可压缩性流体的研究及其应用

可压缩性流体的研究及其应用

学号：122150001 姓名：田军吉

科学技术高度发展的今天，可压缩性流体在许多应用上都得以广泛的推广并且也取得了相当大的成就。因此，我们除了在有些高等物理学教材中需要涉及相关知识外，我们还应该在一些具体工程类学科开设相关课程，尤其是冶金行业。本文就其具体的研究和应用两方面进行介绍。

1可压缩性流体的伯努利方程

在许多普通物理教材和教学中，仅讨论不可压缩流体的伯努利方程。由此讨论液体和低速气体的运动是可以的，但是不能处理快速和高速气体的流动问题。而清华大学的李复用一个涉及到高速气流的实际问题来阐述了利用伯努利方程的具体意义。

具体例子：注液过程中储液器内的极值气压。

工业生产中常用的储液器通常有一个进液口和一个排气口。以储水容器为例，如图1所示。开始容器内有一个大气压的空气，在注水过程中容器内气压会升高。容器内气压的最大值是很重要的参量，决定了容器的强度设计。

下面讨论储水容器内气压的极值。首先建立储水容器内气压变化所满足的微分方程。设储水容器容积为V0 ,开始容器内充满与环境大气相同的空气，气压、

ρa。设t时刻容器内的气压、体积、温度、密度分温度、密度分别为Pa、Ta、

ρ。

别为P、V、T、

，排出的空气体积为dV ，并设整设t—t +dt时间内注入的水的体积为dV

水

个排气过程为等熵过程，把空气当作理想气体，则对于留在容器内t时刻体积为(V - dV )、压强为P的那些空气，在t +dt时刻体积压缩为(V - dV水)、压强为( p

+ dp) ,于是由等熵过程的泊松( Poisson)公式有

即

于是得：

其中γ为比热容比。

设t 时刻注入水和排出空气的体积流量分别为q 水、q,则

由于容器内空气进入排气管后体积膨胀 ,所以这里的排出空气体积流量q 不等于排气管中的空气体积流量q e 。将上式代入式(1)得

其中

定义气压极值p m 为使dp /dt = 0的气压.由式(2)可知，当 q 水 - q = 0时容器

内气压达到极值 p m ,

即

为容器内气压为极值的条件。

体积流量取决于进水管和排气管中流体的流速。流速要用伯努利方程计算。排气管中空气的流速可以达到声速，因此要应用适用于可压缩流体的普遍伯努利方程。

2 弱可压缩性流体之粘性流动的讨论

若考虑粘性流动， 动量方程可写为

1v u u p f t ρ

∂+∇+∇=∂ 方程的离散及求解类似于非粘性流动的情况，但对于粘性项需要专门考虑。可令2f v v =∇，式 中 e t v v v =+，e v 为层流运动粘性系数，t v 为紊流运动粘性系数。确定紊流运动粘性系数，需要讨论紊流模型。研究表明，湍流流动由不同尺度的旋涡组成。大尺度的旋涡对湍流能量和雷诺应力的产生以及对各种量的湍流扩散起主要作用，大涡的行为强烈地依赖于边界条件，它随流动类型而异。小涡主要对耗散起作用，在高雷诺数下小涡近似于均匀各向同性，受边界条件的影响较小。应该说，雷诺平均的处理方法并不能真实反映湍流流动的上述基本特点，

因为由此出现的雷诺应力项包含了全部大涡引起的脉动，因而从根本上说难于用一种通用的湍流模型去描述强烈依赖于边界条件和流动类型的大涡的行为。更合理的方法是用计算机计算大涡而用模型( 即所谓亚格子 S G S模型)模拟小涡，这就是大涡模拟的基本思想。大涡模拟的主要优点是大涡部分可以精确求解，整个计算受人工模型的影响比较小。大涡模拟需要网格足够细，否则不足以反映紊流脉动详情，这样必然导致计算工作量巨大，一般微机和小型机都难以满足要求。

3用拉瓦尔喷管获得超音速流的定性讨论

对于音速来讲，我们知道管道中亚音速流动和超音速流动是性质根本不同的两类音速流动，而出现音速流则需要一定的条件。下面就用这些结论来定性说明用拉瓦尔喷管获得超音速流的原理。

在图2中，管道是先收缩再扩张的.我们把入口端记为 1，出口端记为2，管道中最小截面处记为 3，这种最小截面常称为喉道.显然，从 1到 3 部分的管段，截面积是单调下降的，而从3到2部分管段，截面积是单调增加的，具有这种特征的管道，叫做拉瓦尔喷管。

拉瓦尔喷管内的流动是由于管道两端存在压力差(Δp=p1-p2)而引起的。现在，我们在假p1不变，p2逐步下降(即Δp逐渐增大)的情况下，来定性讨论管内流动状况的改变。

1) p2与p1相差很小，即Δp很小。此时管内各点上的流量和流速也都很小.所以，M1＜1,M3＞M1，但M3＜1，M2＜M3＜1，也就是整个管道内到处都是亚音速流态。

2) p2开始下降，Δp增大。相应地管内各点流量、流速、流动马赫数也都变大，压力则下降。在p2变化的一定范围内，这种改变只有量的变化，而不发生质的变化，即所有点上仍都是亚音速流态。当p2下降到一定数值时，管内流动马赫数最大的喉道处，其马赫数将达到M3=1。此时，收缩段内保持着上面指出的特征，即全部都是亚音速流态，并且速度沿着轴向单调增加。但是，在扩张段内，情况就比较复杂了，因为从图1可以看出，此时既可以保持M(x)逐步下降的亚音速状态，也可以变为M(x)逐步上升的超音速状态，甚至还可以出现非等

熵流(激波)的情况。由于p2是连续变化的，所以在刚刚出现M3=1时，必有M2＜1。

3) p2继续下降，管内出现激波，此时，由于喉道处已达到音速，所以出口端近喉道的一段是超音速流态，这个流态直到激波波阵面为止；通过激波流动参量发生突变，超音速流变为亚音速流，这种流态直到截面2处。并且，随p2减小，即Δp增大，激波位置逐渐从3点移向2点。

4)当p2下降到某一值时，激波正好到达2点，整个扩张管内全部都是超音速流。p2再下降，对管内流动基本上就没有影响了，因为已有M2＞1，所以扰动不会影响上游流场。

由以上分析知，当拉瓦尔喷管两端的压力差大于或等于某一定值(可以定量算出)时，可以使管道内的流体达到：在整个收缩段内都是亚音速流态；在喉道处为音速流；而在整个扩张段内都是超音速流态。

正因为用拉瓦尔喷管可获得超音速流，因此拉瓦尔喷管在喷气发动机、超音速风洞等方面有着极其广泛的应用.并且，如何根据一定的参量要求设计拉瓦尔喷管的形状，也成了空气动力学研究的一个重要课题。

总结：

由于可压缩性流体在日常生活中也好，在工业生产中也好，应用都很广泛，因此，学者对其研究也较多，尤其是对于我们冶金行业来讲更是如此。不管是可压缩性流体的性质的一般应用还是工业流程生产，都起到了一定性的作用。