《几何概型》ppt
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3.3.1几何概型
[知识链接]
1 ah 1．三角形的面积S＝____ 2 (其中底为a，高为h)；圆的面积S＝
πr2 ． ___
1 Sh 2．棱锥的体积V＝____ 3 ，棱柱的体积V＝ Sh，球的体积V＝
4 3 πr ． _____ 3
问题情境 创设情境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧 室
书 房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
思
考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉．则事件A发生就是在０--２／３min时间 段内按错键．故 2 1 3 = 45 P(A)=
30
用几何概型解简单试验问题的方法
1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解； 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4、利用几何概型概率公式计算。 注意：要注意基本事件是等可能的。
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
问题
2.上图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏规 定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮
藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少? 3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
练习
1.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向 内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色 靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm, 靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那 么射中黄心的概率是多少?
解.记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B,由 于 中 靶 点 随 机 落 在 1 面 积 为 π 1 2 22 cm 2的 大 圆 内而 , 当中靶点落在面 4 1 积 为 π 12.22 cm 2的 黄 心 内 时事 , 件 B发 生 . 4
1 π 12.22 事件B发生的概率为P (B) 4 0.01 1 π 1222 4
例1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机 想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟 的概率.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
思考：能用圆盘等设计一种方法模拟试验吗？
设打开收音机的时刻X是随机的，则X为[0，60] 上的均匀随机数
练习
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A， 由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m
时，事件A发生，于是
如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度（面积或体 积）成比例Байду номын сангаас则称这样的概率模 型为几何概型（Geometric models of probability） 几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个; （2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
分析：甲获胜的概率只与B所在扇形区 域的圆弧长度有关，而与B所在区域的 位置无关，不管这些区域是否相邻
1 2
3 5
形成概念
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.
思
考:
1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
[小结] 1．几何概型的定义
[知识链接]
1 ah 1．三角形的面积S＝____ 2 (其中底为a，高为h)；圆的面积S＝
πr2 ． ___
1 Sh 2．棱锥的体积V＝____ 3 ，棱柱的体积V＝ Sh，球的体积V＝
4 3 πr ． _____ 3
问题情境 创设情境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧 室
书 房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
思
考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
解:记事件A:按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或 全部擦掉．则事件A发生就是在０--２／３min时间 段内按错键．故 2 1 3 = 45 P(A)=
30
用几何概型解简单试验问题的方法
1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解； 2、把基本事件转化为与之对应的区域D； 3、把随机事件A转化为与之对应的区域d； 4、利用几何概型概率公式计算。 注意：要注意基本事件是等可能的。
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A.
把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
1 事件A发生的概率P( A) 3
问题
2.上图中有两个转盘,甲乙两人玩转盘游戏规 定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜. 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?
2 1 事件A发生的概率P( A) 8 4
练一练:
2.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮
藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面
的概率是多少? 3.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄 豆,分别计算它落到阴影部分的概率.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
练习
1.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向 内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色 靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122cm, 靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每 箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那 么射中黄心的概率是多少?
解.记 “ 射 中 黄 心 ” 为 事 件 B,由 于 中 靶 点 随 机 落 在 1 面 积 为 π 1 2 22 cm 2的 大 圆 内而 , 当中靶点落在面 4 1 积 为 π 12.22 cm 2的 黄 心 内 时事 , 件 B发 生 . 4
1 π 12.22 事件B发生的概率为P (B) 4 0.01 1 π 1222 4
例1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机 想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟 的概率.
解：记“等待的时间小于10分钟”为事件A， 打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内 则事件A发生. 由几何概型的求概率公式得 P（A）=（60-50）/60=1/6 即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6.
思考：能用圆盘等设计一种方法模拟试验吗？
设打开收音机的时刻X是随机的，则X为[0，60] 上的均匀随机数
练习
1.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在 绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的 概率.
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A， 由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m
时，事件A发生，于是
如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度（面积或体 积）成比例Байду номын сангаас则称这样的概率模 型为几何概型（Geometric models of probability） 几何概型的特点:
(1)基本事件有无限多个; （2)基本事件发生是等可能的.
一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:
分析：甲获胜的概率只与B所在扇形区 域的圆弧长度有关，而与B所在区域的 位置无关，不管这些区域是否相邻
1 2
3 5
形成概念
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某 个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点 被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰 好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可 以是线段、平面图形、立体图形等.
思
考:
1.国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
d的测度 P(A) . D的测度
注: （1）古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况， 而古典概型中的等可能事件只有有限多个； (2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形 时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积. （3）区域应指“开区域” ，不包含边界点；在区域 D 内随机取点是指：该点落在 D 内任何一处都是等可能的， 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性 状位置无关．
[小结] 1．几何概型的定义