几何代数结合综合题

几何与代数相结合的综合问题【考点透视】几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题.就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高.编制这样的综合题，不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查学生对数学知识迁移整合能力；考查学生学会将大题分解为小题，逐个击破的能力；考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高一级学校选拔人才.[典型例题]例1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=31，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长.（2003年江苏省连云港市中考试题）分析：（1）由一元二次方程根的判别式得△=(2k-3)2+4>0即可.（2）由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边之和.解：（1）证明：△=[-（2k+1）] 2-4×1×(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4 ∵无论k取什么实数值，总有(2k-3)2+4>0，即△>0，∴无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在Rt△ABC中，根据勾股定理，得b2+c2=a2，∴（b+c）2-2bc=()231，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3.当k=-2时，b+c=-4+1=-3<0，不符合题意，舍去故k=3，此时b+c=2×3+1=7，故△ABC的周长为7+31.说明：本题一方面考查学生一元二次方程根的判别式、根与系数关系及直角三角形中的勾股定理重要内容；另一方面又考查学生一元二次方程解出的两根是否都符合题意，培养学生严谨解题的习惯.为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，若AD=23，且AE、AB的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两个实数根（1）求⊙O的半径；图13-1 （2）求CD的长.（2003年江苏省宿迁市中考试题）分析：（1）由圆的切割线定理、方程的根与系数关系易求⊙O的半径.（2）由切线长相等，设CD=CB=x 用勾股定理建立关于x 的一元二次方程即可求出CD 的长.解：（1）∵AD 是⊙O 的切线， ∴AD 2=AE ·AB 又AD=23 ∴AE ·AB=12 ∵AE 、AB 的长是方程x 2-8x+k=0的两个实数根 ∴AE ·AB=k ∴k=12，把k=12代入方程x 2-8x+k=0，解是x 1=2，x 2=6，∴⊙O 的半径为2)(21=-AE AB （2）∵CB ⊥AB ，AB 经过圆心O CB 切⊙O 于点B ∴CD=CB 在Rt △ABC 中，设CD=x 则由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2 ∴62+x 2=(23+x)2 解得x=23 ∴CD=23.说明：本题考查了学生的切割线定理、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程及根与系数关系等有关基础知识，并能注意运用方程思想去求线段的长.还可讨论下列两个问题:1、已知：如图13-2，Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AB=5，两直角边AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.（1）求m 的值及AC 、BC 的长（BC>AC ）.（2）在线段BC 的延长线上是否存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD 的长；若不存在，请说明理由.(2003年江苏省镇江市中考试题)2、已知：如图12-3，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥AD 交BD 于E ，交BC 于点F.（1）求证：AD 2=DB DE ⋅21； （2）过点E 作EG ⊥AF 交AB 于点G ， 若线段BE 、DE （BE<DE ）的长是方程x 2-3mx+2m 2=0(m>0)的两个根，且菱形ABCD 的面积为63，求EG 的长.（2003年江苏省无锡市中考试题）例3.如图13-4，直线y=-434+x 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N.（1）求M 、N 两点的坐标；（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，512为半径的圆与直线y=-434+x 相切，求点P 的坐标. （2003年江苏省南京市中考试题）分析：（1）较简单略；（2）因为⊙P 与直线相切，因此点P 到直线MN 的距离等于圆的半径512，从而想到过点P 作MN 的垂线，由于点P 的位置不确定所以想到对P 点的位置进行分类.不妨以点P 在点N 的下方为例，过点P 作PA ⊥MN 于A ，则要求P 点坐标，只要求OP 长，把问题转化为求PN 长，利用△PAN ∽△MON ，使问题得以解决.当点P 在N 点上方时，可以利用三角形全等知点P 到N 的距离与在点N 下方时PN 的长相等，从而求出P 点坐标，不需要再重复上述步骤.当点P 在x 轴上时利用相同的方法可求出P 点的坐标.图13-2图13-3 4+图13-4解：（1）∵当x=0时，y=4，当y=0时，-434+x =0, ∴x=3. ∴M(3,0)，N （0,4） （2）①当P 1点在y 轴上，并且在N 点的下方时，设⊙P 1与直线y=-434+x 相切于点A ，连结P 1A ，则P 1A ⊥MN. ∴∠P 1AN=∠MON=90°. ∵∠P 1NA=∠MNO, ∴△P 1AN ∽△MON. ∴MN N P MO A P 11=.在Rt △OMN 中，OM=3，ON=4 ∴MN=5. 又∵P 1A=512，∴P 1N=4. ∴P 1点坐标是（0，0）. ②当P 2点在x 轴上，并且在M 点的左侧时，同理可得P 2点坐标是（0，0）.③当P 3点在x 轴上，并且在M 点的右侧时，设⊙P 3与直线y=-434+x 相切于点B ，连结P 3B ，则P 3B ⊥MN. ∴OA//P 3B. ∵OA=P 3B ，∴P 3M=OM=3. ∴OP 3=6. ∴P 3点坐标是(6，0). ④当P 4点在y 轴上，并且在点N 上方时，同理可得P 4N=ON=4. ∴OP 4=8. ∴P 4点坐标是 （0，8）.综上，P 点坐标是（0，0），（6，0），（0，8）.说明：本题不仅考查学生函数与方程，相似三角形，同时也考查了数形结合，分类讨论等思想，其中熟练地进行线段长与坐标的互化也是解题的关键.其实本题若能从轨迹的角度去考虑,就可以避免了分类的遗漏,也可以把问题转化为求一次函数的解析式,只需求出一次函数的图象与坐标轴的交点坐标.例4.点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线PA 交双曲线y=x1于点A ，连结OA.（1）如图13-5①，当点P 在x 轴的正方向上运动时，Rt △AOP 的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt △AOP 的面积；若改变，试说明理由.（2）如图13-5②，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，连结BO 交AP 于点C.设△AOP 的面积为S 1，梯形BCPD 的面积为S 2，则S 1与S 2大小关系是S 1 S 2(填“>”或“<”或“=”)（3）如图13-5③，AO 的延长线与双曲线xy 1=的另一个交点为点F ，FH 垂直于x 轴，垂足为点H ，连结AH 、PF ，试证明四边形APFH 的面积为一常数.(2003年江苏省泰州市中考试题)分析：（1）因为△AOP 的面积AP OP ⋅21，又由于OP 、AP 的长与A 点的坐标有关，若A 点坐标为(a ，b)，则OP=a ，AP=b ，所以△AOP 的面积ab 21=，要探求△AOP 的面积大小是否变化，只需考虑ab 是否变化，由于A （a ，b ）在反比例函数图象上，因此ab=1，所以△AOP 的面积不变.（2）由（1）知△AOP 的面积与△BOD 的面积是相等的，观察图形发现梯形BCPD是图13-5①图13-5②图13-5③△BOD 的一部分，因此S 1>S 2.（3）由于双曲线关于原点对称，故A 、F 关于原点对称，所以四边形APFH 是平行四边形.根据平行四边形的性质得四边形APFH 的面积等于△AOP 的面积的4倍，据（1）知△AOP 的面积是常数，所以四边形APFH 的面积为一常数.解：（1）设A 点坐标为（a ，b ），则OP=a ，AP=b∴S △AOP =AP OP ⋅21ab 21= ∵点A （a 、b ）在函数y=x 1的图象上 ∴b=a1， ∴ab=1 ∴S △AOP =.21121=⨯ （2）>（3）∵A 、F 关于O 点对称 ∴OA=OF.∵PA ⊥x 轴，HF ⊥x 轴， ∴PA//HF ， ∴PA=HF ，∴四边形APFH 是平行四边形， ∴4S △AOP =4221=⨯, ∴四边形APFH 的面积为一常数.说明：本题注重从数量关系和几何图形的变化中去研究问题,从“运动”的角度考查学生的探究能力.它不仅考查了反比例函数的图象与性质，同时考查了数形结合的思想方法,通过点的坐标和线段的长度之间的互化实现了数形结合.例5.设一次函数221+=x y 的图象为直线l ，l 与x 轴y 轴分别交于点A 、B.（1）求tan ∠BAO 的值； （2）直线m 经过点P （-3，0），若直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 围成的三角形相似，求直线m 的解析式.(2003年江苏省常州市中考试题)分析：（1）较简单略.（2）首先要画出图形，则l 、m 与x 轴、y 轴围成的三角形分别是△AMP 、△MBN.分两种情况讨论：①当N 在y 轴负半轴上时；已知△AMP ∽△NMB ，则有∠MAP=∠BNM ，这时有Rt △BOA ∽△Rt △PON 得：OA OB ON OP ==21，已知OP=3得ON=6，从而得到N 、P 两点坐标，即可求出直线解析式y=-2x -6.②当N 在y 轴正半轴上同理可得：y=2x+6，当N 在线段内部时，同理求出ON=6出现矛盾，归纳结论得出两条解析式.解：（1）tan 21=∠BAO (2)设直线m 与直线l 相交于点M.与y 轴相交于点N.则直线l 、m 及x 轴围成的三角形△AMP ；直线l 、m 及y 轴围成的三角形为△MBN.①当N 在y 轴负半轴上时，由于∠ABN 及∠BMN 均大于∠MAP ，则要使△AMP ∽△MBN 只能是∠MAP=∠BNM ，图13-6此时有Rt △BOA ∽Rt △PON ，则21==OA OB ON OP ，而OP=3，则ON=6，∴N （0，-6）又P （-3，0） 则直线m 的解析式为y=-2x -6.②当N 在y 轴正半轴上且在OB 延长线上时，∵显然∠APM 及∠MBN 均为钝角，要使△APM ∽△NBM ，则有∠APM=∠MBN ⇔∠MNB=∠MAP ⇔Rt △PON ∽Rt △BOA ，则21==OA OB ON OP .而OP=3，则ON=6，从而N （0，6），则直线m 的解析式为y=2x+6. ③当N 在线段OB 内部时，若要△AMP ∽△NMB ， ⇔∠BAP=∠BNM ⇔∠BAP=∠PNO ⇔Rt △ABO ∽Rt △NPO ⇔2==OB OA OP ON .而OP=3，则ON=6矛盾，即N 不可能在线段OB 内部，综上所述，满足要求的直线m 的解析式应为y=2x+6或y=-2x -6.说明：本题设定问题（1）考查了学生的基础知识，给学习能力较弱的学生建立信心.设定问题（2）首先考查了学生根据题意画出图形的能力；其次考查了学生常用的数学思想，一是数形结合思想，二是分类讨论思想. 例6.如图13-7，已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧）,与y 轴的正半轴交于点C ，以AB 为直径的圆经过点C 及抛物线上的另一点D,∠ABC=60°.(1)求点A 和B 的坐标（用含有字母c 的式子表示）；(2)如果四边形ABCD 的面积为3，求抛物线的解析式； (3)如果当x>1时，y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围.（2003年江苏省盐城市中考试题）分析：（1）已知∠ABC=60°得到含30°的Rt △BOC ，设C （0，C ）解出B 点坐标，再构造含30°的Rt △ABC ，求出A 点坐标.（2）由梯形的有关性质，∠BAC=30°证得上底与腰相等，且S 梯求出C 值.（3）求出抛物线的对称轴、利用图形的直观和函数的增减性求解.解：（1）C （c,0）∴OC=c ，在Rt △BOC 中，∠ABC=60°，∴BO=c cOC3333==连结AC ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠BAC=30° ∴在Rt △AOC 中，AO=c OC 33= ∴A （0,3c ）B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,33c （2）∵圆与抛物线都关于抛物线的对称轴对称 ∴四边形ABCD 是等腰梯形 ∴AB+CD=2OA=23c ∵S四边形ABCD =3， ∴c c ⋅⋅3221=3 ∴c 2=1 ∵c>0 ∴c=1 ∴A(0,3) B(-0,33) 设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+33)将 C （0，1）代入得1=a(-3)(33) ∴a=-1 ∴抛物线的解析式为：y=-(x-3)(x+33)即y=-x 2+332x+1 （3）解法1：∵A （3c ，0），B （-33c ，0）在抛物线上 ∴a ()0)3(32=++c c b c a(-33c)2+b(-33c)+c=0 ∵c>0 ∴3ac+3b+1=0 013331=+-b ac 消去ac 得：b=32 ∴抛物线的对称轴是x=-a b 2=-a 31 ∵当x>1时，y 随x 的增大而减小 ∴-131≤a ∴a 33-≤ 解法2：∵A(0,3c )，B(-33c,0) ∴y=a(x+33c)(x-3c) 将点C(0，c)代入得：c=a ·33c ·(-3c) ∵c>0 ∴c=-a 1 抛物线方程y=a(x-a 33)(x+a 3)即y=ax 2+a x 1332-对称轴方程为x=-a 33 ∵当x>1时，y 随x 的增大而减小 ∴131≤-a∵a<0 ∴33-≤a . 说明：本题既考查学生基本运算能力；又考查学生运用几何图形和函数图象的联系分析问题和解决问题的能力；运用了数学中的数形结合思想及待定系数法.还可研究下面问题：如图13-8，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A(x 1，0)、B （x 2，0）（x 1<0<x 2），与y 轴交于点C(0，-2)，若OB=4OA ，且以AB 为直径的圆过C 点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若D 点在此抛物线上，且AD//CB. ①求D 点的坐标； ②在x 轴下方的抛物线上，是否存在点P 使得△APD 的面积与四边形ACBD 的面积相等？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.（2003年江苏省连云港市中考试题）例7.OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA=10，OC=6.（1）如图13-9①，在OA 上选取一点G ，将△COG 沿CG 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E.求折痕CG 所在直线的解析式.（2）如图13-9②，在OC 上选取一点D ，将△AOD 沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上，记为E ′.①求折痕AD 所在直线的解析式；②再作E ′F//AB ，交AD 于点F.若抛物线y=h x +-2121过点F ，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD 的交点的个数.（3）如图13-9③，一般地，在OC 、OA 上选取适当的点D ′、G ′，使纸片沿D ′ G ′翻折后，点O 落在BC 边上，记为E ″.请你猜想：折痕D ′G ′所在直线与②中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想。