函数的单调性知识点及题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
★备考知考情
1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．
2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.
一、知识梳理《名师一号》P15
注意：
研究函数单调性必须先求函数的定义域，
函数的单调区间是定义域的子集
单调区间不能并！
知识点一函数的单调性
.
可修编-
1.单调函数的定义
2.单调性、单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.
注意：
1、《名师一号》P16 问题探究问题1
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
.
可修编-
. 可修编-
(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1<x 2，那么 ①1212
()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； 1212
()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；
(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．
2、《名师一号》P16 问题探究 问题2
单调区间的表示注意哪些问题？
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联
结，也不能用“或”联结．
知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法
. 可修编-
《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法
(1) 定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x 1、x 2∈D ，且x 1<x 2；
②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性．
(2) 导数法:
设函数y ＝f (x )在某区间D 可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区
间D 为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，
则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 为增函数；
如果f ′(x )0≤，则f (x )在区间D 为减函数．
（2）单调性的判断方法：
《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
定义法及导数法、图象法、
. 可修编-
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等
(补充)单调性的有关结论
1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，
则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．
2．若f (x )为增(减)函数，
则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0，
则()1f x 为减(增)
(减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，
若f (x )与g (x )的单调性相同，
则其复合函数f[g(x)]为增函数；
若f(x)、g(x)的单调性相反，
则其复合函数f[g(x)]为减函数．
简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
函数单调性的应用
《名师一号》P17 特色专题
(1)求某些函数的值域或最值．
(2)比较函数值或自变量值的大小．
(3)解、证不等式．
.
可修编-
. 可修编-
(4)求参数的取值围或值．
(5)作函数图象．
二、例题分析：
（一)函数单调性的判断与证明
例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1
判断下列说法是否正确
(1)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )
(2)函数f (x )＝1x
在其定义域上是减函数．( ) (3)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域
上是增函数．( )
答案：√ × √
. 可修编-
例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）
(2014·卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是
( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝(x －1)2
C ．y ＝2－x
D ．y ＝log 0.5(x ＋1)
答案：A.
例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）
判断函数f (x )＝ax
x ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
法一：定义法
设－1<x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1
. 可修编-
＝
ax 1x 2＋1－ax 2x 1＋1x 1＋1x 2＋1
＝a x 1－x 2
x 1＋1x 2＋1 ∵－1<x 1<x 2，
∴x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.
∴当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)，
∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，
即f (x 1)>f (x 2)，
∴函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．
法二：导数法
注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：
取值—作差—变形—判号—定论，
. 可修编- 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视
（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1）
求函数y ＝x －|1－x |的单调增区间；
y ＝x －|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，x ≥1，2x －1，x <1.
作出该函数的图象如图所示．
由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2）
. 可修编-
求函数y ＝log 13
(x 2－4x ＋3)的单调区间．
解析:令u ＝x 2－4x ＋3，
原函数可以看作y ＝log 13
u 与u ＝x 2－4x ＋3的复合函数．
令u ＝x 2－4x ＋3>0.则x <1或x >3.
∴函数y ＝log 13
(x 2－4x ＋3)的定义域为
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴为x ＝2，且开口向上，
∴u ＝x 2－4x ＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y ＝log 13
u 在(0，＋∞)上是减函数，
∴y ＝log 13
(x 2－4x ＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
. 可修编-
单调递增区间为(－∞，1)．
注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，
即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的
图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．
例2.（2）(补充)2
112
2log 4log ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x x
答案：增区间：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；减区间：10,
4⎛⎫ ⎪⎝⎭
练习:()222log log y x x =-
. 可修编-
答案：增区间：()+∞
；减区间：()
（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小
例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)
已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x
，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
【规解答】 ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x
在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，
∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，
当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0，
即f (x 1)<0，f (x 2)>0.
. 可修编-
例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式 f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )
A ．(2,6)
B ．(－1,4)
C ．(1,4)
D ．(－3,5)
【规解答】作出函数f (x )的图象，
如图所示，则函数f (x )在R 上是
单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，
可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，
即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，
所以不等式的解集为(－1,4)．
注意:本例分段函数的单调区间可以并!
（四）已知单调性求参数的值或取值围
. 可修编-
例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)
已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭
⎩满足对任意的实数
x 1≠x 2，都有1212
()()0-<-f x f x x x 成立，则实数a 的取值围为( )
A ．(－∞，2) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138C ．(－∞，2] D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫138，2
【规解答】函数f (x )是R 上的减函数，
于是有⎩⎨⎧ a －2<0，
a －2×2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1，由此解得a ≤138
，
. 可修编-
即实数a 的取值围是⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，138.
例2.(1) （补充）如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间
(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值围是________．
[答案] [－14
，0] [解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调
递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a
， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a
≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14
≤a ≤0.
例2.(2)（补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值围是( )
A．(－∞，0]B．[－2,2]C．{2} D．[2，＋∞)
[答案] C
[解析]f′(x)＝3x2－6a，
若a≤0，则f′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a 时，f′(x)>0，f(x)单调增，当－2a<x<2a时，f(x)单调减，∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，
∴a＝2.
.
可修编-
. 可修编-
变式：若f (x )＝x 3－6ax 在区间(－2,2)单调递减，
则a 的取值围是？
[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)
和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．
本例亦可用x ＝±2是方程f ′(x )＝3x 2－6a ＝0的两根
解得a ＝2.
例2.(3) （补充） 若函数)2,3()(log )(32
1---=在ax x x f 上单调递减， 则实数a 的取值围是 （ ）
A ．[9，12]
B ．[4，12]
C ．[4，27]
D ．[9，27]
. 可修编-
答案：A
温故知新P23 第9题
若函数()()
2
12log 3=-+f x x ax a 在区间 [)2,+∞上单调递减，则实数a 的取值围是
《计时双基练》P217 基础7
《计时双基练》P217 基础8、10
8、设函数()12+=
+ax f x x a 在区间()2,-+∞上是增函数, 那么a 的取值围是
答案:[
)1,+∞ 10、设函数()()=
≠-x f x x a x a
（2）若0>a 且()f x 在区间()1,+∞单调递减,
求a 的取值围.
答案:[
)1,+∞
. 可修编- （五）抽象函数的单调性
例1.（补充）已知f (x )为R 上的减函数，那么满足
f (|1x
|)<f (1)的实数x 的取值围是( ) A ．(－1,1) B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：C
解析：因为f (x )为减函数，f (|1x |)<f (1)，所以|1x
|>1，则|x |<1且x ≠0，即x ∈(－1,0)∪(0,1)．
. 可修编-
练习：()y f x =是定义在[]1,1-上的增函数，
解不等式2(1)(1)f x f x -<-
答案：()0,1
温故知新 P12 第8题
注意：
解抽象函数的不等式通常立足单调性定义
或借助图像求解
例2. 《计时双基练》P216 培优4
函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切0,0>>x y 都有()()()=-x f f x f y y ，当1>x 时，有()0>f x 。

（1） 求(1)f 的值；
（2） 判断()f x 的单调性并加以证明；
（3） 若(4)2=f ，求()f x 在[]
1,16上的值域.
. 可修编-
答案:单调增;[]
0,4
注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义
练习: 《计时双基练》P218 培优4
函数()f x 的定义域为()0,+∞，且对一切,∈x y R
都有()()()+=+f x f y f x y ，当0>x 时，有()2()0,13
<=-f x f . (1)求证:()f x 在R 上是减函数；
(2)求()f x 在[]3,3-上的最大值与最小值.
答案:2;2-
课后作业
一、 计时双基练P217 基础1-10
课本P16-17变式思考1、2；
. 可修编-
二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4
课本P18对应训练1、2、3
预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
补充：
练习1：
函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x ＋3a ， x <0a x ， x ≥0(a >0且a ≠1) 是R 上的减函数，则a 的取值围是( )
A ．(0,1)
B ．[13，1)
C ．(0，13]
D ．(0，23
]
分析：f (x )在R 上为减函数，故f (x )＝a x (x ≥0)为减函数，
可知0<a <1，又由f (x )在R 上为减函数可知，f (x )在x <0时
的值恒大于f (x )在x ≥0时的值，从而3a ≥1.
解析：∵f (x )在R 上单调递减，
. 可修编- ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，3a ≥1.
∴13≤a <1. 答案：B
练习2：
已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a x －4a x <1log a x
x ≥1是(－∞，＋∞)
上的增函数，那么a 的取值围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，3)
C ．[35
，3) D ．(1,3)
[答案] D
[解析] 解法1：由f (x )在R 上是增函数，∴f (x )在[1，
＋∞)上单增，由对数函数单调性知a >1 ①，又由f (x )在(－
∞，1)上单增，∴3－a >0，∴a <3 ②，又由于f (x )在R 上
. 可修编-
是增函数，为了满足单调区间的定义，f (x )在(－∞，1]上
的最大值3－5a 要小于等于f (x )在[1，＋∞)上的最小值0，
才能保证单调区间的要求，∴3－5a ≤0，即a ≥35
③，由①②③可得1<a <3.
解法2：令a 分别等于35
、0、1，即可排除A 、B 、C ，故选D.
[点评] f (x )在R 上是增函数，a 的取值不仅要保证f (x )
在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x 1<1，
x 2≥1时，有f (x 1)<f (x 2)．
练习3：
若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k
－1，k ＋1)不是．．
单调函数，则实数k 的取值围是( )
A ．[1，＋∞)
B ．[1，32
)
.
可修编- C ．[1,2) D ．[32，2)
[答案] B
[解析] 因为f (x )定义域为(0，＋
∞)，f ′(x )＝4x －1x ，由f ′(x )＝0，得x ＝12.
据题意，⎩⎪⎨⎪⎧
k －1<12<k ＋1
k －1≥0，
解得1≤k <32，选B.
练习4:
已知函数322312y x ax x =++
. 可修编-
(1) 若函数在R 上是单调增函数，则a 的取值围是.
解析:若函数在R 上是单调增函数
{}()0R x f x '⇔=≥
因为26612y x ax '=++开口方向向上，
所以0,∆≤即()
236420,a -⨯≤即
a -≤≤时条件成立；
（2）已知函数32
2312y x ax x =++，若函数的单调递
减区间是()1,2，则a 的值是.
解析:若函数的单调递减区间是 ()1,2{}(1,2)()0x f x '⇔=<
26612y x ax '=++
所以1,2是方程266120x ax ++=的两个实数根,由韦达
定理，12,3a a +=-∴=-
(3)若函数在[2,)+∞上是单调增函数，则a 的取值围是.
.
可修编-
解析:若函数在[2,)+∞上是单调增函数
[){}2,()0x f x '⇔+∞⊆≥
分类讨论：
① 当,0≤∆即()236420,a -⨯≤即
a -≤≤条件成立；
②
当02423
(2)0a a a a a f ∆>⎧⎧><-⎪⎪⎪-<⇔>-⎨⎨⎪⎪
≥-⎩'≥⎪⎩，
即 3a -≤<-a >
综上，3a ≥-条件成立，3-≥a 为所求.。