RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性

1 12-3-3 电路如图12-3-3所示。若 ω ，问哪些单口 LC 相当于短路？哪些单口相当于开路？
图12-3-3
R 1 1 UC I j U S jQU S j 0 C 0 RC
其中
RI U U (8 32) R S 0 L U L j 0 LI j U S jQU S
(8 33)
(8 34)
ω 0L 1 ρ Q R ω 0 RC R
电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t ) QU m I Sm cos 0t cos( 0t 90 ) QUI S sin(2 0t ) pC (t ) pL (t ) QUI S sin(2 0t )
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相当于虚开路)，任何时刻进入 电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电 容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率
图12－15
U Z ( j ) I 1 R j(L ) | Z ( j ) | ( ) C (12 24)
其中
1 2 | Z ( j ) | R (L ) C 1 L C ) ( ) arctan( R
2
(12 25)
(12 40)
1.谐振条件
1 0 时, Y(j)=G=1/R，电压u(t)和电流i(t) 当 C L 同相，电路发生谐振。因此，RLC并联电路谐振的条件是
0
1
1 LC
(12 41)
式中 ω 0 LC 称为电路的谐振角频率。与RLC串联 电路相同。
2.谐振时的电压和电流
RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小
，电路谐振时的电压为 值。若端口外加电流源 I S
I I S S RI U S Y G (12 42 )
电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页）
GU I I R S R U j I S jQI S j 0 L 0 L j CU j RCI jQI I C 0 0 S S I L
图12－22
解：根据其相量模型[图12-22((b)]写出驱动点导纳
Y ( j ) j C 1 R j L
R L 2 jC 2 2 2 R (L ) R ( L )
图12－22
R L Y ( j ) 2 jC 2 2 2 R (L) R ( L )
其中
(12 43) (12 44) (12 45)
1
R C Q R 0 C R 0 L L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-
20(b)所示。
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 I 。电感电流与电容电流之和为零， 电流相等 I
谐振时的阻抗
( 0 L) 2 1 Z ( j 0 ) R R(1 Q 2 ) Y ( j 0 ) R
当0L>>R 时
( ω 0 L) 2 Z ( jω 0 ) (10 6 10 4 ) 2 10 k R
思考与练习
12-3-l 欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C? 12-3-2 欲提高并联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
图12－19
驱动点导纳为
I Y ( j ) U 1 G j(C ) | Y ( j ) | ( ) L (12 38)
其中
1 2 | Y ( j ) | G (C ) L 1 C L ) ( ) arctan( G
2
(12 39 )
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减
小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量 WC=0.5Cu2 减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，
U L U C QU S QU R
电压谐振。
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
U Sm i (t ) I m cos( 0t ) cos( 0t ) R uL (t ) QU Sm cos( 0t 90 ) uC (t ) uL (t ) QU Sm cos( 0t 90 )
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
0
1 LC

1 10 4 10 8
rad/s 10 6 rad/s
(2)电路的品质因数为
Q
则
0 L
R
100
U L U C QU S 100 10 V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工
程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联
和并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
如图12－17(b)所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起 的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝ 1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
全部被电阻吸收，即pS(t)=pR(t) 。
能量在电感和电容间往复交换(图12－21)，形成了电 压和电流的正弦振荡。其情况和 LC并联电路由初始储能 引起的等幅振荡相同，因此振荡角频率也是 ω 0 串联谐振电路相同。
1 LC
，与
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
感抗或容抗与电阻之比。
(8 35)
Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时
图12－16
从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源 ＝U 。电感电压与电容电压之和为零， U 电压相等，
R S
U 0 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源 即U L C
电压幅度的Q倍，即
2 2 2 W WL WC LI L CUC CR2 I S
(12 48)
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
2 2 2 W WL WC LI L CUC CR2 I S
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(12 48)
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R 增加到2倍，或电容 C 增加到4倍( Q R
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t ) QU Sm I m cos( 0t ) cos( 0t 90 ) QU S I sin(2 0t ) pC (t ) pL (t ) QU S I sin(2 0t )
由于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相当于虚短路)，任何时刻进 入电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和 电容与电压源和电阻之间没有能量交换。电压源发出的功 率全部为电阻吸收，即pS(t)=pR(t)。
C L
增加一倍)时，
总储能增加到4倍，将导致电流IL= IC增加一倍。若电感减
2 小到原值的l/4(Q增加一倍)，总能量 LI L 不变，而谐振时的
电流IL= IC增加一倍。总之，由 R、L和C的改变引起 Q值 变化的倍数与IL= IC变化的倍数相同。
例 12-8 图 12-22(a) 是电感线圈和电容器并联的电路模型。 已知R=1, L=0.1mH, C=0.01F。试求电路的谐振 角频率和谐振时的阻抗。
L 令上式虚部为零 C 2 0 2 R (L)
求得
0
CR 2 1 L LC 1 1 1 2 Q LC 1
1 其中 Q R
L C
是RLC串联电路的品质因数。
当Q >>1时,
ω0
1 LC
代入数值得到
0
1 10 4 10 8
10 8 1 4 rad/s 10 6 rad/s 10
R S
I 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电 即 I L C
流或电阻电流的Q倍，即
I L I C QI S QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47 )
3.谐振时的功率和能量 设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：
u (t ) U m cos( 0t ) RISm cos( 0t ) iL (t ) QI Sm cos( 0t 90 ) iC (t ) QI Sm cos( 0t 90 )
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
f f0
1 2 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等， 其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
1 L 0L 0C C
(12 29)
2. 谐振时的电压和电流
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到 l/4( Q增加一倍)，
2 总能量不变，而电压 UL= UC增 W CU C
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成 数与UL= UC变化的倍数相同。
Q
1 R
L 变化的倍 C
例12-7 电路如图12-18所示。已知 u S (t ) 10 2 cosω tV 求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时, UL和UC为何值。
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
导致
1 X ω 0 L 0 ω 0C
Z ( j 0 ) R
压源，则电路谐振时的电流为
(12 30)
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
U U S I S Z R
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、 电感和电容上的电压分别为
US 2 2 W WL WC CU C LI L L R
2
(12 37 )
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电 感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感 L增加到4倍( Q 1
R L C
2 增加一倍)，则总能量 W LU S / R 2增
(12 26)
1. 谐振条件 当 ω L 1 0 ，即 ω
1 LC
ωC
时，()=0,
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
式中 ω 0＝
1 LC
1 LC
(12 27 )
称为电路的固有谐振角频率。