《测试技术》第三章 测量误差分析及处理

2 v i i 1 n
, xn
② 剔除可疑数据 x ，计算平均值和标准误差
1 x xi n 1 i 1
i j
n

n2
③ 选择显著度 , 根据测量次数 n , 查表取值
K (n, )
④ 若 x j x K 则认为测量值
x j 为粗大误差，予以剔除
第四节ຫໍສະໝຸດ Baidu 可疑测量数据的剔除

绝对误差 测量值 真值
绝对误差 绝对误差 相对误差 真值 测量值
第一节. 误差的来源与分类
误差的来源与误差概念 (1) 原理误差：测量原理和方法本身存在缺陷和偏差 近似：理论分析与实际情况差异 如：非线性 比较小时 可以近似为线性 假设：理论上成立、实际中不成立 如：误差因素互不相关
ˆ “权”表示测量结果可靠性，“权”与标准误差 反比 ˆ1 , ˆ2 , 有n次测量，每次测量标准误差分别为 应的“权”分别为：
P 1
成
ˆ n 则相 ,
, P , , P , , P i n 2 2 12 2 2 i2 n
非等精度测量中被测量的最佳估计为 L ；测量值的加权算 术平均值，相应的加权算术平均值均方根误差 S L
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
一、莱依特准则—适用条件: 重复测量次数 n>10
ˆ | vi || li L | 3
二、格拉布斯准则—适用条件:重复测量次数 n 较小
① 计算格拉布斯准则
| vi | | li L | Tli ˆ ˆ
② 选择显著度（危险率） , 根据测量次数 n ,查表取值 T( n, )
x1 x2 r10 x1 xn
x1 的统计量：
x1 x2 r11 x1 xn1
x1 x3 r21 x1 xn 1
x1 x3 r22 x1 xn 2
n≤7，使用r10；8≤n≤10时，使用r11； 11≤n≤13时，使用r21；n≥ 14时，使用r22
第三章 测量误差分析及处理
1. 误差的来源与分类； 2. 系统误差； 3. 随机误差； 4. 可疑测量数据的剔除； 5. 随机误差的计算； 6. 传递误差。
动力装置电控技术研究所
第一节. 误差的来源与分类
误差的来源与误差概念 定义： 测量结果与其真值的差异 定性概念，定量表示 真值： 被测量的客观真实值 理论真值： 理论上存在、计算推导出来 约定真值：国际上公认的最高基准值 如：基准米 1m=1 650 763.73 λ (氪-86的能级跃迁在真空中的辐射波长) 相对真值：利用高一等级精度的仪器或装置的测量结果作为近似真值 Δx – 测量误差 x x x0 x – 测量结果 x0 – 真值 如：三角形内角和180°
AAA
① 线性系统误差 ② 非线性系统误差
消除系统误差的方法：
（1）消除产生系统误差的根源 （2）用修正方法消除系统误差 （3）常用消除系统误差的具体方法 ① 交换抵消法 ② 替代消除法 ③ 预检法
第二节. 系统误差
测量误差的综合
估计n个误差分量对测量系统的影响
（1）代数综合法 — 已知误差分量 △i 的大小和方向
最佳估计条件：

1 2
2
2 2 2 ( v1 v2 vn )
2 min(v12 v2
2 vn )
min{(l1 L)2 (l2 L) 2 ,
, (ln L) 2 }
第三节. 随机误差
有限测量次数中误差的计算 各种误差的表示法
（1）有限测量次数时的标准误差
相对误差

2 1 2 2

2 i
2 i i 1
误差分析例 — 压力表测量管道压力
第三节. 随机误差
测量误差特点：① 单个误差无规律 ② 多个误差，呈一定统计规律 → 正态分布
随机误差四个特性：
（1 （2）单峰性 （3 （4）有限性
随机误差分布规律：
2 1 y e 2 2 2
概率为68.27%
概率为95.45% 概率为99.73% 不同σ 值的随机误差正态分布
第三节. 随机误差
测量结果的最佳值—算术平均值
一系列观测值l1,l2, …ln和最佳值L 观测值li和最佳值L的偏差v1,v2, … ,vn
2 1 2 y e 1 vi的概率密度 2 vi 2
1 进行n次观测 P e 2
ˆ
（3）算术平均值的极限误差
lim
ˆ
vi2
i 1
n
lim 3S 3
n 1
n(n 1)
2 v i
（2）算数平均值的标准误差
S ˆ n
2 v i
S
（4）相对极限误差
lim
n(n 1)
lim
lim
L
100%
第四节. 可疑测量数据的剔除
)
y 2 2 y 2 2 y 2 2 ) S x ( ) S z ( ) Sw x z w
(lim ) y 3S y
(lim ) y Ly
间接测量最佳值 极限相对误差
( lim ) y
2 2 ( lim )2 x ( lim ) z ( lim ) w
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
三、狄克逊准则 — 特点：不必求 ，计算复杂度小 ① 对被测量做 n 次测量由小到大排序，得 其中，最大值 最大值
x1 , x2 ,
, xn
xn 最小值 x1
xn xn 1 r11 xn x2
xn 的统计量：
xn xn 1 r10 xn x1
第一节. 误差的来源与分类
测量误差的分类 ① 系统误差（System error） — 有规律可循 由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生 装置、环境、动力源变化、人为因素 再现性 —偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 → 原因和规律 → 减少/消除 ② 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生 偶然性（不明确、无规律） 概率和统计性处理（无法消除/修正）
第五节. 随机误差的计算
四、多参数多次测量时，间接测量的误差计算
函数
y f ( x, z, w, )
对直接观测值
x, z , w,
做了n次测量，得到：
y1 f ( x1 , z1 , w1 , ) y2 f ( x2 , z2 , w2 , ) yn f ( xn , zn , wn , )
③ 判别 Tli 是否大于 T( n, ) , 若 Tli T( n, ) 则 li 为粗大误差，应予以剔除。
第四节. 可疑测量数据的剔除
可疑数据（过失误差、疏忽或粗大误差）
三、t 检验准则—适用条件: 重复测量次数 n 较小 特点：先剔除后检验 ① 对被测量做 n 次测量，得
j
x1 , x2 ,
第五节. 随机误差的计算
一、直接测量误差的计算
步骤

① 剔除过失（粗大）误差； ② 修正系统误差； ③ 分析和计算随机误差。
分析和计算n个测量值的随机误差 l1 , l2 ,
, ln
（1）计算平均值L （2）计算 li 的偏差
L (l1 l2
ln ) / n
vi li L
第五节. 随机误差的计算
c 1 2
n
或 c i
i 1
n
仪器总的相对误差为各环节相对误差之和。
第六节. 传递误差
二、闭环系统
0、Ⅰ、Ⅱ三个环节的特性如下：

x0 xi x f y0 1 ( x0 )
x f 2 ( y0 )
xi
1
y1
2
m
y0
xf
n
2'
1'
xi 0
③ 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起
异常误差 →测量结果失去意义 多方注意、细心操作，过失误差可以避免
第二节. 系统误差
系统误差分类：
（1）仪器误差 （2）安装误差 （3）环境误差 （4）方法误差 （5）操作误差 （6）动态误差
系统误差特征：
（1）恒值系统误差 （2）变值系统误差
i 1
n
(| 1 | | 2 |
| n |) | i |
i 1
n
第二节. 系统误差
测量误差的综合
估计n个误差分量对测量系统的影响
（3）几何综合法 — 避免误差估计过大
绝对误差

2 1 2 2

2 i

i 1 n
n
2 i
一、直接测量误差的计算
ˆ ˆ 和极限误差 lim 3 （3）计算方差
（4）计算平均值方差 S 和极限误差 lim
ˆ S
n
lim 3S
lim
（5）计算平均值的相对极限误差
（6）得出被测量的值为
L lim
或 L lim
第五节. 随机误差的计算
二、权的概念—非等精度测量
x0
Ⅰ
y0
y0 1 ( x0 ) 1 xi 2 ( y0 )
e
仪器的精度级； 仪器满刻度读数；
A
Am 实测时的读数。
第五节. 随机误差的计算
多参数间接测量函数误差计算的一般形式
函数
y f ( x, z, w, )
对各变量进行一次测量，则 函数的绝对误差为 y
f f f x z w x z w
y f x f z f w 函数的相对误差为 y y x y z y w y f f f x z w x z w
第六节. 传递误差
系统总误差由各环节的静态误差构成
传感器、测量电路、放大器、指示器、 辅助电源、各种补偿装置等。
传递误差

① 开 环 系 统； ② 闭 环 系 统。
第六节. 传递误差
一、开环系统—各环节依次串联的系统
xi y1 y2 y3 yn-1 y0
1
2
3
n
若以 1 , 2 , , n 和 c 分别代表各环节和仪器总的 相对误差，则有：
方法：测量方法存在错误或不足 如：采样频率低、测量基准错误
(2) 装置误差：测量仪器、设备、装置导致的测量误差 机械：零件材料性能变化、配合间隙变化、传动比变化、蠕变、空程 电路：电源波动、元件老化、漂移、电气噪声 (3) 环境误差： 测量环境、条件引起的测量误差 空气温度、湿度，大气压力，振动，电磁场干扰，气流扰动， (4) 使用误差： 读数误差、违规操作、
绝对误差 相对误差
1 2
n i n i
i 1 i 1 n
n
1 2
（2）算术综合法 — 已知误差分量 △i 的大小，方向未知
绝对误差 相对误差
(| 1 | | 2 |
| n |) | i |
xn xn 2 r21 xn x2
xn xn 2 r22 xn x3
第四节. 可疑测量数据的剔除
② 选择显著度 , 根据测量次数 n , 查表取值 r0 (n, ) 当测量统计值 rij 大于临界值 r0 (n, ) ，则认为 xn 含有粗大误差 ③ 最小值
则有 y 的标准误差 极限误差
y 2 2 y 2 2 y 2 2 ( ) x ( ) z ( ) w x z w
2 y
(lim ) y 3 y
第五节. 随机误差的计算
四、多参数多次测量时，间接测量的误差计算
间接测量最佳值 Ly f ( Lx , Lz , Lw , 间接测量最佳值标准误差 S y ( 间接测量最佳值极限误差
L
PL
i 1 n i
n
i
SL
1
2 (1 ) i i 1 n
P
i 1 i
第五节. 随机误差的计算
三、间接测量的误差计算
被测量
y f ( x1 , x2 ,
, xn )
只进行一次测量时的误差计算
max e
A Am
上式中， max 实测值可能出现的最大相对误差；

2 i
n
第三节. 随机误差
标准误差和概率积分
2 1 p i i e 2 d i 2 i 2 2 2 2
p

1 e 2


d 1
| | | | 2 | | 3