第十三章 函数列与函数项级数
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数项级数 un(x)定义在数集D上, Mn为收敛的正项 级数, 若对一切xD有
un ( x) Mn , n 1, 2,
则函数项级数 un(x)在D上一致收敛.
,
(13)
定理13.5也称为M判别法或优级数判别法. 优级数(majorant series)
第 §1 一致收敛性 十 三 接下来讨论形如 un ( x)vn ( x) 函数项级数一致收敛 章 判别法. 函 数 列 与 函 数 项 级 数
第 §1 一致收敛性 十 三 例3 讨论函数列 章 函 数 列 与 函 在0, 1上的一致收敛性. 数 项 级 数
1 2 0 x , 2 n x, 2n 1 1 2 f n ( x ) 2 n 2 n x, x , n 1, 2, 2n n 1 x 1, 0, n
n a
b
(3)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 例1 讨论由函数 函 数 列 与 函 数 项 级 数
1 0 x , 2n n x, 2n 1 1 f n ( x) 2 n 2n n x, x , n 1, 2, 2n n 1 x 1, 0, n
n
或
fn ( x) f ( x) (n ), x D.
使函数列 f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列
fn的收敛域.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
函数列极限的 N定义: 对每一固定的xD, 任给 正数, 恒存在正数N, 使得当nN时, 总有
是一列定义在同一数集E上的函数, 称为定义在E上 的函数列. 函数列(1)也简记作: fn或 fn, n 1, 2, .
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设x0E, 若数列
f1( x0 ), f 2 ( x0 ),, f n ( x0 ),
(2)
收敛, 则称函数列(1)在点x0收敛, x0称为函数列(1) 的收敛点. 若数列(2)发散, 则称函数列(1)在点x0发散. 若函数列(1)在数集DE上每一点都收敛, 则称(1)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.10(可积性) 若函数列 fn在[a, b]上一致收敛,
且每一项都连续, 则其极限函数 f 在[a, b]上可积, 且
函 数 列 与 函 数 项 级 数
b
a n
lim f n ( x)dx lim f n ( x)dx.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
第 §1 一致收敛性 十 三 例6 讨论函数项级数 章 (1)n ( x n)n 函 数 列 例7 若数列an单调且收敛于0, 则函数项级数 与 an cosnx 函 在 , 上一致收敛. 数 项 级 数
nn1 在[0, 1]上的一致收敛性.
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的 函 数 列 与 函 数 项 级 数
u1 ( x) u2 ( x) un ( x) , x E
(9)
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设x0E, 若数项级数
u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
(11)
收敛, 则称级数(9)在x0收敛, x0称为级数(9)的收敛点.
连续性, 可积性与可微性. 要求较好地掌握这些结
果, 对这些结果的证明有初步的了解, 对熟练地应 用这些结果解决与之有关的问题, 例如: 极限函数 与和函数的积分与微分的运算等.
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.8 设函数列{ f }在a, x x , b上一致收敛
, (8)
第 §1 一致收敛性 十 三 二 函数项级数及其一致收敛性 章 设un(x)是定义在数集E上的一个函数列, 表达式
函 称为定义在E上的函数项级数, 简记为 un ( x ) 或un(x). 数 n 1 列 称 n 与 Sn ( x ) uk ( x ), x E , n 1,2, (10) 函 k 1 数 为函数项级数(9)的部分和函数列. 项 级 数
,
构成的函数项级数在[0, 1]上的一致收敛性以及 其极限函数的积分.
第 十 三 章 §1 一 致 收 敛 函 数 列 与 函 数 项 级 数 性
一 函数列及其一致收敛性
二 函数项级数及其一致收敛性 三 函数项级数的一致收敛判别法
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
一 函数列及其一致收敛性
定义 设
f1 , f 2 , , fn ,
(1)
或称un(x)在D上一致收敛.
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.3(一致收敛的柯西准则) 函数项级数 un(x) 章 在数集 D上一致收敛的充要条件为: 对任给正数, 总 函 数 整数 p, 都有 Sn p ( x ) Sn ( x ) 列 与 或 函 un 1 ( x ) un 2 ( x ) un p ( x ) . 数 项 级 数
Rn ( x) S ( x) Sn ( x)
为函数项级数un(x)的余项. 定理13.4 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛 于S(x)的充要条件是
lim sup Rn ( x) lim sup S ( x) Sn ( x) 0.
n xD n xD
第 §1 一致收敛性 十 三 三 函数项级数的一致收敛性判别法 章 定理13.5(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法) 设函 函 数 列 与 函 数 项 级 数
在数集D上收敛.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
对D上每一点x, 都有数列 fn(x)的一个极限值与之
对应, 由这个对应法则所确定的D上的函数, 称为函 数列(1)的极限函数. 若把此极限函数记作 f , 则有
lim f n ( x) f ( x), x D,
S ( x ) lim Sn ( x ), x D
n
或
为级数(9)的和函数.
函数项级数与其对应的部分和函数列具有相同
的收敛性.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
例4 定义在(, )上的函数项级数(几何级数)
1 x x2 xn
(12)
1 xn 的部分和函数为 Sn ( x) . 1 x
当|x|1时,
1 S ( x) lim S n ( x) . n 1 x
当|x|1时, 几何级数(12)是发散的.
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第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
定义2 设Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函 数列. 若Sn(x)在数集D上一致收敛于函数S(x),则 称函数项级数 u n ( x) 在 D 上一致收敛于函数 S ( x),
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 fn 章
在数集D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数, 总
函 存在某正整数N, 使得当n, mN时,对一切xD, 都有 数 f n ( x) f m ( x) . (4) 列 与 定理13.2 函数列 f 在区间D上一致收敛于 f 的 n 函 充要条件是: 数 limsup f n ( x) f ( x) 0. (6) 项 n xD 级 数
fn ( x) f ( x) .
注: N的选取依赖于和x.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
要证明数列 fn(x)的收敛域为D, 需要证明D中每
一点都是收敛点, 而在D外的点处都发散.
例1 设 fn(x) xn, n 1, 2, 为定义在, 上的 函数列, 证明它的收敛域是1, 1, 且有极限函数
n x x0
(2)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.9(连续性) 若函数列 fn在区间I上一致收敛, 函 数 注: 若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函 列 与 数不连续, 则此函数列在区间I上不一致收敛. 函 数 项 级 数
且每一项都连续, 则其极限函数 f 在I上也连续.
定理13.6(阿贝尔(Abel)判别法) 设 (i) un(x)在区间I上一致收敛; (ii) 对于每一个xI, vn(x)是单调的; (iii) vn(x)在I上一致有界, 即对一切xI和正整数n, 存在正数 M, 使得
vn ( x) M ,
则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
定义 设函数列 fn与函数 f 定义在同一数集D上, 若对任何正数, 总存在某正整数N, 使得当nN时,
对一切xD, 都有
fn ( x) f ( x) .
则称函数列 fn在 D上一致收敛于 f , 记作 f ( x) (n ), x D. fn ( x) 注: N的选取仅依赖于, 而与x无关. 函数列收敛与一致收敛之间的关系: 一致收敛必 收敛, 反之不一定成立.
0, | x | 1, f ( x) 1, x 1.
(3)
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
例2 定义在, 上的函数列
sin nx f n ( x) , n 1, 2, n
的收敛域为无限区间, , 极限函数 f (x) 0.
若级数(11)发散, 则称级数(9)在点x0发散.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
若级数 (9) 在 E 的某子集 D 上每点都收敛 , 则称 级数(9)在D上收敛. 若D为级数(9)全体收敛点的 集合, 则称D为级数(9)的收敛域. 称
S ( x) u1( x) u2 ( x) un ( x) , x D,
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.7(狄利克雷(Dirichlet)判别法) 设 章 (i) un(x)的部分和函数列 函 数 列 与 函 数 项 级 数
U n ( x ) uk ( x )
k 1 n
(n 1, 2,
)
在I上一致有界; (ii) 对于每一个xI, vn(x)是单调的; 0 (n ), (iii) 在I上 vn ( x) 则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.
n 0 0
函 数 列 与 函 数 项 级 数
lim f n ( x ) an, 则 lim an 和 lim f ( x ) 于f (x), 且对每个 n, x x x x n
0 0
均存在且相等.
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
存在某正整数 N, 使得当nN时,对一切 xD和一切正
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
推论 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的 必要条件是函数列un(x)在D上一致收敛于0.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设函数项级数un(x)在D上的和函数为S(x), 称
un ( x) Mn , n 1, 2,
则函数项级数 un(x)在D上一致收敛.
,
(13)
定理13.5也称为M判别法或优级数判别法. 优级数(majorant series)
第 §1 一致收敛性 十 三 接下来讨论形如 un ( x)vn ( x) 函数项级数一致收敛 章 判别法. 函 数 列 与 函 数 项 级 数
第 §1 一致收敛性 十 三 例3 讨论函数列 章 函 数 列 与 函 在0, 1上的一致收敛性. 数 项 级 数
1 2 0 x , 2 n x, 2n 1 1 2 f n ( x ) 2 n 2 n x, x , n 1, 2, 2n n 1 x 1, 0, n
n a
b
(3)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 例1 讨论由函数 函 数 列 与 函 数 项 级 数
1 0 x , 2n n x, 2n 1 1 f n ( x) 2 n 2n n x, x , n 1, 2, 2n n 1 x 1, 0, n
n
或
fn ( x) f ( x) (n ), x D.
使函数列 f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列
fn的收敛域.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
函数列极限的 N定义: 对每一固定的xD, 任给 正数, 恒存在正数N, 使得当nN时, 总有
是一列定义在同一数集E上的函数, 称为定义在E上 的函数列. 函数列(1)也简记作: fn或 fn, n 1, 2, .
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设x0E, 若数列
f1( x0 ), f 2 ( x0 ),, f n ( x0 ),
(2)
收敛, 则称函数列(1)在点x0收敛, x0称为函数列(1) 的收敛点. 若数列(2)发散, 则称函数列(1)在点x0发散. 若函数列(1)在数集DE上每一点都收敛, 则称(1)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.10(可积性) 若函数列 fn在[a, b]上一致收敛,
且每一项都连续, 则其极限函数 f 在[a, b]上可积, 且
函 数 列 与 函 数 项 级 数
b
a n
lim f n ( x)dx lim f n ( x)dx.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
级数与多元微积分
Series and Calculous in Several Variables
授课教师：胡鹏彦 授课对象：05本科
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第十三章 函数列与函数项级数
§1 一致收敛性 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质
第 §1 一致收敛性 十 三 例6 讨论函数项级数 章 (1)n ( x n)n 函 数 列 例7 若数列an单调且收敛于0, 则函数项级数 与 an cosnx 函 在 , 上一致收敛. 数 项 级 数
nn1 在[0, 1]上的一致收敛性.
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的 函 数 列 与 函 数 项 级 数
u1 ( x) u2 ( x) un ( x) , x E
(9)
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设x0E, 若数项级数
u1 ( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
(11)
收敛, 则称级数(9)在x0收敛, x0称为级数(9)的收敛点.
连续性, 可积性与可微性. 要求较好地掌握这些结
果, 对这些结果的证明有初步的了解, 对熟练地应 用这些结果解决与之有关的问题, 例如: 极限函数 与和函数的积分与微分的运算等.
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.8 设函数列{ f }在a, x x , b上一致收敛
, (8)
第 §1 一致收敛性 十 三 二 函数项级数及其一致收敛性 章 设un(x)是定义在数集E上的一个函数列, 表达式
函 称为定义在E上的函数项级数, 简记为 un ( x ) 或un(x). 数 n 1 列 称 n 与 Sn ( x ) uk ( x ), x E , n 1,2, (10) 函 k 1 数 为函数项级数(9)的部分和函数列. 项 级 数
,
构成的函数项级数在[0, 1]上的一致收敛性以及 其极限函数的积分.
第 十 三 章 §1 一 致 收 敛 函 数 列 与 函 数 项 级 数 性
一 函数列及其一致收敛性
二 函数项级数及其一致收敛性 三 函数项级数的一致收敛判别法
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
一 函数列及其一致收敛性
定义 设
f1 , f 2 , , fn ,
(1)
或称un(x)在D上一致收敛.
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.3(一致收敛的柯西准则) 函数项级数 un(x) 章 在数集 D上一致收敛的充要条件为: 对任给正数, 总 函 数 整数 p, 都有 Sn p ( x ) Sn ( x ) 列 与 或 函 un 1 ( x ) un 2 ( x ) un p ( x ) . 数 项 级 数
Rn ( x) S ( x) Sn ( x)
为函数项级数un(x)的余项. 定理13.4 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛 于S(x)的充要条件是
lim sup Rn ( x) lim sup S ( x) Sn ( x) 0.
n xD n xD
第 §1 一致收敛性 十 三 三 函数项级数的一致收敛性判别法 章 定理13.5(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法) 设函 函 数 列 与 函 数 项 级 数
在数集D上收敛.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
对D上每一点x, 都有数列 fn(x)的一个极限值与之
对应, 由这个对应法则所确定的D上的函数, 称为函 数列(1)的极限函数. 若把此极限函数记作 f , 则有
lim f n ( x) f ( x), x D,
S ( x ) lim Sn ( x ), x D
n
或
为级数(9)的和函数.
函数项级数与其对应的部分和函数列具有相同
的收敛性.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
例4 定义在(, )上的函数项级数(几何级数)
1 x x2 xn
(12)
1 xn 的部分和函数为 Sn ( x) . 1 x
当|x|1时,
1 S ( x) lim S n ( x) . n 1 x
当|x|1时, 几何级数(12)是发散的.
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第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
定义2 设Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函 数列. 若Sn(x)在数集D上一致收敛于函数S(x),则 称函数项级数 u n ( x) 在 D 上一致收敛于函数 S ( x),
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 fn 章
在数集D上一致收敛的充要条件是: 对任给正数, 总
函 存在某正整数N, 使得当n, mN时,对一切xD, 都有 数 f n ( x) f m ( x) . (4) 列 与 定理13.2 函数列 f 在区间D上一致收敛于 f 的 n 函 充要条件是: 数 limsup f n ( x) f ( x) 0. (6) 项 n xD 级 数
fn ( x) f ( x) .
注: N的选取依赖于和x.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
要证明数列 fn(x)的收敛域为D, 需要证明D中每
一点都是收敛点, 而在D外的点处都发散.
例1 设 fn(x) xn, n 1, 2, 为定义在, 上的 函数列, 证明它的收敛域是1, 1, 且有极限函数
n x x0
(2)
第 §2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 十 三 章 定理13.9(连续性) 若函数列 fn在区间I上一致收敛, 函 数 注: 若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函 列 与 数不连续, 则此函数列在区间I上不一致收敛. 函 数 项 级 数
且每一项都连续, 则其极限函数 f 在I上也连续.
定理13.6(阿贝尔(Abel)判别法) 设 (i) un(x)在区间I上一致收敛; (ii) 对于每一个xI, vn(x)是单调的; (iii) vn(x)在I上一致有界, 即对一切xI和正整数n, 存在正数 M, 使得
vn ( x) M ,
则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
定义 设函数列 fn与函数 f 定义在同一数集D上, 若对任何正数, 总存在某正整数N, 使得当nN时,
对一切xD, 都有
fn ( x) f ( x) .
则称函数列 fn在 D上一致收敛于 f , 记作 f ( x) (n ), x D. fn ( x) 注: N的选取仅依赖于, 而与x无关. 函数列收敛与一致收敛之间的关系: 一致收敛必 收敛, 反之不一定成立.
0, | x | 1, f ( x) 1, x 1.
(3)
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
例2 定义在, 上的函数列
sin nx f n ( x) , n 1, 2, n
的收敛域为无限区间, , 极限函数 f (x) 0.
若级数(11)发散, 则称级数(9)在点x0发散.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
若级数 (9) 在 E 的某子集 D 上每点都收敛 , 则称 级数(9)在D上收敛. 若D为级数(9)全体收敛点的 集合, 则称D为级数(9)的收敛域. 称
S ( x) u1( x) u2 ( x) un ( x) , x D,
第 §1 一致收敛性 十 三 定理13.7(狄利克雷(Dirichlet)判别法) 设 章 (i) un(x)的部分和函数列 函 数 列 与 函 数 项 级 数
U n ( x ) uk ( x )
k 1 n
(n 1, 2,
)
在I上一致有界; (ii) 对于每一个xI, vn(x)是单调的; 0 (n ), (iii) 在I上 vn ( x) 则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.
n 0 0
函 数 列 与 函 数 项 级 数
lim f n ( x ) an, 则 lim an 和 lim f ( x ) 于f (x), 且对每个 n, x x x x n
0 0
均存在且相等.
x x0 n
lim lim f n ( x ) lim lim f n ( x ).
存在某正整数 N, 使得当nN时,对一切 xD和一切正
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
推论 函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的 必要条件是函数列un(x)在D上一致收敛于0.
第 十 三 章 函 数 列 与 函 数 项 级 数
§1 一致收敛性
设函数项级数un(x)在D上的和函数为S(x), 称