圆、相似三角形、二次函数经典综合题精品教案

【1】已知：如图，△ABC接于⊙O，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，EF∥BC且交AC延长线于F，连结CE.

求证：(1)∠BAE=∠CEF；

(2)CE2=BD·EF.

【2】如图，△ABC接于圆，D为BA延长线上一点，AE平分∠BAC的外角，交BC延长线于E，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE、AF的长.

【3】如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，

C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接

CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．Array

(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；

(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；

(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点

的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的

O 交

ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE CD ，的交点为M ，且

46ME =， :2:5MD CO =．

（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．

【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为

⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。 (1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度.

【6】

E

D

G

B

F

C O M 第9题图

【7】如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.

（1）求证：O2C⊥O1O2；

（2）证明：AB·BC=2O2B·BO1；

（3）如果AB·BC=12，O2C=4，求AO1的长.

【8】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF．

（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；

（2）当DE=8时，求线段EF的长；

为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此

时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

第24题图

【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程

2(2)10x m x n -++-=的两根．

（1）求m 、n 的值；

（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11

CM CN

+

的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy 中，AB 在x 轴上，AB=10．以AB 为直径的⊙O’与y 轴正半轴交于点C ．连接BC ，AC 。CD 是⊙O’的切线．AD ⊥CD 于点D ，tan ∠CAD=12

，抛物线2

y ax bx c =++过A 、B 、C 三点。

（1）求证：∠CAD=∠CAB ； （2）①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上．并说明理由：

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．

图（3）

l '

相似、圆、二次函数---◆◆◆综合答案认真解答,一定要细心哟! （培优）【1】证明：(1)∵EF∥BC，∴∠BCE=∠CEF. 又∵∠BAE=∠BCE，∴∠BAE=∠CEF.

(2)证法一：∵∠BAD＝∠CAD，∠BAE＝∠CEF，

∴∠CAD＝∠CEF.又∵∠ACD＝∠F，∴△ADC∽△ECF.

∴CE EF

AD AC

=.∴

CE AD

EF AC

=. ①又∵∠BAD＝∠EAC，∠B＝∠AEC，∴△ABD∽△AEC，∴

BD AD

CE AC

=.

②由①②得CE BD

EF CE

=，∴CE2＝BD·EF.

【2】解：连结BF.∵AE平分∠BAC的外角，∴∠DAE=∠CAE.

∵∠DAE=∠BAF，∴∠CAE=∠BAF.

∵四边形ACBF是圆接四边形，∴∠ACE=∠F.

∴△ACE∽△AFB.∴AC AE AF AB

=.

∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x，则AF=14－x，则有

5x

14x8

=

-

，整理，得x2-14x+40=0.

解得x1=4,x2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4. 【3】

【4】（1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，

DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，

GEF A ∴∠=∠． ····························· 2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似 OM ME ME MC

∴=

2

ME OM MC ∴=⨯ 又

46ME =，2(46)96OM MC ∴⨯==

:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴=

∴直径1020CD x ==．

【5】 (1)证明：连接OC,

∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线．

(2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.

∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ，

在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 【6】