二元一次方程组常见错解剖析
二元一次方程组典型错解例析
二元一次方程组典型错解例析“化多为少，由繁至简，各个击破，逐一解决”的“消元”思想是解方程组的“法宝”，代入法和加减法则是落实“消元”思想的具体措施，但在具体运用这两种方法对二元一次方程组进行求解时，不少同学都“犯了不该犯的错”：错解一：错代入例1：解方程组：⎩⎨⎧=+=+②40y 2x ① 22y x 错误解答： 由①得 x =22－y ③把③代入①得 (22－y ) +y =22 ④整理④得 0=0 ⑤⑤是个恒等式，所以这个方程组有无数组任意解。
错解分析：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。
本题中③是由①变形得，因此应把③代入②，而不是把③代入①。
正确解答： 由①得 x =22－y ③把③代入②得 2×(22－y )+y =40 ④解④得 y =4把y =4代入①得 x +4=22 ⑤解⑤得 x =18所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==418y x 警示一：利用代入消元法解二元一次方程组时，把其中一个系数较简单的方程变形为用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后应该代入到这个方程组中的“另一个”方程，而不能代入到变形前的那个方程。
错解二：不完整例2：解方程组：⎩⎨⎧==②48y -3x ① y -x 13错误解答： 由①得 x = 3+y ③把③代入②得 3×(3+y )－8y =14 ④解④得 y =－1所以这个方程组的解是 y =－1 。
错解分析：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
而此例只是求出一个未知数y 的值，没有求出另一个未知数x 的值，所以此题应继续求出另一个未知数x 的值。
正确解答： 由①得 x =y +3 ③把③代入②得 3×(y +3)－8y =14 ④解④得 y =－1把y =－1代入①得 x －(－1)=3 ⑤解⑤得 x =2所以这个方程组的解是 ⎩⎨⎧==-1y 2x 警示二：求方程组的解时必须求出两个未知数的值，而不应该只是求出一个未知数的值。
中考数学 二元一次方程组易错压轴解答题(及答案)
中考数学二元一次方程组易错压轴解答题(及答案)一、二元一次方程组易错压轴解答题1．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.（1）当时，求c的值.（2）当a＝时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.2．我们用表示不大于x的最大整数，例如请解决下列问题：（1） =________． =________．（其中为圆周率）；（2）已知x,y满足方程组求x,y的取值范围．3．仔细阅读下面解方程组的方法,然后解决有关问题:解方程组时，如果直接消元，那将会很繁琐，若采用下面的解法,则会简单很多.解：①-②，得：2x+2y=2，即x+y=1③③×16，得：16x+16y=16④②-④，得：x=-1将x=-1代入③得：y=2∴原方程组的解为：（1）请你采用上述方法解方程组：（2）请你采用上述方法解关于x，y的方程组，其中．4．某集团购买了150吨物资打算运往某地支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）车型甲乙丙汽车运载量（吨/辆）5810汽车运费（元/辆）10001200150024000元，问分别需甲、乙两种车型各多少辆？（2）若该集团决定用甲、乙、丙三种汽车共18辆同时参与运送，请你写出可能的运送方案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）.5．为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用5400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．（1）求医用口罩和洗手液的单价；（2）由于实际需要，除购买医用口罩和洗手液外，还需增加购买单价为6元的N95口罩．若需购买医用口罩，N95口罩共1200个，其中N95口罩不超过200个，钱恰好全部用完，则有几种购买方案，请列方程计算．6．文雅书店出售A，B两种书籍，已知A书籍单售为每本50元，B书籍单售为每本30元，整套(A，B各一本)出售为每套70元。
解二元一次方程组常犯错误简析
解二元一次方程组常犯错误简析
发表时间：2012-07-04T09:46:13.840Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2012年第28期供稿作者：乔春祥[导读] 者仅就教学所见，举出数例并略加评析，以便帮助同学们纠正错误，为今后的学习扫除这部分障碍．江苏东台市五烈中学乔春祥在解二元一次方程组时，由于有的同学学得不够扎实，或者解题时急于求成，粗心大意，不做检查，因而常会出现这样或那样的错误．笔者仅就教学所见，举出数例并略加评析，以便帮助同学们纠正错误，为今后的学习扫除这部分障碍．一、加减时符号出错。
第五章 二元一次方程组易错剖析+重难点突破训练(含答案) 2024-2025-北师大版数学八年级上册
第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底【例1】下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. 3x−2y=4zB. 6xy+9=0C. 1x +4y=6 D. 4x=y−24本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.跟踪练习1. 下列方程中，是二元一次方程的是（）.A. xy=2B. 3x+4y=0C. x+1y=2 D. x2+2y=4易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误【例2】解方程组：{x−2y=2,①x−y=−2.②用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.跟踪练习2. 解方程组：{2x−5y=−3,①2x−3y=−1.②易错点三不理解待定系数法而出错【例3】已知一次函数图象经过点(0,3)，(3,0)，写出它的表达式： .本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b=3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.跟踪练习3. 已知一次函数的图象经过点(1,3)和点(−2,−3)，则此一次函数的表达式是 .易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意【例4】现有食盐水两种，一种含盐12%，另一种含盐20%，分别取这两种盐水a kg和b kg，将其混合成18%的盐水100kg，求a，b的值.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b=100×18 %，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.跟踪练习4. 今年“五一”小长假期间，某市外来与外出旅游总人数为226万人，分别比去年同期增长30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.重难点突破重难点一 二元一次方程（组）的有关概念注意理解定义中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数，且“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.1. 下列四个方程中是二元一次方程的是（ ）.A. 4x−1=xB. x +1x =2C. 2x−3y =1D. xy =82. 已知2x 3−k +y =0是二元一次方程，那么k 的值为（ ）.A. 3 B. 0 C. 2 D. 43. 在下列方程组：①{x +y =5,3y−x =1,②{xy =1,x +2y =3,③{1x +1y =1,x +y =1,④{x =1,y =3中，是二元一次方程组的是（ ）.A. ①③B. ①④C. ①②D. 只有①4. 已知3x a−1−5y b +2=1是关于x ，y 的二元一次方程，则a +b = .5. 若方程组{x +y ∣a∣−2=0,(a−3)x +9=0是二元一次方程组，求a 的值.重难点二 求解二元一次方程组解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法，核心思想是“消元”.6. 方程组{x +y =5,x−y =1的解是（ ）.A. {x =3,y =2 B. {x =−2,y =−3 C. {x =4,y =1 D. {x =4,y =37. 方程组{x +y =10,2x +y =16的解是（ ）.A. {x =7,y =3B. {x =6,y =4C. {x =5,y =5D. {x =1,y =98. [2023·深圳期末]解方程组：（1） {y =2x ,x +y =12；（2） {3x +5y =21,2x−5y =−11.重难点三 二元一次方程组的应用利用二元一次方程（组）解决实际问题的一般步骤：（1）审，（2）设，（3）找，（4）列，（5）解，（6）答.9. 某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示：甲食材乙食材每克所含蛋白质0.3单位0.7单位每克所含碳水化合物0.6单位0.4单位若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程组为（）.A. {0.3x+0.6y=21,0.7x+0.4y=40 B. {0.6x+0.3y=21, 0.4x+0.7y=40C. {0.3x+0.7y=21,0.6x+0.4y=40 D. {0.3x+0.7y=40, 0.6x+0.4y=2110. [2023·东莞校考]某车间有60名工人，每人平均每天可加工螺栓14个或螺母20个，要使每天加工的螺栓和螺母配套（1个螺栓配2个螺母），设分配x 人生产螺母，y人生产螺栓，依题意列方程组为某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A，B的数量和费用如表所示：购买商品A的数量/个购买商品B的数量/个购买总费用/元第一次购物65 1 140第二次购物37 1 110第三次购物98 1 062（1）在这三次购物中，第次购物打了折扣；（2）求出商品A，B的标价.12. 某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车.据了解，2辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请直接写出该公司的采购方案.重难点四二元一次方程与一次函数的综合一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线.13. 如图，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则关于x，y 的二元一次方程组{kx−y=−b,y−x=2的解是（）.A. {x=3,y=4 B. {x=2,y=4 C.{x=1.8,y=4 D.{x=2.4,y=414. 若关于x，y的二元一次方程组{y=kx+b,y=mx+n的解为{x=2,y=5,则一次函数y=kx+b与y=mx+n的图象的交点坐标为（）.A. (2,5)B. (5,2)C. (−2,−5)D. (1,5)15. 如图是函数y=−x+4与y=x+2的图象，则方程组{y=−x+4,y=x+2的解是 .16. 如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,b)，分别与x 轴交于A，B两点.（1）求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解；（2）求△ABP的面积；（3）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD的长为2，直接写出a的值.第五章二元一次方程组易错点剖析易错点一对二元一次方程（组）的定义理解不彻底跟踪练习1．B本题容易受6xy+9=0中的xy影响导致误选，二元一次方程（组）必须符合以下三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1，注意xy的次数是2；（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【例1】 D易错点二解方程组时不注意项的符号导致错误跟踪练习2．解：①−②，得−2y=−2，解得y=1，把y=1代入②，得2x −3=−1，解得x=1，所以原方程组的解为{x=1,y=1.用加减消元法中减法消元时，易出现符号错误，所以要特别细心.【例2】解：①−②，得−y=4，∴y=−4.把y=−4代入②，得x −(−4)=−2，解得x=−6，所以原方程组的解为{x=−6,y=−4.易错点三不理解待定系数法而出错跟踪练习3．y=2x+1本题容易把待定的系数与变量混为一谈，直接误认为k=3，b= 3，做出错误的答案.因此，用待定系数法解题，要牢牢把握准所求的系数.【例3】y=−x+3易错点四列方程组解应用题时不能正确理解题意跟踪练习4．解：设去年外来旅游的人数为x万人，外出旅游的人数为y万人，由题意得{x−y=20,(1+30%)x+(1+20%)y=226,解得{x=100, y=80,所以(1+30%)x=(1+30%)×100=130，(1+20%)y=(1+20%)×80=96.答：该市今年外来和外出旅游的人数分别是130万人和96万人.在列方程时，对背景不熟而出错，如：列方程12%a+20%b= 100×18%，方程左边表示混合之前两种食盐水的含盐量之和，而右边表示最后盐水中的含盐量.因此，解题时，要深刻理解题意，找准等量关系.【例4】解：根据题意得{a+b=100,12%a+20%b=100×18%,解得{a=25, b=75.答：a，b的值分别为25，75.重难点突破重难点一二元一次方程（组）的有关概念1．C2．C3．B4．15．解：∵方程组{x+y∣a∣−2=0,(a−3)x+9=0是二元一次方程组，∴|a|−2=1且a−3≠0，∴a=−3．重难点二求解二元一次方程组6．A7．B8．（1）解：{y=2x①,x+y=12②,将①代入②,得3x=12，解得x=4.将x=4代入①，得y=8，∴原方程组的解为{x=4,y=8.（2）{3x+5y=21①,2x−5y=−11②,①+②，得5x=10，解得x=2，将x=2代入①，得6+5y=21，∴5y=15，解得y=3，∴原方程组的解为{x=2,y=3.重难点三二元一次方程组的应用9．C10．{x+y=60,20x=2×14y11．（1）三解：∵第三次购买的数量最多，总费用最少，∴小明以折扣价购买商品A，B是第三次购物．故答案为三．（2）设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，根据题意，得{6x+5y=1140,3x+7y=1110,解得{x=90,y=120.答：商品A的标价为90元，商品B的标价为120元．12．（1）解：设A，B两种型号的汽车每辆进价分别为x万元，y万元．依题意，得{2x+3y=80,3x+2y=95,解得{x=25, y=10,答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元，10万元．（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，m<n，依题意，得25m+10n=200，∴m=8−25n.∵m，n均为正整数，∴n为5的倍数，∴m=6，n=5或m=4，n=10或m=2，n=15，∵m<n，∴m=6，n=5不合题意，舍去，∴共有2种购买方案.方案一：购进A型汽车4辆，B型汽车10辆；方案二：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆.重难点四二元一次方程与一次函数的综合13．B14．A15．{x=1,y=316．（1）解：把点P(1,b)的坐标代入y=2x+1，得b=2+1= 3，把点P(1,3)的坐标代入y=mx+4，得m+4=3，∴m=−1.∵直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P(1,3)，∴关于x,y的方程组{2x−y=−1,mx−y=−4的解为{x=1, y=3.（2）∵l1：y=2x+1，l2：y=−x+4，∴A (−12,0)，B(4,0)，∴AB=4−(−12)=92.设点P到x轴的距离为ℎ，则ℎ=3，∴S △ABP =12AB ⋅ℎ=12×92×3=274．（3） 直线x =a 与直线l 1 的交点C 的坐标为(a ,2a +1)，与直线l 2 的交点D 的坐标为(a,−a +4)．∵CD =2，∴|2a +1−(−a +4)|=2，即|3a−3|=2，∴3a−3=2 或3a−3=−2，∴a =53或a =13．。
二元一次方程组的解法易错点剖析
解二元一次方程组常见错解示例一、概念不清例1.下面不是二元一次方程组的是( ) .(A)1,2;xy=-⎧⎨=⎩(B) x+ 2y= 4y-3x= 8;(C)6,113;4x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩(D)3416,5633.x yx y+=⎧⎨-=⎩错解：选B .错解分析：错选B 原因是对二元一次方程组的概念理解不透彻. 事实上，二元一次方程组有两个特点：1.方程组中的每一个方程都是一次方程；2.方程组中含有两个且只含有两个未知数. C 中虽然含有两个未知数，但1134x y+=不是一次方程，所以C 就不是二元一次方程组. 要特别注意B这种形式的等式. 实际上它可以写成x + 2y = 8 和4y - 3x = 8 这两个方程，它们可以组成一个二元一次方程组. A、B、D都是二元一次方程组.正确答案：选 C.二、张冠李戴例2.若一个二元一次方程的一组解是1,2,xy=⎧⎨=⎩则这个方程可以是( 只要求写出一个) .错解：3, 3 1. x yx y+=⎧⎨-=⎩错解分析：题目要求写出一组解是12xy=⎧⎨=⎩的二元一次方程，而不是二元一次方程组，错误的原因是把二元一次方程的“冠”戴在了二元一次方程组的头上.正解：x+ y= 3(符合题意即可，答案不唯一) .三、循环代入 例3.解方程组398510-=⎧⎨-=⎩x y x y ①，②.错解：由①，得 y = 3x - 9 ③ 将③代入①，得3x - ( 3x - 9) = 9， 即9= 9.因此，原方程组的解是一切实数.错解分析：本题错在对代入法的主要步骤掌握不牢，理解不够深刻. 错解中出现了“9= 9”这个恒等式的原因是方程③是由方程①变形得到的，接着又代入方程①，犯下了循环代入的错误.正解：由①， 得 y = 3x - 9 ③ 将③代入②， 得8x - 5( 3x - 9) = 10. 解之，得x = 5.将x = 5 代入③，得y = 6. 所以原方程组的解是5,6.x y =⎧⎨=⎩四、换元后未还原 例4.解方程组3()4()1,1.26x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩错解：设x + y = a ，x - y = b ， 则原方程组可化为341,1.26a b a b -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之，得5,31.a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以原方程组的解是5,31.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩错解分析：整体换元的解题策略是正确的，但没有把元换回来, 因而致错. 正解：设x+ y= a，x- y= b，则原方程组可化为341,1. 26a ba b-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解之，得5,31. ab⎧=⎪⎨⎪=⎩所以5,31. x yx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解之，得4,31.3 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这就是原方程组的解.二元一次方程（组）错解示例一、例1．有下列各式：①2x+y－1;②ab－2b=7;③x－5=6;④1x－2y =1;⑤x=y;⑥2x－3y=5－x;⑦2x2+2x－6=2x2－(x+y).其中是二元一次方程的有。
解二元一次方程组常见错误剖析 专题辅导 不分版本
解二元一次方程组常见错误剖析金友良在解二元一次方程组时，由于有的同学数学基础不扎实，或解题时粗心大意，常会出现这样或那样的错误。
针对这种现象，本文就举几个例子作如下分析，以便帮助同学们及时纠正错误，为今后的学习扫除部分障碍。
一、加减时符号出错例1 解方程组⎩⎨⎧=-=+②①11y 2x 33y 3x 2 错解：①×3，得9y 9x 6=+③ ②×2，得22y 4x 6=-④ ③－④得13y 5-=，解得513y -= 把513y -=代入①得，3539x 2=- 解这方程得527x = 所以方程组的解是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==513y 527x 剖析：③－④时，应是13)y 4(y 9-=--即13y=－13，所以，解得y=－1把y=－1代入①后，则为33x 2=-所以，解得3x =因此，方程组的解应是⎩⎨⎧-==1y 3x二、在化简去分母时漏乘常数项出错例2 已知3103y 2x 4y 3x =-+=-，求x 、y 的值。
错解：由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-②①3103y 2x 34y 3x ①去分母后，得36y 3x 4=-③ ②去分母后，得1810y 2x 3=-+即28y 2x 3=+ ④再把③×3，得108y 9x 12=-⑤ 把④×4，得112y 8x 12=+⑥ 由⑥－⑤可得174y =把174y =代入④，解得17156x =。
剖析：上面解法中②去分母时，－10漏乘了6。
正确的应是：②去分母后，可得78y 2x 3=+再解方程组⎩⎨⎧=+=-78y 2x 336y 3x 4 解得x=18，y=12三、去分母时漏添括号而出错例3 解下列方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=-++②①12y 132x 121y 32x 错解：由①去分母，得61y 32x 2=-++整理后，得5y 3x 2=+ ③由②去分母得，6y 32x 2=-++整理后，得1y x 2=- ④③－④得4y=4，解得y=1再把y=1代入③，得2x+3=5解得x=1所以原方程组的解是⎩⎨⎧==1y 1x 剖析：本题中，方程左边各项的分子都是多项式，因此在去分母时，应把分子添上括号。
解二元一次方程组的计算错误原因分析
案例剖析
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解二元一次方程组的计算错误原因分析
◎张 燕 （ 武汉市四美塘中学，湖北 武汉 430063）
【摘要】应用题一直以来都是初中数学中的重点与难点 内容． 学生从七年级开始就接触应用题，这是简单的运算不 能良好地解决的数学问题，这就需要用到二元一次方程组． 二元一次方程组 解 应 用 题 是 一 种 效 率 很 高 的 解 题 方 法 ，学 生对这项知识的掌握逐渐成为数学教学中的一大挑战． 因 此，本文对学生在 列 二 元 一 次 方 程 组 解 应 用 题 中 的 常 见 错 误进行了整理，并深究其错误原因，了解分析了学生对这些 错误知识的认知 掌 握，希 望 能 够 给 二 元 一 次 方 程 组 解 应 用 题教学提供一些参考．
x = 3． 5，
（ 1 + 40% ） x + （ 1 + 60% ） y = 9，解得 y = 2． 5．
答： 2 月份男女服装销售收入分别为 3． 5 万元和 2． 5
万元．
2． 学生在列方程解应用题时概念理解错误
图 2 错题 2
具体的错解如错题 2 所示． 这道题是典型的行程问题， 如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同 向而行，则其相对速度为速度之差，这一点在错解例题中并 没有解错，其错误是在相对移动的过程中，移动的行程应为 两列火车的长度之和，从而形成错解．
答： 快车每秒行驶 55 米，慢车每秒行驶 33 米．
3． 学生在列方程解应用题时对性质定理使用错误
2． 重要的信息在方程中抄错、遗漏
图 3 错题 3
错题 3 是典型的几何问题，本题中学生不理解正三角
形的性质： 三边相等． 其次，学生对图片观察后列方程毫无
《二元一次方程组》-二元一次方程组易错题解析
选择题1、下列方程①3x+6=2x，②xy=3，③，④中，二元一次方程有几个（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如果是方程2x+y=0的一个解（m≠0），那么（）A、m≠0，n=0B、m，n异号C、m，n同号D、m，n可能同号，也可能异号3、二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（）对．A、1B、2C、3D、44、方程（|x|+1）（|y|﹣3）=7的整数解有（）A、3对B、4对C、5对D、6对5、（2007•枣庄）已知方程组：的解是：，则方程组：的解是（）A 、B 、C 、D 、6、解方程组时，一学生把c 看错得，已知方程组的正确解是，则a，b，c的值是（）A、a，b不能确定，c=﹣2B、a=4，b=5，c=﹣2C、a=4，b=7，c=﹣2D、a，b，c都不能确定7、若关于x、y 的方程组只有一个解，则a的值不等于（）A 、B 、﹣C 、D 、﹣8、若方程组的解是，则方程组的解是（）《二元一次方程组》二元一次方程组易错题解析A、B、C、D、9、若方程组的解是，则方程组的解是（）A、B、C、D、10、若方程组有无穷多组解，（x，y为未知数），则（）A、k≠2B、k=﹣2C、k＜﹣2D、k＞﹣2填空题11、若是方程2x+y=0的解，则6a+3b+2=_________．12、已知二元一次方程3x+y=0的一个解是，其中a≠0，那么9a+3b﹣2的值为_________．13、若是方程3x+y=1的一个解，则9a+3b+4=_________．14、若4x﹣3y=0且x≠0，则=_________．15、已知方程组的解适合x+y=2，则m的值为_________．16、当a=_________时，方程组无解．17、关于x、y的方程组的解x，y的和为12，则k的值为_________．答案与评分标准选择题1、下列方程①3x+6=2x，②xy=3，③，④中，二元一次方程有几个（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：二元一次方程的定义。
二元一次方程组常见错解剖析
二元一次方程组常见错解剖析
一、错误的解法
1. 将一元二次方程组视为一元一次方程组：
有些学生会把一元二次方程组当作一元一次方程组来求解，这是一种错误的解法，因为一元二次方程组的解法和一元一次方程组不同，求解方法也不同。
2. 无法分解因式：
有些学生在求解一元二次方程组时，可能会无法正确分解因式，从而导致错误的解。
3. 无法求解一元二次方程组的根：
有些学生在求解一元二次方程组时，可能会无法正确求解一元二次方程组的根，从而得到错误的解。
4. 无法正确使用求根公式：
有些学生在求解一元二次方程组时，可能会无法正确使用求根公式，从而得到错误的解。
二、正确的解法
1. 正确分解因式：
在求解一元二次方程组时，一定要正确分解因式，这是解题的基础。
2. 正确使用求根公式：
在求解一元二次方程组时，一定要正确使用求根公式，如果不能正确使用求根公式，就无法得到正确的解。
3. 正确求解一元二次方程组的根：
在求解一元二次方程组时，一定要正确求解一元二次方程组的根，这样才能得到正确的解。
列二元一次方程组解应用题的常见错误剖析
列二元一次方程组解应用题错解诊所在实际问题中，我们经常会遇到多个未知量的问题，这就需要我们和列一元一次方程解应用题一样，利用列二元一次方程组来求解.我们知道，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，即要能够将实际问题转化为数学模型，列出二元一次方程组，最终求得符合实际的解.而事实上，要具体求解时，不少同学由于审题不清等问题，总会出现这样那样的错误，为了方便大家学习，现就同学们的常见错误剖析如下：一、忽视实际问题的意义例1 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，已知1立方米木料可做桌面50个或桌腿300根，现在5立方米木料，恰好能做桌子多少张？错解设在这5立方米木料中，用x立方米木料做桌面，用y立方米木料做桌子腿，根据题意，得5,50300.x yx y+=⎧⎨=⎩解得30,75.7xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即用307立方米木料做桌面，57立方米木料做桌腿.30 7×50＝15007，57×300＝15007.答：能做成桌子约214张.剖析一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成，而本题在错解过程恰恰忽视了这一点，没有考虑问题的实际意义造成错解.正解设在这5立方米木料中，用x立方米木料做桌面，用y立方米木料做桌子腿，根据题意，得5,450300.x yx y+=⎧⎨⨯=⎩解得3,2.xy=⎧⎨=⎩即用3立方米木料做桌面，2立方米木料做桌腿.3×50＝150，2×300＝600.答：能做成桌子150张.二、忽视题目中的隐含条件例2 一列快车长168米，一列慢车长184米，如果两车相向而行，从相遇到离开需4秒，如果同向而行，从快车追及慢车到离开需16秒钟，求两车的速度.错解设快车时速为x公里/小时，慢车时速为y公里/小时.则根据题意，得()()4168,16184.x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩即42,11.5.x y x y +=⎧⎨-=⎩解得26.75,15.25.x y =⎧⎨=⎩答：快车每小时行驶26.75公里，慢车每小时行驶15.,2 5公里.剖析 如果两车相向而行，则其相对速度为速度之和，如果两车同向而行，则其相对速度为速度之差，这一点在错解中并没有错，问题是在相对移动的过程中，移动的距离应为两列火车的长度之和，因而造成了错解.正解 设快车时速为x 公里/小时，慢车时速为y 公里/小时.则根据题意，得()()4168184,16168184.x y x y +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩即88,22.x y x y +=⎧⎨-=⎩解得55,33.x y =⎧⎨=⎩ 答：快车每小时行驶55公里，慢车每小时行驶33公里.三、审题不清，忽视关键性语句例3 一个三位数，各数位上的数字之和为13，十位上的数字比个位上的数字大2，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得新数比原来的三位数大99，求这个三位数.错解 设原三位数的个位上的数字为x ，则十位上数字为x －2，另设百位上数字为y .则根据题意，得()()213,10010210010299.x y x x y y x x -+=⎧⎪⎨+-+-+-+=⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩即15,1.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得8,7.x y =⎧⎨=⎩所以100y +10(x +2)+x ＝808. 答：这个三位数是364.剖析 这里有三个未知数——个位上的数字，百位上的数字及十位上数字，若用二元一次方程组求解，应注意以下关键性的语句和字眼：各数位上的数字之和为13，再由“十位上数字比个位上的数字大2”，可设原三位数的个位上的数字为x ，则十位上数字为x +2，另设百位上数字为y .则表示原三位数和新三位数分别为：100y +10(x +2)+x ，l00x +l0(x +2)+y .其中有2个等量关系是：①百位上数字十十位上数字十个位上数字＝13；②新三位数一原三位数＝99，这样才可以正确求解.正解 设原三位数的个位上的数字为x ，则十位上数字为x +2，另设百位上数字为y .则根据题意，得()()()213,10010210010299.x x y x x y y x x +++=⎧⎪⎨+++-+++=⎡⎤⎡⎤⎪⎣⎦⎣⎦⎩即211,1.x yx y+=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得4,3.xy=⎧⎨=⎩所以100y+10(x+2)+x＝364.答：这个三位数是364.四、错用已知条件例4 长风乐园的门票价格规定如下表所列：某校七年级（1）班、（2）班两个班共104人去游长风乐园，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人.经估算，如果两班都以班为单位分别购票，则一共应付1240元；如果两个班联合起来，作为一个团体购票，则可以节省不少钱.问两班各有多少名学生？错解设七年级（1）班有x人，（2）班有y人.根据题意，得104, 11131240. x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得56,48. xy=⎧⎨=⎩答：（1）班有56人，（2）班有48人.剖析本题看上去没有任何错误，不过仔细分析一下答案就会知道本来已知条件说“（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人”，而计算出来的结果恰恰相反.错解的原因正是错用了已知条件，误认为“（1）班人数较多，有50多人，（2）班人数较少，不到50人”.正解设七年级（1）班有x人，（2）班有y人.根据题意，得104, 13111240. x yx y+=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得48,56. xy=⎧⎨=⎩答：（1）班有48人，（2）班有56人.五、忽视等量关系例 5 小英和小强相约一起去某超市购买他们看中的随身听和书包.你能根据他们的对话内容（如图），求出他们看中的随身听和书包单价各是多少元吗？错解 设他们看中的书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.则根据题意，得452,48.x y y x +=⎧⎨=+⎩解得88.8,363.2.x y =⎧⎨=⎩答：他们看中的随身听和书包单价各是363.2元和88.8元.剖析 根据对话知道两个等量关系，一是随身听和书包的单价之和是452元，二是随身听的单价比书包的单价的4倍少8元，而本题则在错解时，将第二个等量误为“随身听的单价比书包的单价的4倍多8元”，从而出现了错误.正解 设他们看中的书包的单价为x 元，随身听的单价为y 元.则根据题意，得452,48.x y y x +=⎧⎨=-⎩解得92,360.x y =⎧⎨=⎩答：他们看中的随身听和书包单价各是360元和92元.。
山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 二元一次方程
山东省滨州市无棣县埕口中学九年级数学 二元一次方程组常见错解剖析同学们在学习“二元一次方程组”一章时会出现这样那样的错误，现就有关二元一次方程（组）的概念和解法方面的常见错误列举出来并作简要剖析，供同学们参考.一、概念上的错误例1 指出下列方程中的二元一次方程①x+2y=3；②37-=x y ；③x+3=8；④921=+y x；⑤7xy －6=0；⑥x 2+y=18. 错解 ①、②、④、⑤都是二元一次方程.剖析 含两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程叫做二元一次方程，此定义有3个要点：两个未知数；未知项的最高次数为1；整式方程.方程④的左边不是整式；方程⑤的未知项7xy 的次数是2，故它们不是二元一次方程.正解 只有①、②是二元一次方程.例2 指出下列方程组中的二元一次方程组.①⎩⎨⎧=-=+13y x y x ②⎩⎨⎧=-=+4352z x y x ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-436202y x y x x错解 ①、②是二元一次方程组.剖析 二元一次方程组未必都由两个二元一次方程组成；方程的个数亦可多于2个，且其中有的方程可以是一元一次方程.方程组②虽由两个二元一次方程组成，但从整体上看，它含3个未知数，故它不是二元一次方程组；方程③虽由3个一次方程组成，但从整体上看，它只含2个未知数，故是二元一次方程组.正解 ①、③是二元一次方程组.例3 已知方程（m －2）x |m|－1+（2n+1）y 2n-3=9是二元一次方程，求m 、n 的值.错解 由题意，得⎩⎨⎧=-=-13211||n m 解之，得⎩⎨⎧=±=22n m 即m 、n 的值分别是±2，2.剖析 根据二元一次方程的定义可知，所给方程必须含有2个未知数，这就要求这两个未知数的系数不能为0，即m －2≠0，2n+1≠0，上述错解正是忽视了这一点.正解 （接上述过程），由于m=2使x 的系数为0，故它不合题意，应舍去，故m 、n 的值分别是-2、2.二、解法上的错误例4 解方程组⎩⎨⎧=+=-10352y x y x错解 ①+②，得5x=15,∴ x=3.∴ 原方程组的解是x=3.剖析 二元一次方程组含2个未知数，故其解是一对数值，上述错误错在只求出了其中一个未知数的值而未求出另一个未知数的值.正解 （接上述过程），将x=3代入①，得y=1.∴ ⎩⎨⎧==13y x 例5 解方程组⎩⎨⎧=-=-823443y x y x ①②①②错解 ①-②，得-6y=-4， ∴ y=32 将y=32代入①，解得x=920 ⎪⎩⎪⎨⎧==32920y x 剖析 错在①-②时弄错了符号，误将-4y-(-2y)=4-8作成了-4y-2y=-4.正解 ①-②，得-4y-（-2y ）=－4，即-2y=－4， ∴ y=2.将y=2代入①，解得x=4. ∴ ⎩⎨⎧==24y x例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1623424y x y x错解 ①×4，得x+2y=4. ③②+③，得4x=20，∴ x=5.将x=5代入③，解得y=-21. ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==215y x . 剖析 此解法错在①×4时，只将方程左边的各项都乘以4，而右边的项未乘，这样所得到的新方程即方程③与原方程组中的方程①不是同解方程，故所求得的x 、y 的值不是原方程组的解.正解 ①×4，得x+2y=16 ③②+③，得4x=32，∴ x=8.将x=8代入③，解得y =4.∴ ⎩⎨⎧==48y x 同学们，你们知道下述解法错在哪里吗？解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++12231252z y x z y x z y x解 ①+②并整理，得x+z=2 ④②+③，得5x+y=13 ⑤联立④、⑤，得⎩⎨⎧=+=+1352y x z x怎么求不出x 、y 、z 的值呢？注意寻找规律 解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-102653y x y x（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-43153y x y x ①②①②③①② ①②（3）⎩⎨⎧=+=-353y x y x解：（1）由②÷2得：3x-y=5，显然得到方程①，而一个二元一次方程有无数个解，所以方程组（1）有无数个解.（2）由②×3得：3x-y=12③,③-①得：0=7，这个等式显然不成立，所以方程组（2）无解，实际上，在方程②变形后即可发现方程组中的两个方程本身是矛盾的.（3）由①+②得：4x=8，解得⎩⎨⎧==12y x通过解上面的三个方程组，我们可以看出并非每个二元一次方程组都有惟一解、有无解和有无数解的情况，那么能否不解方程组就可以判断出方程组的解的情况呢？观察以上三个方程组的特点发现：（1）中两个方程的x 项系数，y 项系数及常数项成比例，即2110521==--；（2）中只是两个方程的x 项目系数和y 项数成比例，即4531113≠--=；（3）中两个方程的x 项系数，y 项系数不成比例，即1113-≠，如果用一般式表示二元一次方程组：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 那么以上三种情况可简述为：（1）当212121c c b b a a ==时，方程组有无数个解. （2）当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解. （3）当2121b b a a ≠时，方程组有惟一解.①②。
二元一次方程组“看错”系数问题解法例析
1、“看错”系数问题解法例析2、含字母系数的方程组的解法3、二元一次方程组错解剖析4、二元一次方程组名题赏析5、列方程组解调配问题两例6、图象法解二元一次方程组7、解好方程组的图表信息题8、领悟方程组中数学思想1、“看错”系数问题解法例析在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值． 例1．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．例2．在解方程组134ax by cx y -=⎧⎨-=⎩时，甲同学因看错了b 的符号，从而求得解为32x y =⎧⎨=⎩，乙同学因看错了c 的值，从而求得解为51x y =⎧⎨=⎩，试求a ，b ，c 的值．析解：因为甲同学仅看错了b 的符号，所以他的错解实际上满足看错了的方程组：134ax by cx y =⎧⎨-=+⎩，因此把32x y =⎧⎨=⎩代入13ax by +=，得3132a b +=； 把32x y =⎧⎨=⎩代入4cx y -=，得c ＝2．同理乙同学看错了c 的值，但没看错a ，b 的值．所以把51x y =⎧⎨=⎩代入方程13ax by -=，得513a b -=．于是得到关于a ，b 的方程组3213513a b a b +=⎧⎨-=⎩，解之得32a b =⎧⎨=⎩．所以a ＝3，b ＝2，c＝2．2、含字母系数的方程组的解法一、给出方程组的解当含有字母系数的方程组的解已经给出时，可先把解直接代入原方程组，构造出关于字母系数的方程，进而求得其值．例1． 若方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩ 的解是11x y =-⎧⎨=⎩，求a 、b 的值．析解：由方程组解的意义，知11x y =-⎧⎨=⎩满足方程组2331x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩，所以有2331a b --=-⎧⎨-+=⎩， 解这个关于a 、b 的方程组，得12a b =⎧⎨=⎩．∴a 、b 的值分别为1，2．二、方程组的解满足关系式当关于方程组的解满足一定的等式的字母求值问题，常常应把方程组中的字母当作已知数，用它的代数式表示方程组的解．再根据满足的等式，构造出关于字母的方程．例2．已知方程组3213325x y m x y m +=⎧⎨-=⎩…①…②的解适合x ＋y ＝10，求m 的值．析解：①＋②，得x ＝18m ，所以x ＝3m ．①－②，得4y ＝8m ，所以y ＝2m ． 把x ＝3m ，y ＝2m 代入x ＋y ＝10，得 ３m ＋２m ＝10，解之，得m ＝２．三、字母系数看错问题在解二元一次方程组时，由于一时粗心大意出现看错系数、抄错符号的现象，这样求得的是错解，其实错解中也包含着一些合理成份，只要我们细心领会，就会发现正确信息，从而巧妙求出原方程组中字母系数的值． 例3．在解方程组222ax cy x by a +=⎧⎨+=⎩时，甲同学正确解得32x y =⎧⎨=-⎩，乙同学由于把b 抄写错了，解得22x y =-⎧⎨=⎩，请问b 的值应该是多少？乙同学错把b 错抄写成了几？ 分析：甲同学解对了，因此他的解满足原方程组；乙同学只写错了b 的值，但他所求得的错解适合看错的方程组，当然也就满足2ax cy +=．析解：把32x y =⎧⎨=-⎩代入2ax cy +=，得322a c -= …①把22x y =-⎧⎨=⎩也代入2ax cy +=，得222a c -+= …②解由①、②组成的方程组，得45a c =⎧⎨=⎩．把32x y =⎧⎨=-⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得628b -=，所以b ＝－1．再把22x y =-⎧⎨=⎩和a ＝4代入方程22x by a +=，得428b -+=，所以b ＝6．所以的值应该是－1，乙同学错写成了6．3、二元一次方程组错解剖析同学们在学习二元一次方程组时，由于对概念理解和解法掌握程度不够，常会出现一些错误．现举几例常见错误，望引起大家注意． 例1．已知方程(a ＋1)x ||a ＋(b ＋1)y12-b ＝7是关于x 、y 二元一次方程，求2a ＋3b 的值 ．【错解】由题意得：⎩⎨⎧=-=1121||b a ∴ ⎩⎨⎧=±=11b a所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5； 当a ＝－1，b ＝1时，2a ＋3b ＝1．剖析：根据二元一次方程定义可知，方程应含有两个未知数且未知数系数不能为0． 正解：（接上）因为a ＋1≠0，所以 ∴a ≠－1，所以当a ＝1，b ＝1时，2a ＋3b ＝5； 故，填：5．例2．解方程组⎩⎨⎧-=-=-222y x y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】①－②得： y ＝4，把y ＝4 代入②得，x ＝2，原方程组的解是：⎩⎨⎧==42y x ．剖析：错在①－②在上的符号方面，正解：①－②得：－y ＝4， 解得：y ＝－4，把y ＝－4 代入②得，x ＝－6，原方程组的解是：⎩⎨⎧-=-=46y x ．例3．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=+--8)2(2)(3142y x y x yx y x ②①⋯⋯⋯⋯【错解】一：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－1，剖析：去分母时漏乘 ．（你来填一填！） 【错解】二；①×4得：2x －2y －x ＋y ＝－1， 剖析：忽略 ．【错解】三：由②得：3x ＋y －4x －y ＝8 剖析：忘了括号前的 ．正解：①×4得：2(x －y )－(x ＋y )＝－4， 2x －2y －x －y ＝－4，x －3y ＝－4， ……③②变形得：3x ＋3y －4x ＋2y ＝8，－x ＋5y ＝8， ……④③＋④，得：y ＝2把y ＝2带入③，得：x ＝2，这个方程组的解为：⎩⎨⎧==22y x你填对了吗？三个空分别是：不含分母的项；分数线的括号作用；负号和乘法分配律．4、二元一次方程组名题赏析一些数学问题初看似乎与二元一次方程组没有关联，但若运用二元一次方程组来解却简单．例1．如图1，射线OC 的端点O 在直线AB 上，∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，求∠AOC 和∠BOC 的度数．【分析】本题有一隐含条件是：∠AOC 和∠BOC 组成平角180°，再依据已知中的x ,y 的另一个关系：∠AOC 的度数比∠BOC 的2倍多10°，又可得一方程． 解：设∠AOC 和∠BOC 的度数分别为x 、y ，依题意得 ⎩⎨⎧+==+102180y x y x ， 解（略）．还有些实际应用问题有时比较复杂，但也常利用方程和方程组来解决．例2．某通讯器材商店计划用6万元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知一厂家生产三种型号的手机，出厂价分别为甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元．若商场同时购进其中两种．．不同型号的手机共40部，并将6万元恰好用完．请你帮助商场算一下如何购买． 【分析】由于商场只同时购进三种手机中的两种．．不同型号的手机40部，所以商店可以有购甲乙、乙丙、甲丙三种选择，因此本题应列三个二元一次方程组的应用问题叠加在一起，所以应分情况来解答．解：设甲、乙、丙三种型号的手机分别购买x 部、y 部、z 部，① 若选购甲乙两种型号，根据题意可列方程组⎩⎨⎧=+=+60000600180040y x y x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==1030y x ；图10C B A② 若选购乙丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+60000120060040z y z y ，解这个方程组，得⎩⎨⎧=-=6020z y ；③ 若选购甲丙两种型号，则有方程组⎩⎨⎧=+=+600001200180040z x z x ，解这个方程组，得⎩⎨⎧==2020z x ；第二种方案不行，舍去。
解二元一次方程组的计算错误原因分析
解二元一次方程组的计算错误原因分析方法，学生对这项知识的掌握逐渐成为数学教学中的一大挑战.因此，本文对学生在列二元一次方程组解应用题中的常见错误进行了整理，并深究其错误原因，了解分析了学生对这些错误知识的认知掌握，希望能够给二元一次方程组解应用题教学提供一些参考.【关键词】二元一次方程组;应用题;错误原因;学习习惯列二元一次方程组解应用题是七年级数学中的重点知识，也是教学难点.随着教育改革的全面推广，应用题型也发生了较大改变，在考试内容中出现了很多的新问题和新知识，学生们对应用题的解析能力逐渐降低，甚至出现恐惧心理.教师由于自身数学素质的制约，在面对这一情况下只能采取题海战术，学生苦不堪言，但是教学效果却不尽人意.列二元一次方程组解应用题是在一元一次方程解应用题的根底上进行的，对于学生的学习来说又是一个层面的改变.小学生在遇到“鸡兔同笼〞的典型数学问题时，利用普通的运算方法很难得出结果，还难住了大局部的学生和家长，通过二元一次方程就能良好解决，并且生活中很多的实际问题都能利用二元一次方程组解决.所以，本次研究希望能够帮助教师和学生科学掌握学习方法，提高数学的教学质量和学生的学习效果.一、二元一次方程组解应用题的错误类型我将从列二元一次方程组解应用题的经典题型入手，分析学生的常见解题错误，并对其进行相对的改进以下几种原因.〔一〕知识性错误这种错误解题方式主要是因为在解题过程中对数学知识掌握得不扎实和不准确造成的，是由于学生能力缺乏所导致的，主要包括定义定理的随意转变、概念理解不清、公式套用不合理、不灵活.〔二〕策略性错误通过对学生错误例题的整理分析，可以发现其中存在很多的策略性错误，这种错误主要表现为学生不能对生活实际问题进行数学方式的理解，不能良好地转化为数学问题;逆向思维转化能力较弱;对数学问题认知浅薄、角度偏激;模式识别错误.〔三〕疏忽性错误这种错误方式主要表现在学生的审题和计算中.学生在审题中不够仔细导致题设错误;题设没有带单位;数据抄写错误;因为粗心大意导致的计算错误;答案计算非题目所问;解答步骤丧失、不完整、缺少单位等等.二、学生解题错误情况分析〔一〕知识性错误错解如错题5所示.这是一道典型的行程问题，从“题设〞和“题答〞中可以看出学生的粗心马虎，不写单位导致了此题在考试中丢分，真实很可惜.通过对学生的解题过程分析，并结合对学生的交流，发现学生的知识性错误大多表现为数学概念的混乱;公式使用的错误;定理定义的随意转化等等.策略性错误多发生在学生的审题上，不能准确把握题目题意，使得在解题过程中错误的选择题设或是错误的组合了题中的数据;不能良好地借助其他方法来辅助自身进行解题，例如画图、列表等;较差的思维转换能力，不能将生活实际问题与数学解题进行有效結合.疏忽性错误属于广泛且无法铲除的类型，学生的疏忽大意、马虎不仔细司空见惯，教师也是没有彻底解决的方式.三、解二元一次方程组的提前干预〔一〕加强数学知识性理解的建议学生在列二元一次方程组解应用题时，必须清楚地知晓二元一次方程组的概念，在实际教学中，有的学生列出的方程组是〔y+12〕〔x-6〕=xy，〔y-4〕〔x+4〕=xy，这就不是二元一次方程组了.教师在教学过程中对概念型的知识不能单纯地讲解，应该结合合理的例题，直观形象地展示二元一次方程组，让学生能够通过自己的理解不断完善对二元一次方程组的掌握.公式和定理的准确适用，需要学生正确地记忆根本公式，然后在理解其含义和运用的根底上灵活地转化.例如，增长率公式和工程问题公式：初值×〔1+增长率〕n=终值，初值×〔1-降低率〕n=终值.工作时间×工作效率=工作总量.在增长率公式中，学生总是分不清“+〞“-〞符号，教师可以指导学生，一般题目中说到“上升〞“增多〞的就是“+〞.说到“下降〞“降低〞“减少〞的就是“-〞，然后仔细观察题目中是否存在成心误导的信息，之后才能合理的套用公式，工程问题也是要记忆根本公式，并且要能够灵活地对根本公式进行转变：工作总量工作时间=工作效率，工作总量工作效率=工作时间.〔二〕提高解题策略的建议教师应该加强对学生使用图像、表格等辅助方法的教学，提高学生全方位思考问题的能力.例如，在行程问题中，数学关系式有两种：相遇问题：路程甲+路程乙=两者原来的距离;速度=速度甲+速度乙.追击问题：快者的总路程-慢者的总路程=它们原来的距离;速度=快速度-慢速度.相遇问题和追击问题可以利用线段图形来想象表示：将抽象的数学题转化为形象的线段图，学生可以更加直观地理解题目信息之间的关系，从而更加效率准确地列出二元一次方程组.七年级学生在解析应用题时，很少会用到图文转化，将题目用线段、图形等辅助方法来表示，而面对文字较多、条件较多的复杂题型的解答就会变得相当困难，而且列二元一次方程组的准确率也会大大降低.因此，教师在教学过程中，应该重视对学生图文转化能力的培养和训练.〔三〕培养学生良好的数学学习习惯第一，教师除了课上时间的教学，还应该给学生提供给用题解答方面的图书和典型习题练习册，帮助学生进行知识的稳固和完善，让学生充分合理地利用课外时间，来对这些知识进行解题练习，从而形成学生自己的思考方式，逐渐锻炼和培养学生应用题方面的数学灵敏度;第二，教师还要时刻掌握学生的课堂状态，要鼓励学生积极地提出不理解的问题和知识要点，培养学生大胆发言、不懂就问的好习惯，通过师生之间的交流探讨，建立良好的和谐的数学学习气氛和课堂环境;第三，教师在学生的作业布置上一定要有层次感，根据学生的数学学习能力和知识掌握程度分配合理的作业，使根底较差的学生能够逐渐跟上整体的学习进度，养成认真完成作业的习惯，进而促进的共同进步;第四，在学生的应用题解答过程中，教师要重视培养学生的题目标记习惯，让学生在审题过程中，对重要的数学量进行标注，多读题，排除那些成心误导的混淆信息.对于题目较长、文字较多、量较多的题目，有效的数据变量很可能会被混淆，这就需要学生借助图文转换能力，将题目信息转换为适宜的图形或表格，进而分析题目;第五，要重视对学生检验结果的习惯进行培养，学生不仅要对计算结果是否正确进行检验，还要对计算出的结果是否符合具体状况进行检验，还有题设与答题过程中的单位使用是否正确，答题的结果是否是题目所问等.四、结束语本次对解二元一次方程组的计算错误原因分析研究，主要根据四美塘中学的七年级的〔1〕班和〔2〕班的学习状况进行的分析，因此会存在一定的局限性和片面性.在本次的研究中，笔者将学生们的典型错题进行系统分析，并提出了自己的一些干预措施，希望能够给广阔同仁带来一定的帮助，并且在实际的教学过程中，我也会履行这些干预措施，对学生的能力进行全方位的培养，真正实现解二元一次方程组的高质量教学.【参考文献】【1】欧昌铬，廖启宁.基于数学核心素养的合作学习有效策略——以人教版七年级“二元一次方程组〞教学为例[J].中学数学，2021〔16〕：8-10+13.【2】付依婷.基于历史发生原理的求解二元一次方程组教学设计[D].漳州：闽南师范大学，2021.【3】赵文娜.七年级学生列二元一次方程组解应用题错误的实证研究[D].石家庄：河北师范大学，2021.【4】高福芹.初中数学二元一次方程组纠错分析[J].新课程导学，2021〔14〕：52.方法培养数学思维——“消元——解二元一次方程组〞课堂教学实录与评析[J].中小学数学〔初中版〕，2021〔3〕：15-17.【6】王欣.基于学前诊断的认知分析及教学设计实践研究——以“二元一次方程组及其解法〞为例[J].中学数学，2021〔14〕：17-21.【7】肖学军.“二元一次方程组〞易错题辨析[J].初中生世界，2021〔21〕：23-25.[8]袁晓亮.2.1一元一次方程〔一元二次方程〕和二元一次方程组[J].中学生数理化〔初中版·中考版〕，2021〔1〕：11-13+44.。
2021年浙教版七年级数学下册期末复习之一元二次方程易错题专题 (学生版)
二元一次方程的解法易错题专题【二元一次方程的解法易错点剖析】1.错误地认为只含有两个未知数，且所含有未知数的次数为1即是二元一次方程。
二元一次方程是指含有两个未知数，且含有未知数的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程。
组成二元一次方程的条件共有四个：①是方程，②含有两个未知数，③含有未知数的式子是整式，④含有未知数的项的最高次数是1。
2.对二元一次方程的解理解错误。
二元一次方程的一个解是指使二元一次方程两边的值相等的未知数的值。
求二元一次方程的解的方法：（1）用一个未知数的代数式表示另一个未知数，（2）给这个未知数赋值，（3）再求出另一个未知数的对应值。
一般地，一个二元一次方程有无数个解，但若对未知数有限定条件，则满足条件的解可能有有限个。
3.对二元一次方程组的概念理解不清，导致在判断时产生错误。
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的的方程组，叫做二元一次方程组。
应注意以下两个问题：（1）未知数的个数是两个，（2）组成方程组的方程中也可以是一元方程。
4.错误理解二元一次方程组的解的概念。
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
方程组的解必须满足方程组里的各个方程，而方程组中某一个方程的一个解不一定是方程组的解。
在同一个方程组中，各个相同的未知数应取相同的值。
5.用代入法解二元一次方程组时出现循环代入的错误。
要用代入法解二元一次方程组时，应先将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示，再用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值。
【错题典例精析】例1. 判断下列方程是否为二元一次方程，并简要说明理由。
y x 32=-① 4=xy ② 122=-x x ③ 132=-y x ④ 3=x ⑤【跟踪练习】若方程7)2(32|1|12=-+-+n m y n x 是二元一次方程，求m 、n 的值。
例2.有一个12人的旅游团晚上住宿，旅馆有2人房间和3人房间，请你为他们安排住宿。
易错点 二元一次方程的定义理解错误
B、该方程中符合二元一次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是整式方程，不属于二元一次方程，故本选项错误；
D、该方程中含有两个未知数，但是含有未知数的项最高次数是2，不属于二元一次方程，故本选项错误．
C、 未知数最高次数为2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D、 是二元一次方程，故本选项符合题意；
【点睛】此题考查了二元一次方程的概念，解题的关键是熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，含未知数项的次数都是1的整式方程．
3．(1)×
(2)×
(3)√
【分析】（1）由题意根据二元一次方程的定义即含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程进行分析判断即可；
故选：B．
【点睛】考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
2．D
【分析】根据二元一次方程的定义对各选项分析判断．
【详解】解：A、 含有3个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、 不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
易错点二元一次方程的定义理解错误
[易错诠释]
判断二元一次方程时，首先对所给出的方程进行整理变形，再分析是否满足以下条件：
（1）含有两个未知数；（2）所含未知数的项的次数都是1；（3）是整式方程．
[典例]
判断下列方程是不是二元一次方程；
（1）
（2）
（3）
（4）
[错解]
（1）（2）（3）（4）都是含有两个未知数的方程，它们都是二元一．
二元一次方程组的解法易错点剖析资料讲解
解二元一次方程组常见错解示例、概念不清例1.下面不是二元一次方程组的是（）.错解分析：错选B 原因是对二元一次方程组的概念理解不透彻.事实上， 二元一次方程组有两个特点：1.方程组中的每一个方程都是一次方程；2.方程组中含有两个且只含有两个未知数 .C 中虽然含有两个未知数，但1 1 3不是一次方程，所以C 就不是二元一次方程组.要特别注意B 这种形式x y 4的等式.实际上它可以写成x + 2y = 8和4y - 3 x = 8这两个方程，它们可 以组成一个二元一次方程组.A 、B 、D 都是二元一次方程组.正确答案：选C. 二、张冠李戴（只要求写出一个）.错解：x y 3, 3x y 1.方程组，错误的原因是把二元一次方程的“冠”戴在了二元一次方程组的头上正解：x + y = 3（符合题意即可，答案不唯一）.x 1,(A) y 2；(B)x y 6,(C) 113； (D)x y 4'错解：选B .x + 2 y = 4y -3x = 8;3x 4y 16, 5x 6y 33.例2.若一个二元一次方程的一组解是1, 2,则这个方程可以是 ________错解分析：题目要求写出一组解是x 1y 2的二元一次方程，而不是二元一次三、循环代入 错解：由①，得y = 3x - 9③ 将③代入①，得3x - ( 3 x - 9) = 9 ,即 9= 9.因此，原方程组的解是一切实数.错解分析：本题错在对代入法的主要步骤掌握不牢，理解不够深刻.错解中出现了“ 9= 9 ”这个恒等式的原因是方程③是由方程①变形得到的，接着又 代入方程①，犯下了循环代入的错误.正解：由①， 得y = 3x -9③将③代入②， 得 8x - 5( 3 x - 9) = 10.解之，得x = 5.将x = 5代入③，得y = 6. 所以原方程组的解是x 5, y 6. 四、换元后未还原错解：设 x + y = a , x - y = b ,3a 4b 1, a b ‘1.2 65解之，得a 3,b 1.5所以原方程组的解是x 3y 1.例3.解方程组3x y 9 ①,8x 5y 10 ②.例4.解方程组3(x y) 4(x y) 1, x y x y 1 2 6 .则原方程组可化为错解分析：整体换元的解题策略是正确的，但没有把元换回来，因而致错. 正解：设 x + y = a ，x - y = b ，3a 4b 1, 里b 1.2 65解之，得a 3'b 1. 5所以x y 3,x y 1.4 3 1 3这就是原方程组的解二元一次方程(组)错解示例一、 例 1.有下列各式：① 2x +y -1;②ab —2b =7;③x — 5=6;④-—2y =1;x⑤x =y ;⑥2x — 3y =5 — x ;⑦2x 2+2x — 6=2x 2 — (x +y ).其 中是二元一次方程的 有 ___________ 。
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二元一次方程组常见错解剖析
同学们在学习二元一次方程组时，由于对概念理解和解法掌握程度不够，常会出现一些错误．现我举一些常见的错误，供同学们在学习上参考．
一、概念上的错误
例1：下列哪些方程是二元一次方程？
（1）1=xy ,（2）,13=-y x （3）,21=+y
x （4）,032=-+x x （5）,732=+x （6）122=-y x
错解：（1）、（2），（3），（4），（6）
剖析：二元一次方程定义：①是整式方程；②有两个未知数；③未知数项的最高次数为1．方程（1）（6）不符合③，方程（3）不符合①，方程（4）不符合②，故它们都不是二元一次方程． 例2：下列哪些方程组不是二元一次方程组？
（1）⎪⎩
⎪⎨⎧=--=21y x y x （2）⎩⎨⎧==30y x （3）⎪⎩⎪⎨⎧==+-=+4362y y x y x
（4）⎩⎨⎧=-=+1053253y x y x （5）⎩⎨⎧=+=+2
1z y y x
错解：（1）（2）（3）（5）
剖析：二元一次方程组应从三个方面来理解：①未知项最高次数是1的整式方程；②方程组总共只有二个未知数；③方程的个数可以多于2个．方程（1）不符合①；（5）不符合②，故（1）（5）不是二元一次方程组．
例3：已知方程3)1()1(12||=++--b a y b x a 是二元一次方程，求b a ,的值．
错解：由题意得：⎩⎨⎧=-=1121||b a ∴⎩⎨⎧=±=1
1b a
剖析：根据二元一次方程定义可知，方程含有两个未知数但未知数
系数不能为0．
正解：（接上）∵01≠-a ∴1=a
∴⎩⎨⎧=-=1
1b a
二、解法上的错误
例4：解方程组⎩⎨⎧-=-=-22
2y x y x )
2()1( 错解：（1）+（2）得：42=x 2=∴x
原方程组的解是：2=x
正解：（接上）将2=x 带入（2）得：1=y ⎩⎨⎧==∴1
2y x 例5:解方程组⎩
⎨⎧-=-=-222y x y x )2()1( 错解：方程（1）-（2）得：424-=-y x （3）
（1）-（3）得：03=-y
∴0=y
把0=y 带入（2）得：2-=x
⎩
⎨⎧=-=∴02y x 剖析：在（1）-（2）时，符号出错．
正解：（1）-（2）得：)2(2)()2(--=---y x y x 42=+--y x y x
4=-y
4-=∴y
把4-=y 带入（2）得：6-=x
⎩
⎨⎧-=-=∴46y x 例6:解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-==--8)2(2)(3142y x y x y x y x )
2()1( 错解一：（1）4⨯得：1)()(2-=+--y x y x 剖析：去分母时漏乘不含分母的项．
错解二；4)1(⨯得：422-=+--y x y x 剖析：忽略分数线的括号作用．
错解三：由（2）得：8433=--+y x y x 剖析：忘了括号前的负号和乘法分配律． 正解：4)1(⨯得：4)()(2-=+--y x y x 422-=---y x y x
43-=-y x （3）
（2）变形得：82433=+-+y x y x 85=+-y x （4）
（3）+（4）得：2=y
把2=y 带入（3）得：2=x
⎩⎨⎧==∴2
2y x。