相似三角形与圆综合题

相似三角形与圆综合

第一部分：例题分析

例1、已知:如图，ＢＣ为半圆Ｏ的直径,AD⊥ＢC,垂足为D，过点Ｂ作弦BF交ＡD于点Ｅ，交半圆O于点F，弦A Ｃ与BF交于点Ｈ,且AE=BE．求证：（1)错误!=错误!；(2）AＨ·BC＝2AB·BE.

例2、如图，PＡ为圆的切线,A为切点，ＰBＣ为割线,∠APC的平分线交AB于点D,交AＣ于点E，求证：(1)ＡＤ=A Ｅ；(2）ＡB·AE=AC·DＢ.

例３、ＡＢ是⊙Ｏ的直径，点C在⊙O上,∠BAＣ＝６0°,Ｐ是OB上一点,过P作AB的垂线与ＡC的延长线交于点Q,连结OC，过点C作CD⊥OC交PQ于点D.

(１)求证：△CDＱ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值.

例4、△ＡBＣ内接于圆O，∠BＡC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于Ｆ,连结ＢＤ，ＣＤ. 求证:(１)ＢＤ平分∠CBE;(2)ＡＢ·BF=AF·DC.

例３、⊙O内两弦AB，ＣD的延长线相交于圆外一点E,由Ｅ引AD的平行线与直线BC交于Ｆ,作切线FG，Ｇ为切点,求证：EＦ=FG.

第二部分:当堂练习

1.如图，AＢ是⊙O直径，ED⊥ＡB于D，交⊙O于G,ＥA交⊙O于C，CB交ED于Ｆ，求证：DG2=ＤE•DF

2.如图,弦EF⊥直径MN于H,弦MＣ延长线交EF的反向延长线于A,求证:MA•ＭC＝MB•ＭＤ

D

C

B

A

O

M

N E

H

3.如图,ＡB 、AC 分别是⊙Ｏ的直径和弦，点Ｄ为劣弧AC 上一点,弦E Ｄ分别交⊙Ｏ于点E ，交A Ｂ于点Ｈ,交AC 于点F ，过点Ｃ的切线交ＥD 的延长线于点Ｐ. （1)若PC ＝P Ｆ,求证：AB ⊥ED ；

（2)点D 在劣弧AC 的什么位置时，才能使AD ２

=D Ｅ·DF ，为什么？

4.如图(1)，AD 是△ABC 的高，ＡE 是△ABC 的外接圆直径,则有结论：AB · AC ＝AE · A Ｄ成立，请证明．如果把图(1)中的∠ABC 变为钝角,其它条件不变，如图(2），则上述结论是否仍然成立？

5．如图,AD 是△A ＢＣ的角平分线，延长AD 交△A ＢC 的外接圆O 于点E ，过点C 、D 、E 三点的⊙O 1与AC 的延长线交于点F ，连结E Ｆ、DF ．

(１)求证:△A ＥF ∽△F ＥD ; （2)若AD =8,DE ＝４，求EF 的长. ６．如图，ＰC 与⊙O 交于B ,点A 在⊙O 上，且∠PCA =∠B ＡＰ.

(1）求证:P A 是⊙O 的切线. (2)△ＡＢP 和△CAP 相似吗?为什么？ (3）若ＰB :BC =2:3，且P Ｃ=20,求ＰA 的长.

D

C

B

A

O

E

7.已知：如图, AD 是⊙O 的弦，ＯB ⊥A Ｄ于点Ｅ，交⊙O 于点C ，ＯE =1,BE =8，A Ｅ:A Ｂ=1:３． (１）求证:ＡB 是⊙O 的切线;

(2)点F 是A ＣD 上的一点,当∠AOF =2∠Ｂ时,求AF 的长．

８.如图,⊿AB Ｃ内接于⊙O ，且BC 是⊙O 的直径,AD ⊥B Ｃ于D ，Ｆ是弧ＢC 中点,且AF 交BC 于E ,A Ｂ=6,AC ＝8，求CD ,DE ，及EF 的长.

9． 已知：如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,4AC =,43BC =，以AC 为直径的O 交AB 于点D ,点E 是BC 的中点,连结OD ，OB 、DE 交于点Ｆ．

A

C

P

E

D H F

O

(1)求证:DE是O的切线；(2）求EF:FD的值.

A

B C

D

E

F

O

1０.如图，A是以BC为直径的O上一点,AD BC

⊥于点D,过点B作O的切线,与CA的延长线相交于点E G

，是AD的中点,连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P．

(1)求证:BF EF

=；(2)求证：PA是O的切线;

(３)若FG BF

=，且O的半径长为32,求BD和FG的长度．

第三部分课后作业

1．已知⊙O的半径为35厘米,⊙O'的半径为5厘米.⊙O与⊙O'相交于点Ｄ、Ｅ.若两圆的公共弦DＥ的长是6厘米（圆心O、O'在公共弦DＥ的两侧),则两圆的圆心距ＯO'的长为（）

(A）２厘米（Ｂ）1０厘米（C）２厘米或１０厘米(D)4厘米

2．如图，两个等圆⊙O和⊙O'的两条切线OA、OＢ,Ａ、B是切点,则∠ＡOＢ等于（) （A）

30(B)

45（C）

60(D）

90

3.如图，在△ＡＢC中，∠ＢAC=

90,AB=AC=2，以AB为直径的圆交ＢＣ于Ｄ,则图中阴影部分的面积为（）

（A)1 (Ｂ)2 （C）1＋

4

π

(D）2－

4

π

4.已知圆的内接正六边形的周长为１8，那么圆的面积为( )

(A）18π (Ｂ）９π（C)６π（D)3π

5、如图△ABＣ是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截 AB被截成三等分则图中阴影部分的面积是△ABC的

面积的 ( ）

６．已知，如图，以△AＢC的边AＢ作直径的⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦ＦG∥AＢ，S△CＤE︰S△ABC=１︰

O

D

G

C

A

E

F

B