配方法把二次型化为标准形

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举例说明将二次型化成标准型的方法

举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。

2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。

3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。

正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。

对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。

4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。

6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。

正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。

7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。

奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。

通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。

9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。

主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。

10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。

化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。

11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧1. 引言1.1 化二次型为标准形的重要性化二次型为标准形是线性代数中一个重要的概念。

在实际问题中，我们经常会遇到涉及二次型的计算和分析，因此将二次型化为标准形可以简化计算过程，方便问题的进一步研究和解决。

化为标准形后，我们可以更清晰地看到二次型的特征，比如主轴方向、主轴长度等，这有助于我们对二次型的性质进行深入了解。

将二次型化为标准形也为后续的计算和分析提供了便利。

通过化为标准形，我们可以更方便地进行求导、求极值等操作，从而更好地研究二次型的性质和应用。

标准形也为我们提供了一种比较统一的形式，使得不同二次型之间的比较和分析更加简便和直观。

化二次型为标准形是具有重要意义的。

它不仅简化了计算过程，提供了便利的分析工具，还有助于我们深入理解二次型的性质和特征。

选择合适的方法和技巧进行化标准形的操作可以更快速地解决问题，提高工作效率，是线性代数学习中不可或缺的一环。

2. 正文2.1 方法一：通过配方法求解通过配方法求解是一种将二次型化为标准形的常用方法。

在这种方法中，我们首先将二次型中的平方项配方，使其变为完全平方，然后再通过变量替换的方法将其化为标准形。

具体步骤如下：1. 将二次型中的平方项配方。

对于二次型Q(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2(a _{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+...+a_{n-1,n}x_{n-1}x_n)，我们可以将每一项中的平方项提出并进行配方，得到完全平方的形式。

2. 然后，通过适当的变量替换将配方后的二次型化为标准形。

通常情况下，我们选择适当的线性变换矩阵P，使得Q(x)=x^TAX中的A 为对角矩阵，即A=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)。

这样就将二次型成功化为标准形。

通过配方法求解的优点在于操作简单直观，容易理解和掌握。

用配方法将二次型化为标准型

用配方法将二次型化为标准型首先，我们来回顾一下二次型的定义。

对于n元变量x1, x2, ..., xn，二次型可以表示为。

Q(x) = x^T A x。

其中，A是一个n阶对称矩阵，x是一个n维列向量，x^T表示x的转置。

二次型的标准型是一个比较特殊的形式，可以通过合适的线性变换将任意的二次型化为标准型。

具体来说，标准型可以表示为。

Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。

其中，λ1, λ2, ..., λn是二次型的特征值，y1, y2, ..., yn是对应的特征向量。

接下来，我们将介绍用配方法将二次型化为标准型的步骤。

设给定的二次型为。

Q(x) = x^T A x。

我们的目标是通过合适的线性变换，将其化为标准型。

首先，我们需要求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。

然后，我们将特征值和特征向量构成对角矩阵和正交矩阵，利用这两个矩阵进行相似变换，最终将二次型化为标准型。

具体的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。

设特征值为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。

2. 将特征值和特征向量构成对角矩阵D和正交矩阵P。

其中，D的对角线元素为特征值，P的列向量为特征向量。

3. 进行相似变换。

设矩阵B = P^T A P，则二次型可以表示为。

Q(x) = x^T B x。

4. 化为标准型。

将矩阵B对角化，即将其化为对角矩阵，对角线元素为特征值。

设B的对角线元素为λ1, λ2, ..., λn，则二次型化为标准型。

Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。

其中，y = P x。

通过以上步骤，我们可以将任意给定的二次型通过配方法化为标准型。

这样做的好处在于，标准型更容易进行分析和运算，可以更清晰地展现二次型的特性和规律。

在实际问题中，通过将二次型化为标准型，我们可以更方便地求出极值、进行分类讨论等。

6_2 配方法化二次型为标准形

《线性代数》返回
②将x1, x2,…, xn正交化标准化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页习题四 8， 9
《线性代数》
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结束
现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY

( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的满秩方阵 P 为
《线性代数》返回下页下页
P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形四、正交变换化二次型为标准形五、惯性定律与正定二次型

配方法化二次型为标准型

1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3

x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：

正交变换法和配方法化二次型标准形

正交变换法和配方法化二次型标准形-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣研究摘要二次型的研究起源于解析几何，在平面解析几何中，通常需要把二次曲线与二次曲面方程化为标准方程．从代数学的观点看，这种变化过程就是通过变量的线性替换化简一个二次多项式，使之只含有各个变量的平方项的过程．这类问题在数学的各个分支及物理、力学和网络计算中都有重要应用.本文在对二次型概念的理解基础上，将二次型化为标准形的方法进行归纳整理，并做进一步的研究与讨论．总结出正交变换法和配方法化二次型标准形的优劣之处.关键词：二次型；标准形；配方法；正交变换法AbstractQuadratic study originated in analytic geometry. In graphic analytic geometry, usually need to second curve and surface equation into standard equation. From the point of view of algebra, the change process of replacement is through simplifying linear variable, a quadratic multinomial only contains the square of variables. This kind of question in each branch of mathematics, physics,mechanics and network computing have important applications.Based on the understanding of quadratic basis, induce the method of transform quadratic form into standard form, and further generalization of the research and discussion. Summarize the advantage and disadvantage of orthogonal transformation method and the method of completing square.Keywords: Quadratic form; Standard form; Method of completing square; Method of orthogonal transformation目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)1．引言 (1)2．定义 (1)3．定理及其证明 (2)4．方法步骤及例题 (5)配方法化二次型标准形 (5)正交变换法化二次型标准形 (7)两种方法的比较研究 (9)5．小结 (10)致谢 (12)参考文献 (13)1. 引言线性代数理论有着悠久的历史和丰富的内容，随着科学技术的发展，特别是电子计算机使用的日益普遍，作为重要的数学工具之一，线性代数的应用已经深入到了自然科学、社会科学、工程技术、经济、管理等各个领域.二次型理论在线性代数中占有举足轻重的地位,从对平方数的注意到对特殊二次型的研究，再到对一般二次型的探索与发展，中间经历了一个漫长曲折的历史过程,而实二次型的标准形与代数数论、数的几何等都有密切的联系，利用二次型可以把任何一个方阵JORDAN标准化,对研究矩阵是非常有用的，因此讨论化二次型为标准形的问题就成为教学的一个很重要的内容.文献[1]-[3]具体介绍了二次型的定义以及对二次型的研究情况，提出了化二次型为标准型的重要性.文献[4]-[6]提出了用正交变换法化二次型标准形的步骤及应用．文献[7]-[8]提出了用配方法化二次型标准形的步骤及应用.本文对化二次型为标准形的方法进行了归纳和总结，并做进一步的研究与讨论，这在理论上和应用上都有着十分重要的意义.2. 定义定义 1：设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式()n x x x f ,,,21 =11a 21x +22112x x a +…+2n n x x a 11+2222x a +…2n n x x a 22+…2n nn x a称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型.定义 2：设n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x22112222211212121111(1)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换，简称线性替换.如果系数行列式 0≠ij c ，那么，线性替换(1)就称为非退化的.定义 3：在n 维欧式空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基.3. 定理及其证明定理 1：数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化线性替换变成平方和2222211n n x d x d x d +++ 的形式.证明：对变量的个数n 作归纳法.对于n=1，二次型就是()21111x a x f =，已经是平方和了，现假定对n-1元的二次型，定理的结论成立.再设()∑∑===ni nj j i ij n x x a x x x f 2221,,, （ji ij a a =）分三种情形来讨论：1）ij a （n i ,,2,1 =）中至少有一个不为零，例如011≠a ，这时()n x x x f ,,,21 =∑∑∑∑====+++ni nj j i ij ni i i nj j j x x a x x a x x a x a 222112112111=∑∑∑===++n i nj j i ij n j j j x x a x x a x a 2221121112= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a -221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22= 212111111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=-j j n j x a a x a +∑∑==n i n j j i ij x x b 22这里 ∑∑==ni nj j i ij x x b 22=-221111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=-n j j j x a a +∑∑==n i n j j i ij x x a 22是一个n x x x ,,,32 的二次型. 令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=∑=-n n nj jj x y x y x a a x y 222111111即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=∑=-n n nj jj x y x y x a a y x 222111111 这是一个非退化线性替换，它使()n x x x f ,,,21 =∑∑==+ni nj j i ij y y b y a 222111由归纳法假定，对∑∑==n i nj j i ij y y b 22有非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c z y c y c y c z y c y c y c z 33223333232323232222能使它变成平方和2233222n n z d z d z d +++于是非退化线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++==nnn n n nn y c y c z y c y c z y z 222222211就使()n x x x f ,,,21 变成()n x x x f ,,,21 =22222111n n z d z d z a +++ ，即变成平方和了.根据归纳法原理，定理得证.2）所有0=ii a ，但是至少有一01≠j a （j>1）,不失普遍性，设012≠a令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=nn z x z x z z x z z x 33212211它是非退化线性变换，且使 ()n x x x f ,,,21 = +21122x x a=()() +-+2121122z z z z a= +-2212211222z a z a ，这时上式右端是n z z z ,,,21 的二次型，且21z 的系数不为零，属于第一种情况，定理成立.3)011211====n a a a由于对称性，有013121====n a a a这时()n x x x f ,,,21 =∑∑==ni nj j i ij x x a 22是n-1元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.定理2：对于任一个n 级实对称矩阵A ，都存在正交矩阵Q ，使得AQ Q 1-=AQ Q '=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值.定理 3：对于n 维欧式空间中任意一组基n εεε,,,21 ，都可以找到一组标准正交基n ηηη,,,21 ，使L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，n i ,,2,1 =.证明：设n εεε,,,21 是一组基，我们来逐个地求出向量n ηηη,,,21 . 首先，可取1111εεη=.一般地，假定已经求出m ηηη,,,21 ，它们是单位正交的，具有性质 L ()i εεε,,,21 =L ()i ηηη,,,21 ，m i ,,2,1 =.下一步求1+m η因为L ()m εεε,,,21 =L ()m ηηη,,,21 ，所以1+m ε不能被m ηηη,,,21 线性表出. 作向量()∑=+++-=mi i i m m m 1111,ηηεεξ.显然，01≠+m ξ，且()0,11=+ηξm ，m i ,,2,1 =令 111+++=m m m ξξη ，121,,,,+m m ηηηη 就是一单位正交向量组. 同时 L ()121,,,+m εεε =L ()121,,,+m ηηη 由归纳法原理，定理得证.定理 4：任意一个n 元二次型()n x x x f ,,,21 =AX X '(A 实对称)，总可以经过正交变换QY X =（Q 为正交矩阵）化为标准形2222211n n y y y f λλλ+++= ，式中，n λλλ,,,21 是矩阵A =(ij a )的全部特征值，2222211n n y y y f λλλ+++= 称为二次型在正交变换下的标准形.证明：因为矩阵A 是实对称阵，由定理4可知，一定存在正交矩阵Q ，使得 AQ Q 1-=AQ Q '=A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21其中n λλλ,,,21 是矩阵A 的全部特征值.作正交变换QY X =,则()n x x x f ,,,21 =AX X '=()Y AQ Q Y ''=AY Y '=2222211n n y y y λλλ+++4. 方法步骤及例题配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理：情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。

配方法化二次型为标准型

配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。

若不是对称矩阵，则进行对称化处理。

2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。

这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。

3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。

这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。

4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。

第五章二节二次型的标准形和规范形

T 得对应的特征向量 a3 = (1,1,1)
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏犏2 犏犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏犏 2 犏犏犏0 犏臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏犏 0 -1 1 臌而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。解由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有

线性代数14.配方法化二次型、正定二次型

1 2
x3）2 +（2 x2
+x3）2 +（
-
52）x32
当 5， f 正定;
2
规范形为 f z12 z22 z32
当 5，f 半正定;
2
规范形为 f z12 z22
当 5， f 不定;
2
规范形为 f z12 z22 -z32
例6.3.3 设A是n阶正定矩阵, 证明A1, A, Ak (k为正整数)都是正定矩阵.
(x1 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 5x32
令： yy12
x1
2
x2 x2
2x3 x3
y3
x3
y1 1 2 2 x1
即：
y2
0
1
1
x2
y3 0 0 1 x3
x1 1 2 2 1 y1
从而： x2
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
故该实二次型的正惯性指数p 2,
负惯性指数q 0
秩r p q 2 规范形为h(z) z12 z22.
6.3 定性分类
定义6.3.1 设有二次型 f xT Ax ，其中 A 为实对称矩阵,
若对任意非零向量 x ，总有：（1）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为正定二次型，并称 A 为正定矩阵；（2）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半正定二次型，并称 A 为半正定矩阵；（3）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为负定二次型，并称 A 为负定矩阵；（4）f xT Ax 0，则称 f xT Ax 为半负定二次型，并称 A 为半负定矩阵；
A正定 A的各阶顺序主子式均大于零
A负定 A的奇数阶顺序主子式均为负，

二次型的标准型和规范型

例1 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 2x1x3 2x22 8x2 x3 5x32 化为标准形.

问题 : 设A为实对称矩阵,求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. 方法 : (1)求一正交矩阵Q, 使QT AQ Q1AQ为对角矩阵. 令P Q即可. (2)求一正交变换x Qy(Q为正交矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形. 令P Q即可. (3)求一可逆的线性变换x Py(P为可逆矩阵), 将二次型f (x) xT Ax化为标准形, 则P即为所求.
矩阵 A 的正、负惯性指数

定理5.4（惯性定理）任一二次型都可经可逆的线性变换化为
规范形，且规范性唯一.
推论1任一实对称矩阵A合同于对角矩阵 Ep Er p
.

O
推论2设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同二者有相同的
秩和正惯性指数.
推论3设n阶矩阵A, B都是实对称矩阵,则A与B合同二者的正、负

小结 : 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P1AP为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q1AQ为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.

2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.

2. 正交变换法正交变换：x Qy,其中Q为正交矩阵.

二次型43388

二次型二次型化为标准型的一般方法： 1、配方法--合同变换（非刚体变换）令x Py =，''''x Ax y P APy y y ==Λ，此时，Λ中对角线上的元素一般不是A 的特征值，且Λ的元素不唯一，但非零元素的个数唯一且等于A 的秩，正负惯性指数唯一。

2、正交变换（刚体变换）先求特征值，特征向量，分别正交化，单位化。

例：（2003（三）13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T 中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12。

(1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 分析：特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.详解：（1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ，解得 1,2ab ==.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(220202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ 对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T =ξ 对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系 .)2,0,1(3T -=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵.在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为 .322232221y y y f -+=【评注】本题求a,b ，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：例：05109 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】（I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I ）二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ，由二次型的秩为2，知 0200011011=-++-=a a a a A ，得0a =（II ）这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ.解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由Qy x =，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +（III ）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：Qy x ==[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. 二次型f 的矩阵A 对应特征多项式为)].2()2()[2(202022b a a bbaA E +----=+----=-λλλλλλλ 设A 的特征值为321,,λλλ，则).2(,2,2232321b a a +-=-=+=λλλλλ由题设得1)2(2321=-+=++a λλλ，.12)2(22321-=+-=b a λλλ，解得1,2a b ==.正定性的判定()'f x x Ax =正定 ⇔ A 正定 ⇔ () '0n x o R x Ax ∀≠∈⇒> ⇔ A 的特征值全大于零⇔ n 个顺序主子式全大于零 ⇔ A 与单位矩阵合同，即'A U U =，其中U 为可逆矩阵A 正定，1A -正定；*A 正定。

线性代数C第6章二次型4讲2

当λ1＝2时，解方程(A-2E)x=0,由于
2 0 0 1 0 0 A − 2 E = 0 1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 的基础解系为 ξ1 = 1 ，单位化得 P = 1 1 ; 1 2 −1 −1
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§2 用配方法将二次型化为标准形
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状不变的优点.如果不限于正交变换，还可以用其他方法将二次型化成标准形.本节将介绍拉格朗日(Lagrange)配平方法. 用此方法时，二次型大致分为两类，各种二次型都可化成这两类二次型来解决.
1 1 −1 1 CT = 1 −1 −1 1
0 0 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 0 0 , C = . 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2
作可逆变换x=Cy,即 x1 1 −1 1 −1 y1 x 1 1 −1 1 y 2 = 2, x3 0 0 1 1 y3 x4 0 0 0 2 y4
f =y +y .
2 1 2 2
例2.2 用配方法化二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3 成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为

线性代数用配方法化二次型为标准型

y1 y2

y3
2Eyv3 aluation
only.
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Copyy2y1 rigzz21ht
22z30z30, 4-20即11yyA12spos10e
思考题解答
解由于所给二次型不含平方项,故令
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Evaluation only. eated with A问s题pose有.S没lid有es其fo它r方.N法E，T 3也.5可C以li把en二t P次ro型fi化le 5.2.0
为标C准op形y？right 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．
eated w令ithCAoysyyp1p23yorsixgxex12.h3Stlx2Ei2d20vxe03as4lxuf-3o2art0i.1oN1nEAoTnsxxxpl31y23o..5seyCyy1P23liteyy2n2Lty3tPdyr.o3 file 5.2.0
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6.4二次型的典型例题

求得属于特征值 2 5
0
的特征向量为
0 p2 1
1
• 对于特征值 3 1，同样可以求得其特征向量为
0 p3 1
1
• 由只于需属将于p1不, p2同, p特3单征位值化的，特即征得向三量个两相两互正正交交，的因单此位
特征向量：
1 e1 0
0
0
e2
1
2 1
•
故
3 a 3 a
5, 1.
得a 2
；或
3 a 1, 3 a 5.
得 a 2
• 所以 a 2
• 例4 已知二次型
f (x1, x2 , x3 ) 5x12 ax22 3x32 2 x1x2 6 x1x3 6 x2 x3
• 的正惯性指数为p=2，负惯性指数为q=0，
• 例2 求一个正交变换将二次型
f (x1, x2 , x3 ) 3x12 2x22 2x32 6x2 x3
• 化成标准形。
3 0 0
•
解：A
0
2
3
，由
0 3 2
3 0 0
A E 0 2 3 ( 3)( 5)( 1)
0 3 2
• 知特征值为：1 3, 2 5, 3 1
1 0 5
2 1 0 1 02001 03 2 10
1
1 0
1
0 10
1 0
3
2 1
x1 1
x2
1
x3 0
1 1 0
1
0
0 1
0 0
0 1 0
5 2 3 2 1
z1 z2 z3
• 由此
x
Pz
P
1 1
1 1
1 4

化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。

它以线性空间为背景，以线性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。

二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。

而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。

二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。

下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法关键词：二次型线性替换矩阵标准形导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。

二次型是学中的一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。

在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。

我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。

化二次型为标准形的方法一．配方法配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。

使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n n d x d x d x +++的形。

1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

二次型的标准型和规范型

小结: 设A为实对称矩阵, (1)求一可逆矩阵P, 使P 1 A P为对角矩阵. (2)求一正交矩阵Q, 使Q 1 A Q为对角矩阵. (3)求一可逆矩阵P,使PT AP为对角矩阵. (4)求一正交矩阵Q,使QT AQ为对角矩阵.
பைடு நூலகம்
2. 初等变换法
准备知识： (1)化二次型f (x) xT Ax为标准形化实对称矩阵A为对角矩阵. (2)任一方阵均可利用对等的初等行、列变换化为对角矩阵. 这里, " 对等"指的是作一次初等行变换后, 立即再作一次同种的初等列变换.
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的修。筑权 ②修路成为中国人救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑权收归国有。 4．制约因素政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入正轨。
二、水运与航空
1．水运 (1)1872年,
方法： A 对等的初等行、列变换对角矩阵
E 同样的初等列变换 C CT AC为对角矩阵 . 作线性变换 x Cy,则可将二次型 f (x) xT Ax化为标准形 g( y) yT (CT AC) y.
例4 将二次型f (x1, x2 , x3 ) x12 2x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3化为标准形. 例5 将二次型f (x1, x2 , x3) 2x1x2 2x1x3 6x2 x3化为标准形.
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始

配方法把二次型化为标准形

举例说明将二次型化成标准型的方法

化二次型为标准形几种方法的比较及技巧

用配方法将二次型化为标准型

6_2 配方法化二次型为标准形

配方法化二次型为标准型

正交变换法和配方法化二次型标准形

配方法化二次型为标准型

第五章二节二次型的标准形和规范形

线性代数14.配方法化二次型、正定二次型

二次型的标准型和规范型

二次型43388

线性代数C第6章二次型4讲2

线性代数 用配方法化二次型为标准型

6.4二次型的典型例题

化二次型为标准形的方法

二次型的标准型和规范型

线性代数用配方法化二次型为标准型