2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷(三十)数学

2021届湖南长沙市一中新高考原创预测试卷（三十）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}{}|28,0,1,2,3,4x A x N B =∈≤=，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3B. {}1,2,3C. {}0,1,2D. {}0,1,2,3,4【答案】A【解析】∵集合{}|28x A x N =∈≤∴集合{}0,1,2,3A =∵集合{}0,1,2,3,4B =∴{}0,1,2,3A B ⋂=故选A.2. 下列函数中与函数y x =（0x >）相同的是（ ）A. y x =B. lg y x =C. y x =D. lg 10x y = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义对选项逐个进行分析即可得结果.【详解】y x =的定义域为R ，与y x =（0x >）的定义域不同，两函数不相同； lg y x =和y x =与y x =（0x >）解析式不同，两函数不相同；lg 10x y x ==的定义域为()0+∞，，与y x =（0x >）的解析式和定义域都相同，两函数相同．故选：D .【点睛】本题主要考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5632a a a +=+，则7S =（ ）A. 28B. 14C. 7D. 2 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质6345a a a a +=+并结合已知可求出4a ，再利用等差数列性质可得1774()772a a S a +==，即可求出结果． 【详解】因为6345a a a a +=+，所以5452a a a +=+，所以42a =， 所以17747()7142a a S a +===， 故选：B【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题．4. 函数1()cos 1xx e f x x e -=+的图像大致是（ ） A. B.C. D. 【答案】A【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，利用函数通过的特殊点，排除选项，即可推出结果.详解：函数()1cos 1xx e f x x e-=+， 可得()()()11cos cos 11x x x x e e f x x x f x e e -----=-==-++， ∴函数是奇函数，排除B ，2x π=时，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，排除D ， 6x π=时，66130621e f e πππ-⎛⎫=⨯< ⎪⎝⎭+，对应点在第四象限，排除C. 故选：A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．5. 若,x y满足不等式组250205x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，则z y x=-的最小值是（）A. 8- B. 7- C. 0 D. 5【答案】B【解析】【分析】由题意作出其平面区域，将z y x=-化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由几何意义可得结果.【详解】由题意作出不等式组250205x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩所表示平面区域：将z y x=-化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由2505x yx+=⎧⎨=⎩解得52xy=⎧⎨=-⎩，由图可知，当直线y=x+z过()5,2B-时，直线在y轴上的截距最小，故z y x=-的最小值是257--=-，故选：B.【点睛】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，根据几何意义是解题的关键，属于基础题.6. 执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】 根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n 的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:2,2420?n n ==>否；4,21620?nn ==>否；6,26420?n n ==>是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题.7. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ）A. AC⊥SBB. AB∥平面SCDC. SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角【答案】D 【解析】 试题分析：A 中由三垂线定理可知是正确的；B 中AB ，CD 平行，所以可得到线面平行；C 中设AC,BD 相交与O ，所以SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角分别为,ASO CSO∠∠ SA SC =所以两角相等，D 中由异面直线所成角的求法可知两角不等考点：1．线面平行垂直的判定；2．线面角，异面直线所成角8. 如图所示，ABC 中，BD 2DC =，点E 是线段AD 的中点，则AC (= )A. 31AC AD BE 42=+ B. 3AC AD BE 4=+ C. 51AC AD BE 42=+ D. 5AC AD BE 4=+ 【答案】C【解析】【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理即可得出． 【详解】如图所示，AC AD DC =+，1DC BD 2=，BD BE ED =+，1ED AD 2=，51AC AD BE 42∴=+． 故选C ． 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A. ()1614n --B. ()1612n --C.()32123n -- D.()32143n -- 【答案】D【解析】【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解. 【详解】由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=， 所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 关于函数()(1cos )cos tan 2x x x f x =+，有下述四个结论： ①函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 ②()f x 最小正周期为π③()f x 是奇函数④()f x 的定义域|()2x x R x k k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭,其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②③B. ②④C. ①④D. ①③【答案】D【解析】【分析】直接根据正切型函数的定义域可判断④，利用切化弦思想以及二倍角公式可将()f x 化简为()1sin 22f x x =，根据正弦型函数的性质可判断①②③. 【详解】要使()(1cos )cos tan 2x x x f x =+有意义，需满足,22x k k Z ππ≠+∈， 解得2,x k k z ππ≠+∈，即函数的定义域为{}|2()x x R x k k Z ππ∈≠+∈,，故④错误； ∵()21(1cos )cos tan2cos cos tan 2sin cos cos sin 2222222x x x f x x x x x x x x =+===， ∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 则可得()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，故①正确； ∴结合函数的定义域可得()f x 最小正周期为2T π=，故②错误；又∵定义域关于原点对称，()()()1sin 22x x x f f =-=--， ∴()f x 是奇函数，故③正确；故选：D .【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.11. 已知P ，A ，B ，C ，D 是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，2AB DC AD ===，4BC PA ==，PA ⊥面ABCD ，则球O 的体积为（ ）A. 3 C. D. 16π【答案】A【解析】根据已知中的平行关系和长度关系可确定BC 中点E 为底面梯形的外接圆圆心，根据球的性质可知OE ⊥平面ABCD ，利用勾股定理构造出关于OE 和球的半径R 的方程，解方程求得R ，代入球的体积公式可求得结果.【详解】取BC 中点E ，连接,,AE DE BD//AD BC 且12AD BC EC == ∴四边形ADCE 为平行四边形 AE DC ∴=，又12DC BC = 12DE BC ∴= AE DE BE EC ∴===E ∴为四边形ABCD 的外接圆圆心设O 为外接球的球心，由球的性质可知OE ⊥平面ABCD作OF PA ⊥，垂足F ∴四边形AEOF 为矩形，2OF AE ==设AF x =，OP OA R ==则()22444x x +-=+，解得：2x = 4422R ∴=+=∴球O 的体积：3464233V R π== 本题正确选项：A【点睛】本题考查棱锥外接球体积的求解问题，关键是能够明确外接球球心的位置，主要是根据球心与底面外接圆圆心连线垂直于底面的性质，通过勾股定理构造方程求得结果.12. 甲乙二队进行篮球比赛，若有一队胜4场，比赛就结束，假设甲，乙二队在每场比赛中获胜的概率都是0.5，则所需比赛的场数的数学期望为（ ）A. 4B. 5.8125C. 6.8125D. 7 【答案】B【解析】先确定比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，求出相应的概率，即可求得数学期望..【详解】由题意可知，比赛需要的场数ξ的可能取值为4、5、6、7，()441114228p ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3341111522224p C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭； ()323511156222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()333611157222216p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1155934567 5.812584161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==， 故选：B . 【点睛】本题考查独立重复试验，理解n 次独立重复试验的模型与二项分布的区别， 能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关概率的计算，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在复平面内，复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，其中O 是原点，则向量AB 对应的复数为__________.【答案】9i --【解析】【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出AB ，得到向量的代数形式的表示式即可.【详解】∵复数65i +与34i -+对应的向量分别是OA 与OB ，∴ 34659OB OA i i AB i =-=-+--=--，故答案为：9i --.【点睛】本题主要考查复数的几何意义，向量的线性运算，属于基础题.14. 在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒，则BC CA ⋅的值为________．【答案】-20【解析】 【分析】在ABC ∆中，5a =，8b =，60C =︒则,120BC CA ︒<>=然后用数量积求值即可． 【详解】解：||||cos ,58cos12020BC CA BC CA BC CA ︒⋅=⋅<>=⨯⨯=-. 故答案为：20-．【点睛】本题考查平面向量的数量积，多数同学错误认为,60BC CA C <>=∠=︒，从而出错． 15. 测量某一目标的距离时，所产生的随机误差X 服从正态分布()220,10N ，如果独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是__________.附参考数据：()0.68P X μδμδ-<≤+=，()220.95P X μδμδ-<≤+=，()330.99P X μδμδ-<≤+=，20.1850.03=，30.1850.006=，20.8150.66=，30.8150.541=.【答案】0.994 【解析】 【分析】 根据正态分布的性质求出在一次测量中误差在()0,30内的概率，再求出测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率，根据对立事件的性质可得结果.【详解】由题意可知在一次测量中误差在()0,30内满足2X μδμδ-<<+，其概率为()()()111220.950.680.815222p p X p X μδμδμδμδ=-<≤++-<≤+=⨯+=， 测量3次，每次测量误差均不在()0,30内的概率为：()3310.8150.1850.006-==， ∴独立测量3次，至少一次测量误差在()0,30内的概率是10.0060.994-=， 故答案为：0.994.【点睛】本题主要考查正态分布概率的求法，n 次独立重复试验的模型，利用对立事件解决问题是解题的关键，属于中档题.16. 已知F 是椭圆2212x y +=的右焦点，P 是椭圆上一动点，10,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则APF 周长的最大值为__________. 【答案】522+ 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可将周长转化为|2AP a PF AF +-'+，当AP PF -'最大时，A 、P 、F '三点共线，即求出最大值. 【详解】∵APF 的周长为AP PF AF ++，而2PF a PF =-'，∴APF 的周长为2AP a PF AF +-'+，当A P PF F A '-='最大时，A 、P 、F '三点共线，如图所示，由题意得2a =1c =，F 点坐标为()10，，F '坐标为()10-，， 则APF 的周长最大为：||2AF AF a '++222211(10)0(10)02222⎛⎫⎛⎫=--+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭522【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分.17. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且满足5()cos cos 4c a B b A -=. （1）若2sin ,105A a b =+=，求a ；（2）若5b a ==，求ABC ∆的面积S . 【答案】（1）4a =；（2）15. 【解析】试题分析：本题是典型角正余弦定理解三角形问题，由于5c a cosB bcosA 4⎛⎫-=⎪⎝⎭是关于边的这里面次式，所以先统一角做．由（1）中知道a b 10+=，所以可以选择正弦定理，从而解出此三角形．由（2）b 5==及4cosB 5=.两边及一对角的题型，所以可以选择余弦定理． 试题解析： 因为5c a cosB bcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以由正弦定理得5sinC sinA cosB sinBcosA 4⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即有5sinCcosB sinAcosB cosAsinB 4=+ ， 则5sinCcosB sinC 4=，因为sinC 0>，所以4cosB 5=. （1）由4cosB 5=，得3sinB 5=，因为2sinA 5=，所以a sinA 2b sinB 3==， 又a b 10+=，解得a 4=.（2）因为222b a c 2accosB,b 5=+-==，所以24525c 8c =+-， 即2c 8c 200--=，解得c 10=或c 2=-（舍去）， 所以1S acsinB 152== 18. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点.（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）8525．【解析】 【详解】 【分析】 试题分析：（Ⅰ）取的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形 AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ∥，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以 A 为坐标原点，AE 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面 PMN 的法向量的夹角的余弦值来求解AN 与平面 PMN 所成角的正弦值． 试题解析：（Ⅰ）由已知得. 取的中点T ，连接，由为中点知，.又，故=TN AM ∥，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN AT ∥.因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且.以A 为坐标原点， AE 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，，，，，(0,2,4)PM =-， 5(,1,2)2PN =-，5(,1,2)2AN =. 设(,,)x y z =n 为平面 PMN 的一个法向量，则0,{0,n PM n PN ⋅=⋅=即 240,{520,2y z x y z -=+-=可取(0,2,1)n =. 于是85cos ,25n AN n AN n AN⋅〈〉==.【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．19. 如图，已知直线l 与抛物线22y px =（0p >）交于,A B 点，且OA OB ⊥，（1）若⊥OD AB 交AB 于点D ，求点D 的轨迹方程； （2）求AOB 面积的最小值.【答案】（1）2220(0)x y px x +-=≠；（2）24p . 【解析】 【分析】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠，由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由此入手能求出点D 的轨迹方程；（2）设出AO 的方程代入抛物线求得x 的值，进而表示出A 的坐标，同理可表示出B 的坐标，进而可表示出222||1p OA k k =+，221||12OB pk k=+，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）设点A 的坐标()11,x y ，点B 的坐标()22,x y ，点D 的坐标为()()000,0x y x ≠， 由OA OB ⊥，得12120x x y y +=，由已知，得直线l 的方程为220000y y x x x y =-++，又有2112y px =，2222y px =，()()22121222y y px px =，22121224y y x x p =，由12120x x y y +=得21240y y p +=，把220000y y x x x y =-++代入22y px =并消去x 得()2220000220x y py y p x y +-+=，得()22001202p x y y y x -+=，代入21240y y p +=，得()220000200x y px x +-=≠，故所求点D 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠. （2）设:OA y kx =，代入22y px =，得0x =，22p x k=，22||p OA k =，2||2OB pk =， AOB 面积2221241412k S OA OB p p k+==≥，当且仅当1k =±时，取等号， 所以AOB 面积的最小值为24p .【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查了面积的最值计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题.20. 甲乙二人轮流抛一枚均匀的骰子，甲先掷，一直到掷了1点，交给乙掷，而到乙掷出1点，再交给甲掷，井如此一直下去，若第n 次由甲掷骰子的概率为n P . （1）求12,P P ；（2）写出n P 与1n P -的递推关系式，并判断数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是什么数列，并求n P ；（3）当n 足够大时，n P 趋近什么数，它的统计意义是什么？ 【答案】（1）11p =，216p =；（2）()112263n n n p p -=+≥，12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1121232n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）12，意义见解析. 【解析】 【分析】（1）直接根据规则，可求1p ，2p ，的值；（2））第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -，第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --，两者相加可得n P 与1n P -的递推关系式，构造即可得12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）通过极限的思想可得nP 趋近12，其意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同【详解】（1）由题意，11p =，256p =； （2）第1n -()2n ≥次由甲投掷而第n 次仍由甲投掷的概率是1 56n p -， 第1n -次由乙投掷而第n 次由甲投掷的概率是()11 16n p --于是()1111121+63566n n n n p p p p ----==+，()2n ≥所以1213231n n p p --=-，()2n ≥即1211232n n p p -⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，()2n ≥， 故数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，23为公比的等比数列； 所以1112223n n P -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故1121232n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （3）当n 足够大时，11223n -⎛⎫⎪⎝⎭趋于0，则1121232n n P -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭趋于12，它的统计意义在于当n 足够大时，甲掷骰子和乙掷骰子的可能性基本相同.【点睛】本题考查概率知识的运用，考查数列通项的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.21. 已知函数()ln af x x ax x=-+，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求实数a 的值；(2)若0<a <1，求证：202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；(3)当函数存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围 【答案】（1）12- ；（2）详见解析；（3）1(0,)2 .【解析】【详解】试题分析：(1)根据导数的几何意义可得：，再结合斜率公式进而得出a 的值；(2)表示出223322()ln 2ln ln 22222a a a af a a a =-+=+--，然后构造函数32()2ln ln 22x g x x x =+--通过讨论函数的单调性证明2()02a f >；(3)将函数零点的问题转化为函数图像与轴交点个数的问题，通过导数讨论函数的单调性来解决. 试题解析：由题知0x > （Ⅰ）211()(1)f x a x x =-+'(1)12f a '∴=- 4(1)(1)231f f 又-==-'11222a a ∴-=∴=-（Ⅱ）223322()ln 2ln ln 22222a a a a f a a a =-+=+--，令32()2ln ln 22x g x x x =+--，则242222334(1)()22x x x g x x x x -+-=--=' ∴(0,1x ∈）时，()0,()g x g x '<单调递减， 故(0,1x ∈）时，1()(1)2ln 202g x g >=-->， ∴当01a <<时，2()02a f >（Ⅲ）22211()(1)ax x af x a x x x-+=='--+ ①00()0,()a f x f x '≤+∞>当时，在（，）上，递增，∴()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②10()0,()2a f x f x ≥+∞'≤当时，在（，）上，递减， ∴()f x 至多只有一个零点，不合题意；③10()0,2a f x <'<=当时，令得22121141141,22a a x x a a --+-== 此时，()f x 在1(0,)x 上递减，12(,)x x 上递增，2(,)x +∞上递减，所以，()f x 至多有三个零点.因为()f x 在1(,1)x 递增，所以1()(1)0f x f <=，又因为2()02a f >，所以201(,)2ax x ∃∈，使得0()0f x =，又001()()0,(1)0f f x f x =-==，所以恰有三个不同零点：0,011,x x ，所以函数()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是1(0,)2. 考点：函数与导数综合应用.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的参数方程是12,12,x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数） （1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 交于点M ，求以OM 为直径的圆的极坐标方程.【答案】（1）60x y +-=，2211616x y -=；（2）313cos 5sin ρθθ=+ 【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换即可； （2）利用二元二次方程的解法求出M 的坐标，进一步求出圆的方程.【详解】（1）直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭整理得cos cossin sin44ππρθρθ+=转换为直角坐标方程为22x y +=60x y +-=； 曲线C 的参数方程是1212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．两式平方相减可转换为直角坐标方程为2211616x y -=.（2）直线l 与曲线C 交于点M ，所以2260 16x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得13353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以OM 的中点坐标为135,66M ⎛⎫⎪⎝⎭，半径6r =， 整理得22135976618x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 转换为极坐标方程为2213597cos sin 6618ρθρθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得：313cos 5sin ρθθ=+.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，二元二次方程组的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档型23. 已知定义在R 上的函数()()2121x x x f x =++-+-的最小值为s .（1）试求s 的值；（2）若,,a b c R +∈，且a b c s ++=.求证2223a b c ++≥.【答案】（1）3；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得当12x -≤≤时，12x x ++-的最小值为3，结合二次函数的性质即可得结果；（2）直接利用柯西不等式即可得结果.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得：123x x ++-≥，当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时取等号；由于()210x -≥，当且仅当1x =时取等号，故()()21213x x x f x =++--≥+，当且仅当1x =时取等号，故()3min f x =，即3s =.（2）由于3a b c ++=，由柯西不等式()()2222222111()9a b c a b c ++++≥++=， 即2223a b c ++≥，当且仅当1a b c ===取等号.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质，以及利用柯西不等式证明不等式，利用不等式求最值时注意取等号条件，属于中档题.。