指数函数经典例题(问题详解)

指数函数

1．指数函数の定义：

函数)1

(≠

>

=a

a

a

y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质：

在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y=

x

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2

1

，y=x

10，y=

x

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

10

1

の图象.

我们观察y=x2，y=

x

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2

1

，y=x

10，y=

x

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

10

1

图象特征，就可以得到

)1

(≠

>

=a

a

a

y x且の图象和性质。

a>1 0

图

象

00

性质(1)定义域：R

（2）值域：（0，+∞）

（3）过点（0，1），即x=0时，y=1

（4）在 R上是增函数（4）在R上是减函数

指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨．

1．比较大小

例1 已知函数2

()

f x x bx c

=-+满足(1)(1)

f x f x

+=-，且(0)3

f=，则()x

f b与

()x f c の大小关系是_____．

分析：先求b c ，の值再比较大小，要注意x x b c ，の取值是否在同一单调区间内．

解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x の对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =．

∴函数()f x 在(]1-，

∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥．

评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中

间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式

例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x の取值范围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，

∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，

∴31x x >-，解得1

4x >．∴x の取值范围是14

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

，

∞． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の指数式，并判断底数与1の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题

例3 求函数y =の定义域和值域． 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，

∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x の定义域是(]2-，

∞．

令26x t -=，则y =，

又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．

∴函数の值域是[)01，

． 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响．

4．最值问题

例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a の值是_______．

分析：令x t a =可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后t の取值范围．

解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为

1t =-．

∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，

∴1

x a a a ≤≤，即1t a a

≤≤． ∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；

当01a <<时，∵[]11x ∈-，，

∴1

x a a a ≤≤，即1a t a

≤≤，

∴ 1

t a =时，2

max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭

， 解得13a =或15a =-（舍去），∴a の值是3或13

．

评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程

例5 解方程223380x x +--=．

解：原方程可化为29(3)80390x x ⨯-⨯-=，令3(0)x t t =>，上述方程可化为

298090t t --=，解得9t =或1

9

t =-（舍去）

，∴39x =，∴2x =，经检验原方程の解是2x =．

评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题

例6 为了得到函数935x y =⨯+の图象，可以把函数3x y =の图象（ ）． A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度