三角函数解三角形题型归类

三角函数解三角形题型归类

一知识归纳：

（一）任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 ；②分类：角按旋转方向分为 、 和 ． (2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝ ．

(3)象限角：使角的顶点与 重合，角的始边与 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个负数 ，零角的弧度数是 .

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.

(3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝1

2|α|·r 2. 3．任意角的三角函数

（1）定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ ．

（2）任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时，sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y

x (x ≠0) 4.三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （二）公式概念

1．三角函数诱导公式⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k 2π＋α(k ∈Z)的本质

奇变偶不变(对k 而言，指k 取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时把α看成是锐角)．

2．两角和与差的三角函数公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β

1∓tan αtan β

.

3．二倍角公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α；

(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α

2

， sin 2

α＝1－cos α2；(3)tan 2α＝2tan α

1－tan 2α

.

（三）正、余弦定理及其变形： 1．正弦定理及其变形 在△ABC 中，

a sin A

＝

b sin B

＝

c sin C

＝2R (其中R 是外接圆的半径)；

a ＝2R sin A ，

b ＝2R sin B ，

c ＝2R sin C ； sin A ＝

a 2R ，sin B ＝

b 2R ，sin C ＝

c 2R

. 2．余弦定理及其变形

a 2

＝b 2

＋c 2

－2bc cos A ； cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc

.

b 2＝ ； cos B ＝ ；

c 2＝ . cos C ＝ .

3.三角形面积公式:

S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝1

2ac sin B ＝_________________＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R

是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .

2．整体法：求y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将ωx ＋φ看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决．

3．换元法：在求三角函数的值域时，有时将sin x (或cos x )看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决．

4．公式法：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|

，

y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为

π|ω|

.

(2016年 全国卷1)

4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知5a =

，2c =，2cos 3

A =

，则b =

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 6.将函数2sin(2)6y x π

=+的图象向右平移1

4

个周期后，所得图象对应的函数为 （A ）2sin(2)

4y x π=+ （B ）2sin(2)3

y x π

=+

（C ）2sin(2)

4y x π

=-

（D ）2sin(2)3

y x π

=-

14.已知θ是第四象限角，且3sin()45π

θ+=，则tan()4π

θ-=

————————————

． (2015年 全国卷1)

8. 函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13

(,),44

k k k Z ππ-

+∈

（B ）13

(2,2),44k k k Z ππ-

+∈ （C ）13

(,),44k k k Z -+∈

（D ）13

(2,2),44

k k k Z -+∈

17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，

2sin 2sin sin B A C =.

（I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.

(2014年 全国卷1) 2.若0tan >α，则

A. 0sin >α

B. 0cos >α

C. 02sin >α

D. 02cos >α 7.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π

+=x y ,④)4

2tan(π

-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A .①②③ B. ①③④ C . ②④

D. ①③

16.如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为

测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测学科网得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m .

(2013年 全国卷1)

9．函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图像大致为（ ）