学、物理学和工程学中都有广泛的应用。

将二次型化为标准型是解决二次型问题的关键一步。

本文将介绍二次型化为标准型的方法。

一、二次型的定义和性质在进入具体方法之前，我们先明确二次型的定义和性质。

二次型是一个关于n个变量的多项式，形如：Q(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n其中，a_{ij}表示系数，x_i表示变量。

性质：1. 二次型的值域为实数域。

2. 二次型可通过矩阵形式表示，即Q(x) = x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵。

3. 二次型的阶数即为变量的个数，也就是n。

二、合同变换的定义为了将二次型化为标准型，我们需要使用合同变换。

合同变换是指根据特定的矩阵相似变换，将一个二次型转化为另一个与之相似的二次型，但其特点是标准化。

合同变换的定义：设A、B为n阶实对称矩阵，若存在非奇异矩阵P，使得 P^TAP = B，则称A与B合同。

合同变换具有以下性质：1. 两个合同的二次型有相同的秩。

2. 两个合同的二次型有相同的正负惯性指数。

3. 如果存在某个合同变换能够将一个二次型化为对角型，那么它就是标准型。

三、合同变换的方法下面介绍将二次型化为标准型的方法：1. 对称阵的合同变换方法若A为n阶对称矩阵，可以通过正交变换将其化为对角阵。

具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。

b) 计算P^{-1}AP，得到对角阵D。

这里的P为正交矩阵，满足P^TP = I，所以 A = PDP^T。

2. 一般阵的合同变换方法对于一般的矩阵A，可以通过两步变换将其化为标准型。

具体步骤如下：a) 求A的特征值和特征向量，特征向量组成的矩阵为P。

用配方法将二次型化为标准型

用配方法将二次型化为标准型首先，我们需要明确二次型的定义。

对于n元变量的二次型，一般形式为：\[f(x_1, x_2, ..., x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]其中，系数$a_{ij}$为实数。

我们的目标是通过配方法将上述二次型化为标准型，即消去二次项和一次项的交叉乘积，使得二次型的表达式更加简洁和易于研究。

接下来，我们将介绍配方法的具体步骤。

首先，我们需要构造一个线性变换矩阵P，使得通过P的转换可以将原二次型化为标准型。

设$\boldsymbol{x} = (x_1,x_2, ..., x_n)^T$为n维列向量，$\boldsymbol{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)^T$为线性变换后的列向量，则有：\[\boldsymbol{y} = P\boldsymbol{x}\]其中，P为n阶可逆矩阵。

通过矩阵P的逆变换，我们可以将二次型的表达式从$\boldsymbol{x}$转化为$\boldsymbol{y}$，并且通过适当的选择P，可以使得二次型化为标准型。

具体来说，我们可以通过以下步骤将二次型化为标准型：1. 首先，我们需要求出二次型的矩阵表达形式。

对于给定的二次型，我们可以利用系数$a_{ij}$构造出一个对称矩阵A，使得二次型可以表示为$\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}$的形式。

2. 接下来，我们需要对矩阵A进行对角化。

通过矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到一个对角矩阵D和一个正交矩阵P，使得$A = PDP^T$。

其中，D为对角矩阵，其对角线上的元素为A的特征值，P为正交矩阵，其列向量为A的特征向量。

3. 最后，我们可以通过线性变换$\boldsymbol{y} = P^T\boldsymbol{x}$将二次型转化为标准型。

化二次型为标准型的三种方法

化二次型为标准型的三种方法
一元二次型式可以通过三种方法来化为标准型：
① 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后使用猜想法找出根；
② 将一元二次型式化为一元二次型系数形式，然后利用完全平方根的性质将一元二次型式化为一元二次型标准形式；
③ 将一元二次型式化为一元二次型联立形式，然后求解联立方程得出一元二次型标准型式。

以上三种方法都可以将一元二次型式化为标准型，帮助我们更好地分析根的存在性以及其它性质。

数学化二次型为标准形的几种方法学士学位论文

化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to thestandard formsAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++=11n nij ijj i a x x==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1任意一个实二次型TAX f X =＝11nnij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n ny y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵A 的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,i k k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量．○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++．例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T--，3α=(1,1,1,1)T--，4α=222211223344d x d x d x d x +++．（3）将1234,,,αααα正交化：1α=1β=(1,1,1,1)T--2β=2α-21111(,)(,)αββββ=(1,1,1,1)T -- 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=(-1,-1,1,1)T 4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)T 将正交向量组1234,,,ββββ，单位化得单位正交向量组：11=(1,1,1,1)2T η--，21(1,1,1,1)2T η=--，31(1,1,1,1)2T η=--，41(1,1,1,1)2Tη=（4）令C =121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二）配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理92【】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式．用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ，然后对23,x x 配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++-于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭．例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+ ()222133224y y y y =--++作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理[7]3 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使TC AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用C D 、分别表示A E 、变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭．例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形．解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 10001000711*******⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义[1]定义 V 是数域P 上一个线性空间，f (,)αβ是V 上一个二元函数，如果f (,)αβ有下列性质：（1）11221122f (,k +)=k f (,)+k f (,)k αββαβαβ；（2）11221122f (k +,)=k f (,)+k f (,)k βββαβαβ；其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (,)αβ为V 上的一个双线性函数．[11]定义 f (,)αβ线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f (,)αβ=f (,)βα，则称f (,)αβ为对称双线性函数．[11]定义设f (,)αβ是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 f (,)αβ在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2）由公式jjii ij a a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P=1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算．（4）以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数f (,)αβ关于基123,,εεε的矩阵为A , 则A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=3222310221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换X CZ =能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆．（五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1：二次中含有ix 的平方项，即iia()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1）不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g u a a ++，此时u 中不再含有2x ．（4）按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含ix 的平方项，即所有ii a ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂，（2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有ix 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g++整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形．解：由于所给的二次型中不含ix 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++令112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．[1]定理对于二次型（1）矩阵()A =ij n na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= 其中,,(,1,2,3)ij i a b c i j =都是实数．我们记x =(x,y,z)T ，123=(,,)b b b b T，111213212223313233A =a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ij jia a =利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0TTx Ax b x c ++= (2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行．第一步，利用正交变换X =PY 将方程（2）左边的二次型TX AX 的部分化成标准形：222112131T x Ax x y z λλλ=++其中P 为正交矩阵，3=()12y x ,x ,x T,相应地有()112131T T T b x b Py b P y k x k y k z ===++于是方程(2)可化为2221121311121310x y z k x k y k z c λλλ++++++=第二步, 作平移变换0y y y =+，将方程(3)化为标准方程, 其中(,,)y x y z =这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对123,,λλλ是否为零进行讨论:1)当123,,0λλλ≠时，用配方法将方程(3)化为标准方程：222123x y z d λλλ++= (6-1)根据123,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如123,,λλλ与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当123,,λλλ中有一个为0，设30λ=方程（3）可化为22123(0)x y kz z λλ+=≠ (6-2) 22123(0)x y d k λλ+== (6-3)根据12,λλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当12,λλ同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当12,λλ异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当123,,λλλ中有两个为０，不妨设230λλ==，方程(3) 可化为下列情况之一：21()0(,0)a x py qz p q λ++=≠ 此时，再作新的坐标变换：2222py qz qy pz x x y z p q p q +-'''===++(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；21()0d x d λ+=若1λ与d 异号，表示两个平行平面；若1λ与d 同号，图形无实点，若0d =，表示yoz 坐标面．例二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010=++x b Ax x T T，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE AA 的特征值为1236,3,0λλλ===，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p 取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：221111163868100x y x y z ++-++= 配方得：221118176()3(1)8()0372x y z ++-++=令111817,1,372x x y y z z =+=-=+ 则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th eCollegeMathematicsJournal.2001.。

二次型

二次型一. 化二次型为标准形化二次型为标准形主要有两种方法：(1)正交变换法；(2)配方法..442),,( 132212221321用的正交变换矩阵化为标准形，并求出所用正交变换法将二次型例x x x x x x x x x f --+=,020212022 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=A 二次型的矩阵为解.24 232221y y y QY X -+=，则二次型化为标准形令注：将二次型f 用正交变换化为标准形的一般步骤为：(1)写出二次型f 的矩阵A ；(2) 求出A 的全部相异特征值λ1, λ2,…, λm ，对每一个r i 重特征值λi ，求出对应的r i 个线性无关的特征向量，并利用施密特正交化方法将其正交单位化，将上面求得的r 1+ r 2+ …+ r m =n 个两两正交的单位向量作为列向量，排成一个n 阶方阵Q ，则Q 为正交阵且Q －1AQ =Q T AQ =Λ为对角阵；(3)作正交变换X=QY ，即可将二次型化为只含平方项的标准形：f=X T AX=Y T (Q T AQ )Y=Y T ΛY..),,,( 24342324131214321线性变换的矩阵为标准形，并写出所用用配方法化二次型例x x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=是什么曲面？型化为标准形；求一可逆变换将该二次；求参数为的秩设二次型例 1),,( )3( )2( (1)2.44),,( 33213231232221321=++++=x x x f c x x x x cx x x x x x f .8 2 22210201 2 44),,( 3231232221321=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=++++=c c A x x x x cx x x x x x f ，故的秩为二次型的矩阵知，的秩为由解,)2()2( 448),,( 22212322313231232221321y y x x x x x x x x x x x x x x f +=+++=++++=又⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=.,2,2 ,,2,2 1332231131321311y x y y x y y x x y x x y x x y 或其中.100210201 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=C 所用线性变换的矩阵为.19 1 9,1,0 0|| 2322321，为椭圆柱面化为变换下，可将，故在正交的特征值为得由=+=====-y y f A E A λλλλ注：设Y =QX ，Q 为正交矩阵，则有||Y ||2=Y T Y =(QX )T (QX )=X T Q T QX =X T X =||X ||2.即正交变换保持向量长度不变. 只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型..22 222),,(4232221323121232221321Q k y y y QY X x x x x x kx x x x x x x f 及正交阵，求：化为标准形经正交变换设二次型例++-=-++-+=,1111111 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=k kA 二次型的矩阵为解.)(220 101020101 二次型半正定，故该二次型为准正定，，的特征值为易知，二次型的矩阵为解A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=注：当矩阵的特征值比较容易求时，用特征值来判定二次型或矩阵的正定性是很简便的一种方法.为负定阵？取何值时，问为实常数，，设例 .1000031101310113 62B k k kE A B A -=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=.4 ,4 ,1 ,1 的特征值为为实对称阵且显然解A A .16 ,16 ,1 ,1 2k k k k B B kE A B -----=的特征值为也为实对称阵且，故由于.16 >k B 负定的充要条件为因此.),,,( 74342324131214321的正定性判断二次型例x x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=，形为知，所给二次型的标准由例解242322213 2 z z z z ---.正定二次型二次型不是系数不全为正数，故此因为标准形中平方项的注：若只是判定二次型的正定性，可采用较简便的方法求出二次型的标准形，并以此判定.2 利用定义判定., 8阶正定阵也为阶正定阵，证明：均为设例n B A n B A +.0)( 0,00 , 1也为正定阵从而，，故，都有的阶正定阵，所以对任意都为因为证B A BX X AX X X B A X BX X AX X X n B A TTTTTn +>+=+>>≠⨯.9的正定性，讨论阶方阵，为设例A P P A n P T=.||||)()( 0 21PX PX PX PX P X AX X X T T T T n ===≠⨯，我们有对任意的解.0|||| 0 0 2为正定阵，，从而知可逆时，由当P P A PX PX X P T=>≠≠. )2(,,2,1,0 )1( )( 132211也为正定阵；为正定阵，证明：设例⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==>=⨯nn ii n n ij a a a B n i a a A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===⨯nn n n n nn n nn Tn n ij p p p p p p p p p p p p P P A p P A21112112112111)( )I ()1( ，使正定，故有可逆阵因为证证,121111121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑∑====n k kn nk k kn nk kn k nk k p p p p p p ).,,2 ,1( 12n i p a nk kiii ==∑=即.0 ,,2 ,1 0 12>==∑=nk ki ii ki p a n k p P ，从而，不全为可逆，所以因为，则，特别地，取，有正定，故对任意的因为证TTn n n ij X AX X X a A )0,,0,1( 00 )( )II (1 =>≠=⨯⨯().00010 0 111212221211211>=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a a a a a a a a AX X nn n n n n T.0,,0)1,,0,0,0(,,)0,,0,1,0( 22>>==nn TTa a X X ，可求得类似地，取.0 )1( )2(11正定全为正数，故个特征值的，从而知，由B n B a a a B ii nn >⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=.)( .)( BA AB BA A B AB AB AB AB AB T T T T ====⇒，故又为对称阵，从而为正定阵，故因为”“证.)( 为对称阵，即知：由”“AB AB BA A B AB BA AB T T T ====⇐.1相似与，即，进一步，从而，使逆阵为正定阵，所以存在可又BP P AB BP P ABP P B PP AB PP A P A T T T T ===-. 0)()(0 0 1是正定的值也全大于零，所以的特征而的特征值全大于零；从为正定阵，因此，也就是，必有，为对称阵且对任意的为正定阵，故有由于AB AB BP P BP P PX B PX BPX P X PX X BP P B T TT T T n T >=≠≠⨯注：请读者特别注意例12、例13、例14、例15 中对正定阵的处理，用心体会其方法..0 .,,2,1 , )3(;,,2,1,,,0)2(;,,2,1,0 )1( ,,,, 1621===≠==≠βαβαααβααα证明正交与每一个阶正定阵且为维列向量，均为设例n j n j i j i A n j n A n j j T ij n .0 0 .,,2,1,0 22112211=+++=+++=>n n n n i T i A k A k A k A k k k n i A αααααααα ，得，两端左乘设由题设易知证(*) .0 2211=+++n T in T i T i T i A k A k A k ααααααα ，得两端左乘线性表示，由必可线性无关，所以，从而，得正定，，由式为知由题设 ,,, ,,, ,,2,1,00 0 (*))2(2121n n i i T i i T i i n i k A A A k αααβααααααα ==>=，则不妨设表示式为n n l l l αααβ+++= 2211 .0 ,0),(),(),( ),(),(|||| 221122112==+++=+++==βαβαβαβαααββββ故n n n n l l l l l l . . 17b a B A b n B a n A ++的特征值都大于证明：大于阶实对称阵，特征值都也是；征值都大于阶实对称阵，所有的特为设例也是正定阵，均为正定阵，从而与由题设证 )()()( E b a B A bE B aE A bE B aE A +-+=-+---).( 0)( )( b a b a E b a B A B A +>>+-+-++λλλ，即的特征值为的任一特征值，则为设+的特征值都大于也就是A+Ba.b。

化二次型为标准形的方法 - 扬州大学

−3 λ+2
得到 A 特征值为： λ 1 = λ 2 = λ 3 = 1 ， λ 4 = −3 ； ⑶求特征值 λ = 1 所对应的特征向量： ① 解 ( I − A) X = 0 ，以求三个线性无关的特征向量，运用矩阵的初等行变
⎡ 1 −1 −1 1 ⎤ ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎥⎯ ⎥， ( I − A) = ⎢ ⎯→ ⎢ 换， ⎢− 1 1 ⎢0 0 1 − 1⎥ 0 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0⎦ ⎣ 1 −1 −1 1 ⎦ ⎣0 0 x1 − x 2 − x3 + x 4 = 0 ， x1 = ~ x2 + ~ x3 − ~ x4 ，得到同解方程组
③ 再使它们单位化：
α 1 1 [1 1 0 0] T = ⎡ β1 = 1 = ⎢ α1 2 ⎣ 2 1 2 ⎤ 0 0⎥ ⎦
T
α β2 = 2 = α2
2 3
⎡1 ⎢2 ⎣
⎡ 1 ⎢− 3 ⎣
⎡ 1 1 ⎤ − 1 0⎥ = ⎢ 2 ⎦ ⎣ 6
1 3
T ⎡ 1 1 ⎤ 1⎥ = ⎢− 3 ⎦ ⎣ 2 3
T
α1 = [0 0 1] ；
② λ2 = 1
⎡1 − 1 0 ⎤ ⎡ 1 − 1 0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 2 I − A = ⎢ − 1 1 0⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0⎥ ⎦ ⎣0
T
∴
α 2 = [1 1 0] ；
③ λ 3 = −1
⎡1 1 0⎤ ⎡− 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎢ λ 3 I − A = ⎢− 1 − 1 0 ⎥ → ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ， ⎢ ⎢ 0 − 1⎥ ⎦ ⎣0 0 0 ⎥ ⎦ ⎣0

二次型化标准形的方法探究

二次型化标准形的方法探究作者：韩建邦来源：《科技风》2024年第16期摘要：二次型是线性代数的重要组成部分，为了方便计算我们通常会把二次型转化成标准形.本文主要讲述了化二次型为标准型的几种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法、配方法.关键词：二次型；标准形；正交变换法；合同变换法；配方法1化二次型为标准形的基本方法本文主要分析了将二次型化为标准形的四种方法：正交变换法、合同变换法、雅可比法以及配方法.1.1正交变换法分析：运用正交变换X=CY，首先要注意C必须是一个正交矩阵，CTAC=B当中对称矩阵A与对角阵B是合同的，并且CT=C-1，这是因为不能直接合同对角化，需要利用相似对角化C-1AC=B来进行，这就要求C为正交矩阵，否则无法进行CTAC=C-1AC=B这一步骤.具体步骤：第一步先将二次型表示成矩阵表达式f=XTAX，求出矩阵A；接着根据公式λE-A=0求出A所有的特征值λ1，λ2，…，λn；然后求出对应于特征值的线性无关的特征向量ξ1，ξ2，…，ξn，并将这组特征向量正交化、单位化，就可以得到向量组η1，η2，…，ηn，记C=（η1，η2，…，ηn）；最后做正交变换X=CY，就可以得到要求的二次型的标准形。

1.2合同变换法分析：首先了解什么是合同变换，若对方阵A做一次初等行变换，接着对所得矩阵做一次同种的初等列变换，就称对A进行一次合同变换.初等变换法要求对初等变换的知识有深刻的了解而且能够熟练运用，对初等变换和初等阵之间的关系也需要掌握好，在进行初等变换时首先会进行非退化线性替换即X=CY，然后需要有可逆矩阵C，使得CTAC=B，A每进行一次列的初等变换就要同时进行行的初等变换，直到能把A变换成一个对角阵B。

但是要注意对矩阵E只做与A同样的列变换，行不变换，EC=C，然后就能直接得到标准形的系数矩阵B以及非退化线性变换的系数矩阵C.具体步骤：利用可逆的线性变换X=CY，把f=XTAX化为标准形，即f=XTAX=（CY）TACY=YTCTACY=YTBY.只需CTAC=B，又因C=（p1，p2，…，ps），其中p1，p2，…，ps均为初等方阵，所以（p1p2…ps）TAp1p2…ps=B，即psT…p2Tp1TAp1p2…ps=B.而psT…p2Tp1T=psT…p2Tp1TE=CT，結合这两个式子可将A化成对角形矩阵，同时求出可逆矩阵C.A做合同变换（A|E）E做行变换（B|CT），求出CT，做可逆线性变换X=CY，则该变换将f化为标准形：f=k1y21+k2y22+…+kry2r1.3雅可比法分析：雅可比法是借助对称双线性函数将二次型化为标准形，运用雅克比方法将二次型转化为标准形的前提条件是n元二次型的矩阵的前（n-1）阶顺序主子式都不为零，那么这个二次型一定能化为标准形.雅可比法化二次型为标准形的实质是找到满足条件的一组基η1，η2，…，ηn即可.具体步骤：首先讨论能否构造一组基η1，η2，…，ηn其中η1=ε1，η2=c12ε1+ε2，…ηn=c1nε1+c2nε2+…+cn-1，nεn-1+εn，使得f（ηi，…，ηj）=0，i≠j.接着可以用施密特正交法构造正交基η1，η2，…，ηn根据对称双线性函数有：b11=f（η1，η1）=f（ε1，ε1）=a11=Δ1b22=f（η2，η2）=f（c12ε1+ε2，η2）=c12f（ε1，η2）+f（ε2，η2）.接着又知道其中有b12=f（η1，η2）=f（ε1，c12ε1+ε2）=c12f（ε1，ε1）+f（ε1，ε2）=c12a11+a12=0.所以求得c12=-a12a11，并且b12=f（ε1，η2）=0.将上述结果代入b22中可以得到：b22=f（ε2，η2）=f（ε2，c12ε1+ε2）=c12a12+a22=a11a22-a212a11=Δ2Δ1.照这种方法计算可以得到bii，i=1，2，…，n.由于bji=f（ηj，ηi）=f（εj，ηi）=0，其中j小于i，所以能够得到线性方程组：c1ia11+c2ia12+…+ci-1，ia1，i-1+a1i=0，c1ia21+c2ia22+…+ci-1，ia2，i-1+a2i=0，…c1iai-1，1+c2iai-1，2+…+ci-1，iai-1，i-1+ai-1，i=0.即c1i=Ai1Δi-1，c2i=Ai2Δi-1，…ci-1，i=Ai，i-1Δi-1.其中Aij是元素aij的代数余子式，j小于i.则有bii=f（ηi，ηi）=f（εi，ηi）=f（εi，c1iε1+c2iε2+…+ci-1，iεi-1+εi）=c1iai1+c2iai2+…+ci-1，iai，i-1+aii=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ai，i-1Ai，i-1+aiiAiiΔi-1=ΔiΔi-1最后令C=（cij）n×n=1 (1)0 (1)然后可求得向量ηi，使它能够满足bij=f（ηi，ηj）=0，i≠j则对称双线性函数f（α，β）关于基η1，η2，...，ηn的矩阵为B=CTAC=b11 00…bnn即二次型XTAX经过非退化线性替换X=CZ转化为标准形ZTBZ=b11z21+…+bnnz2n.1.4配方法我们知道不是所有的二次型都含平方项，所以在運用配方法之前首先要构造平方项，即通过非退化线性替换化二次型为含平方项的二次型，通常采用Lagrange配方法.具体步骤：如果二次型中含有xi的平方项，就先把含有xi的乘积项集中，然后进行配方，再对剩下的变量进行同样操作，直到把它们都配成平方项的形式，再经过非退化线性变换就可以得到标准形.当二次型不含有平方项的时候，且aij≠0（i≠j），则需先做可逆的线性变换xm=ym-ynxn=ym+ynxr=yr（r=1，2，…，n且k≠m，n）化二次型为含有平方项的二次型，然后进行与含平方项的二次型同样的操作即可得标准形.2化二次型为标准形的方法应用2.1正交变换法解决问题正交变换得到的标准形是以二次型对应矩阵的特征值为系数的，且通过该种方法所得到的标准形是唯一的，此时X=DY中的矩阵D是正交矩阵.例：求正交变换法X=DY，将二次型f（x1，x2，x3）=x21-x22-x23+4x1x2-4x1x3化为标准形.解：二次型矩阵A=12-22-10-20-1，A的特征多项式为：-2λ+1020λ+1=λ-1-22-2λ+100λ+1λ+1=λ-1-42-2λ+100λ+1λ+1按第三行展开可得λE-A=λ2-9λ+1，即得A的特征值为λ=3，-3，-1，当λ1=3时，可得（3E-A）x=0，即：2-42-240004→2-42002004→2-42002000可得基础解系α1=（2，1，0）T，即为λ1=3的特征向量。

化二次型为标准型的方法

在二次曲面的研究中也有类似的情况。

（1）的左端是一个二次齐次多项式。

从代数的观点看，所谓化标准方程就是用变量的线性替换（2）化简一个二次齐次多项式，使它只含平方项。

二次齐次多项式不但在几何中出现，而且数学的其他分支以及物理、力学中也常会碰到。

现在就来介绍它的一些最基本的性质。

如果ij c 0≠，那么线性替换（4）就称为非退化的。

在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此把二次型与线性替换用矩阵来表示。

二次型化为标准型的三种方法

f
(x1, x2,..., xn )
a11
x121
2x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
a
x2
22 2
...
2a2n xn2
配方
...... ann xn2
a11 x1
a12 a11
x2
...
a1n a11
xn
2
1
a11
a12x2 a13x3 ... a1n xn
x1
x1
xxx2222xxx3332222xxx22222x344xx32去324掉4xx2配x2 3x方3 后多出来的项
x1 x2 x3 2 x2 2x3 2.
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
例1 化二次型 f x12 2 x22 5 x32 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
为标准形,并求所用的变换矩阵.
解
含有平方项
含有 x1的项配方
f x12 2x22 5x32 2x1 x2 2x1 x3 6x2 x3
x12 2x1 x2 2x1 x3 2x22 5x32 6x2 x3
B
1
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3