几何代数结合综合题

几何与代数相结合的综合问题

【考点透视】

几何与代数相结合的综合题是初中数学中涵盖广、综合性最强的题型.它可以包含初中阶段所学的代数与几何的若干知识点和各种数学思想方法，还能有机结合探索性、开放性等有关问题；它既突出考查了初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容，如函数、方程、不等式、三角形、四边形、相似形、圆等.

综观全国各地的中考试题，90%左右的压轴题都是几何与代数相结合的综合题.就江苏省十三个大市来说，有十一个大市最后的压轴题都是这样的题型，占分比例都很高.编制这样的综合题，不但考查学生数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查学生对数学知识迁移整合能力；考查学生学会将大题分解为小题，逐个击破的能力；考查学生对几何与代数之间的内在联系，多角度、多层面综合运用数学知识、数学思想方法分析问题和解决问题的能力；还考查学生知识网络化、创新意识和实践能力.

几何与代数综合题在中考试题中还有特别重要的功能，它关系到整个试卷的区分度；有利于高一级学校选拔人才.

[典型例题]

例1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0

（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）当Rt△ABC的斜边长a=31，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个

根时，求△ABC的周长.

（2003年江苏省连云港市中考试题）分析：（1）由一元二次方程根的判别式得△=(2k-3)2+4>0即可.（2）由一元二次方程根与系数关系，再由直角三角形的勾股定理建立关于k的一元二次方程，从而求出三角形的另两边之和.

解：（1）证明：△=[-（2k+1）] 2-4×1×(4k-3)=4k2-12k+13=(2k-3)2+4 ∵无论k取什么实数值，总有(2k-3)2+4>0，即△>0，∴无论k取什么实数值时，该方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c=2k+1，bc=4k-3.又在Rt△ABC中，

根据勾股定理，得b2+c2=a2，∴（b+c）2-2bc=()231，即(2k+1)2-2(4k-3)=31，整理得，得k2-k-6=0，解这个方程，得k=-2或k=3.当k=-2时，b+c=-4+1=-3<0，不符合题意，舍去故

k=3，此时b+c=2×3+1=7，故△ABC的周长为7+31.

说明：本题一方面考查学生一元二次方程根的判别式、根与系数关系及直角三角形中的勾股定理重要内容；另一方面又考查学生一元二次方程解出的两根

是否都符合题意，培养学生严谨解题的习惯.

为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，若AD=23，

且AE、AB的长是关于x的方程x2-8x+k=0的两个实数根

（1）求⊙O的半径；

图13-1 （2）求CD的长.

（2003年江苏省宿迁市中考试题）分析：（1）由圆的切割线定理、方程的根与系数关系易求⊙O的半径.（2）由切线长相

等，设CD=CB=x 用勾股定理建立关于x 的一元二次方程即可求出CD 的长.

解：（1）∵AD 是⊙O 的切线， ∴AD 2=AE ·AB 又AD=23 ∴AE ·AB=12 ∵AE 、AB 的长是方程x 2-8x+k=0的两个实数根 ∴AE ·AB=k ∴k=12，把k=12代入方程x 2-8x+k=0，解是x 1=2，x 2=6，∴⊙O 的半径为2)(21=-AE AB （2）∵CB ⊥AB ，AB 经过圆心O CB 切⊙O 于点B ∴CD=CB 在Rt △ABC 中，设CD=x 则由勾股定理得AB 2+BC 2=AC 2 ∴62+x 2=(23+x)2 解得x=23 ∴CD=23.

说明：本题考查了学生的切割线定理、切线长定理、勾股定理、解一元二次方程及根与系数关系等有关基础知识，并能注意运用方程思想去求线段的长.还可讨论下列两个问题:

1、已知：如图13-2，Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AB=5，两直角边AC 、BC 的长是关于x 的方程x 2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.

（1）求m 的值及AC 、BC 的长（BC>AC ）.

（2）在线段BC 的延长线上是否存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点

的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD 的长；若不存在，请说明理

由.

(2003年江苏省

镇江市中考试题)

2、已知：如图12-3，四边形ABCD 为菱形，AF ⊥AD 交BD 于E ，交BC 于点F.

（1）求证：AD 2=DB DE ⋅21； （2）过点E 作EG ⊥AF 交AB 于点G ， 若线段BE 、DE （BE0)

的两个根，且菱形ABCD 的面积为63，求EG 的长.

（2003年江苏省无锡市中考试题）

例3.如图13-4，直线y=-

434+x 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N.

（1）求M 、N 两点的坐标；

（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，

512为半径的圆与直线y=-434+x 相切，求点P 的坐标. （2003年江苏省南京市中考试题）

分析：（1）较简单略；（2）因为⊙P 与直线相切，因此点P 到直线MN 的距离等于圆的半径5

12，从而想到过点P 作MN 的垂线，由于点P 的位置不确定所以想到对P 点的位置进行分类.不妨以点P 在点N 的下方为例，过点P 作PA ⊥MN 于A ，则要求P 点坐标，只要求OP 长，把问题转化为求PN 长，利用△PAN ∽△MON ，使问题得以解决.当点P 在N 点上方时，可以利用三角形全等知点P 到N 的距离与在点N 下方时PN 的长相等，从而求出P 点坐标，不需要再重复上述步骤.当点P 在x 轴上时利用相同的方法可求出P 点的坐标

.

图13-2

图

13-3 4+图13-4