圆、相似三角形、二次函数经典综合题

中考数学《圆》综合复习

【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.

求证：(1)∠BAE=∠CEF ；

(2)CE 2

=BD ·EF.

【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.

【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，

C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点

D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；

(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点

的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．

【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交

ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GE

CD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．

（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．

B C

F E A D O .

A B D C E

F 第9题图

【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】

【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；

（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.

O 1

O 2

A B

【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂

线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段

EF 的长；

（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．

【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2

(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；

（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN

+

第24题图

图（3）

l '

【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。CD是⊙O’的切线．AD⊥CD于点D，

tan∠CAD=1

2

，抛物线2

y ax bx c

=++过A、B、C三点。

（1）求证：∠CAD=∠CAB；

（2）①求抛物线的解析式；

②判断抛物线的顶点E是否在直线CD上．并说明理由：

（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA

是直角梯形．若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在．请说明理由．

A B

D C

E

F

【1】证明：(1)∵EF ∥BC ，∴∠BCE=∠CEF. 又∵∠BAE=∠BCE ，∴∠BAE=∠CEF.

(2)证法一：∵∠BAD ＝∠CAD ，∠BAE ＝∠CEF ，

∴∠CAD ＝∠CEF.又∵∠ACD ＝∠F ，∴△ADC ∽△ECF.

∴CE EF AD AC =.∴CE AD

EF AC =. ①又∵∠BAD ＝∠EAC ，∠B ＝∠AEC ，∴△ABD ∽△AEC ，∴

BD AD CE AC =. ② 由①②得CE BD EF CE

=，∴CE 2＝BD ·EF.

【2】解：连结BF.∵AE 平分∠BAC 的外角，∴∠DAE=∠CAE.

∵∠DAE=∠BAF ，∴∠CAE=∠BAF.

∵四边形ACBF 是圆内接四边形，∴∠ACE=∠F.

∴△ACE ∽△AFB.∴

AC AE

AF AB

=. ∵AC=5，AB=8，EF=14，设AE=x ，则AF=14－x ，则有

5x 14x 8

=-，整理，得x 2

-14x+40=0.

解得x 1=4,x 2=10，经检验是原方程的解.∴AE=4,AF=10或AE=10，AF=4. 【3】

.

O D A

F

C B

【4】（1）连接DF CD 是圆直径，90CFD ∴∠=，即DF BC ⊥90ACB ∠=，

DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．在O 中BDF GEF ∠=∠，

GEF A ∴∠=∠． ····························· 2分 （2）D 是Rt ABC △斜边AB 的中点，DC DA ∴=，DCA A ∴∠=∠， 又由（1）知GEF A ∠=∠，DCA GEF ∴∠=∠． 又OME EMC ∠=∠，OME ∴△与EMC △相似 OM ME ME MC

∴=

2

ME OM MC ∴=⨯ 又

46ME =，2(46)96OM MC ∴⨯==

:2:5MD CO =，:3:2OM MD ∴=，:3:8OM MC ∴=设3OM x =，8MC x =，3896x x ∴⨯=，2x ∴= ∴直径1020CD x ==．

【5】 (1)证明：连接OC,

∵点C 在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ，∵CD ⊥PA ，∴∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC 平分∠PAE ，∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上，OC 为⊙0的半径，∴CD 为⊙0的切线．

(2)解：过0作0F ⊥AB ，垂足为F ，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， ∴四边形OCDF 为矩形，∴0C=FD ，OF=CD.

∵DC+DA=6，设AD=x ，则OF=CD=6-x ，∵⊙O 的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x ， 在Rt △AOF 中，由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=，化简得：

211180x x -+=

解得2x =或9x =。由AD

从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF ⊥AB ，由垂径定理知，F 为AB 的中点，∴AB=2AF=6. 【6】