圆、相似三角形、二次函数经典综合题精品教案

【1】已知：如图，△ABC接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF；(2)CE2=BD·EF.【2】如图，△ABC接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长.【3】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．Array(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且46ME =， :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.【6】EDGBFC O M 第9题图【7】如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.（1）求证：O2C⊥O1O2；（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；（2）当DE=8时，求线段EF的长；为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根．（1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy 中，AB 在x 轴上，AB=10．以AB 为直径的⊙O’与y 轴正半轴交于点C ．连接BC ，AC 。

CD 是⊙O’的切线．AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD=12，抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点。

（1）求证：∠CAD=∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；②判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上．并说明理由：（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．图（3）l '相似、圆、二次函数---◆◆◆综合答案认真解答,一定要细心哟! （培优）【1】证明：(1)∵EF∥BC，∴∠BCE=∠CEF. 又∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAE=∠CEF.(2)证法一：∵∠BAD＝∠CAD，∠BAE＝∠CEF，∴∠CAD＝∠CEF.又∵∠ACD＝∠F，∴△ADC∽△ECF.∴CE EFAD AC=.∴CE ADEF AC=. ①又∵∠BAD＝∠EAC，∠B＝∠AEC，∴△ABD∽△AEC，∴BD ADCE AC=.②由①②得CE BDEF CE=，∴CE2＝BD·EF.【2】解：连结BF.∵AE平分∠BAC的外角，∴∠DAE=∠CAE.∵∠DAE=∠BAF，∴∠CAE=∠BAF.∵四边形ACBF是圆接四边形，∴∠ACE=∠F.∴△ACE∽△AFB.∴AC AE AF AB=.∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x，则AF=14－x，则有5x14x8=-，整理，得x2-14x+40=0.解得x1=4,x2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4. 【3】【4】（1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，GEF A ∴∠=∠． ····························· 2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似 OM ME ME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯ 又46ME =，2(46)96OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴=∴直径1020CD x ==．【5】 (1)证明：连接OC,∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。

∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。

又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线．(2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。

由AD<DF ，知05x <<，故2x =。

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 【6】【7】解：（1）∵AO 1是⊙O 2的切线，∴O 1A ⊥AO 2 ∴∠O 2AB +∠BAO 1=90°又O 2A =O 2C ，O 1A =O 1B ，∴∠O 2CB =∠O 2AB ，∠O 2BC =∠ABO 1=∠BAO 1 ∴∠O 2CB +∠O 2BC =∠O 2AB +∠BAO 1=90°，∴O 2C ⊥O 2B ，即O 2C ⊥O 1O 2 （2）延长O 2O 1交⊙O 1于点D ，连结AD . ∵BD 是⊙O 1直径，∴∠BAD =90° 又由（1）可知∠BO 2C =90°∴∠BAD =∠BO 2C ，又∠ABD =∠O 2BC ∴△O 2BC ∽△ABD ∴2O B BCAB BD=∴AB ·BC =O 2B ·BD 又BD =2BO 1 ∴AB ·BC =2O 2B ·BO 1（3）由（2）证可知∠D =∠C =∠O 2AB ，即∠D =∠O 2AB ，又∠AO 2B =∠DO 2A ∴△AO 2B ∽△DO 2A ∴2222AO O BDO O A=∴AO 22=O 2B ·O 2D ∵O 2C =O 2A ∴O 2C 2=O 2B ·O 2D ① 又由（2）AB ·BC =O 2B ·BD ②由①－②得，O 2C 2－AB ·BC = O 2B 2 即42－12=O 1B 2 ∴O 2B =2，又O 2B ·BD =AB ·BC =12 ∴BD =6，∴2AO 1=BD =6 ∴AO 1=3 【8】（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°,∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ……4分 （2）连结OD,∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°,又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线, ∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-,∴AE =AO －OE=10-6=4,由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ， 得△OEF ∽△DEA, ∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ， 当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC中点，即OE =25，∴E 1（25，0）； 当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ，∴CF ∥AB ,有CF =12AB , ∵△ECF ∽△EAD,∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得：310=x ,∴E 2（310，0）;②当交点E 在点C 的右侧时，∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD, ∴∠BEA =∠BAO,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴CF CEAD AE=,而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0∴E 3（41755+，0）; ③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA,∴CF ∥BE,∴OEBE =, 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠， ∴△CEF ∽△AED, ∴ADCFAE CE =， 而AD =2BE , ∴2OC CE OE AE=,∴5+5210+x x x =, 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去）,∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（41755-，0）, 综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．……4分【9】 解：（1）以AB 为直径的圆过点C ，90ACB ∴∠=，而点C 的坐标为(02)，，由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△，2CO AO BO ∴=， 即：4(5)AO AO =-，解之得：4AO =或1AO =．OA OB >，4AO ∴=，即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩，解之5m =-，3n =-．（2）如图（3），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ，易知DE AC ⊥，且45ECD EDC ∠=∠=，在ABC △中，易得AC BC ==AD AE DE BC DB EC∴=∥，， AD AEDE EC BD DE =∴=，， 又AED ACB △∽△，有AE AC ED BC =，2AD ACDB BC ∴==，553AB DB ==，，则23OD =，即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，易求得直线l 对应的一次函数解析式为：32y x =+． ······································· （3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ．CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=．由MDE MNC △∽△，有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△， 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=，即11110CM CN DE +== 【10】。