RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性
电路谐振
X L XC
1 LC 0
1 L C
1 2 LC
f0
8.6
正弦稳态电路的谐振
（三）串联谐振的特点
I
R
1、X L X C
U R
U L
Z Z min R X L X C
2
2
U
L C
R 最小
U C
2、 当电源电压一定时： U I I 0 I max 最大 R
L1
C
RL2
L2
L2 L3
e1、e2、e3
e1 e2 e3
C
为来自3个不同电台（不同频率）的电动势信号；
L2 - C 组成谐振电路 ，选出所需的电台。
8.6
正弦稳态电路的谐振
问题（一）：如果要收听
e1
节目，C 应配多大？
RL2
L2
已知：
L2 250 H、 RL2 20
f1 820 kHz
8.6
正弦稳态电路的谐振
1、 网络的频率特性
概念：网络的频率特性是 研究正弦交流电路 中电压、电流随频 率变化的关系（即 频域分析）。 传递函数：
U T （j ) O U i
U i
网 络
U o
根据网络的频率特性，可将网络分成低通、高通、带通、 带阻、全通网络。
8.6
正弦稳态电路的谐振
正弦稳态电路的谐振
2、串联谐振的阻抗频率特性
Z ，X L , X C
( )
XL R 0 ω0 XC ω
2
0
ω0
ω
2
8.6
正弦稳态电路的谐振
3、电流的频率特性
rlc串联并联谐振电路特点
rlc串联并联谐振电路特点串联并联谐振电路特点及其应用串联谐振电路是由电感、电容和电阻元件组成的。
当电感、电容和电阻元件串联形成的电路中谐振频率与输入信号频率相匹配时，电路会表现出特殊的特点。
首先，串联谐振电路具有频率选择性。
当输入信号频率接近谐振频率时，电路中的电感和电容元件形成回路，实现能量的存储与释放，从而增强了电路的响应。
而在其他频率下，电路中的电感和电容元件起到阻抗的作用，导致电压幅度减小，电路的响应则减弱。
其次，串联谐振电路具有阻抗最小的特点。
在谐振频率时，电感和电容元件的阻抗对消，电路中总的阻抗最小。
这导致电路对输入信号的阻抗较低，使得电路能够吸收更多的能量，从而达到最大的电流和电压响应。
另外，串联谐振电路还具有相位特性。
在电路的谐振频率时，电阻元件的电压与电流处于同相位，而电感元件的电压与电流处于相位滞后90度，电容元件的电压与电流处于相位超前90度。
这种相位特性可以被用来滤波和频率选择的应用。
并联谐振电路与串联谐振电路类似，只是电感和电容元件是并联连接的。
并联谐振电路具有的特点与串联谐振电路类似，但其频率选择性与阻抗最小点的位置相反。
在并联谐振电路中，电路在谐振频率时具有最大的阻抗，而在其他频率下阻抗较低。
串联和并联谐振电路在实际应用中具有广泛的用途。
它们可以作为滤波器、频率选择器和信号调节器使用。
谐振电路也常用于无线传输系统、天线系统、音频放大器以及其他需要特定频率响应的电子设备中。
总之，串联和并联谐振电路具有频率选择性、阻抗最小的特点，并且可以应用于多种电子设备中。
通过合理设计和搭建谐振电路，可以实现各种功能的电路响应。
RLC串联谐振电路及答案
RLC串联谐振电路及答案RLC 串联谐振电路⼀、知识要求：理解RLC 串联电路谐振的含义；理解谐振的条件、谐振⾓频率、频率；理解谐振电路的特点，会画⽮量图。
⼆、知识提要：在RLC 串联电路中，当总电压与总电流同相位时，电路呈阻性的状态称为串联谐振。
（1）、串联谐振的条件：C L C L X X U U ==即（2）、谐振⾓频率与频率：由LC f LC ：C L πωωω21110===谐振频率得（3）、谐振时的相量图：（4）、串联谐振电路的特点：①.电路阻抗最⼩：Z=R②、电路中电流电⼤：I 0=U/R③、总电压与总电流同相位，电路呈阻性④、电阻两端电压等于总电压，电感与电容两端电压相等，相位相反，且为总电压的Q 倍，。
即：U L =U C =I 0X L =I 0X C =L X RU =U R X L =QU 式中：Q 叫做电路的品质因数，其值为：CRf R L f R X R X Q C L 00212ππ====＞＞1(由于⼀般串联谐振电路中的R 很⼩，所以Q 值总⼤于1，其数值约为⼏⼗，有的可达⼏百。
所以串联谐振时，电感和电容元件两端可能会产⽣⽐总电压⾼出Q 倍的⾼电压，⼜因为U L =U C ，所以串联谐振⼜叫电压谐振。
)（5）、串联谐振电路的应⽤：适⽤于信号源内阻较低的交流电路。
常被⽤来做选频电路。
三、例题解析：1、在RLC 串联回路中，电源电压为5mV ，试求回路谐振时的频率、谐振时元件L 和C 上的电压以及回路的品质因数。
解：RLC 串联回路的谐振频率为UcLC f π210=谐振回路的品质因数为RL f Q 02π= 谐振时元件L 和C 上的电压为mV 5mV 5C L CL R Q U U === 2、在RLC 串联电路中，已知L ＝100mH ，R ＝3.4Ω，电路在输⼊信号频率为400Hz 时发⽣谐振，求电容C 的电容量和回路的品质因数。
解：电容C 的电容量为F 58.14.6310141)2(120µπ≈==L f C 回路的品质因数为744.31.040028.620≈??==R L f Q π3、已知某收⾳机输⼊回路的电感L=260µH,当电容调到100PF 时发⽣串联谐振，求电路的谐振频率，若要收听频率为640KHz 的电台⼴播，电容C 应为多⼤。
RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性
具有电感、电容和电阻元件旳单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同旳情况时，称电路发生谐振。能发生谐振旳 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工 程中得到广泛应用。本节讨论最基本旳RLC串联和 并联谐振电路谐振时旳特征。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表达RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 旳相量模型，由此求出驱动点阻抗为
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 电流相等 IR IS 。电感电流与电容电流之和为零， 即 IL IC 0 。电感电流或电容电流旳幅度为电流源电 流或电阻电流旳Q倍，即
I L IC QIS QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47)
3.谐振时旳功率和能量
IL= IC增长一倍。总之，由 R、L和C旳变化引起 Q值变化
旳倍数与IL= IC变化旳倍数相同。
例12-8 图12-22(a)是电感线圈和电容器并联旳电路模型。 已知R=1, L=0.1mH, C=0.01F。试求电路旳谐振 角频率友好振时旳阻抗。
图12－22
解：根据其相量模型[图12-22((b)]写出驱动点导纳
(12 42)
电路谐振时电压到达最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页）
IR GU IS
IL
1 U
j0 L
j
R
0L
IS
jQIS
IC j0CU j0 RCIS jQIS
(12 43) (12 44) (12 45)
其中
Q
R
0L
R 0 C
R
C L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路旳品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时旳相量图如图1220(b)所示。
实验7RLC串`并联谐振电路
6
3．确定通频带宽度△f、并计算Q值:
Q
f0 f
4．由公式: 计算Q值，并与上述两个Q值进 行比较。
表1 RLC串联电路
L =0.1H（ r0 = ） C = 0.5 μf R = 100 保持Vab=5伏
100 200 300
f (HZ) U( 伏 )
× 500 700 1000
Q 0L
谐振时: IL =
R
IC =
9
R2 (L CR 2 3CL2 )2
Z并
(CR)2 ( 2 LC 1)2
tg 1 L C(R 2 2 L2 )
R
谐振频率:
1 LC
(R)2 L
0
1
1 Q2
式中ω 为串联谐振的角频率
0
5
[实验内容与步骤]
1.测定串联电路的谐振曲线
（1）按图接好电路, 根据R、L和C的数据, 大致估计 电路谐振频率f 0 , 然后, 调节信号源的频率, 按表1进 行测试, 当R两端的电压降最大时, 处于谐振状态, 在 谐振频率附近可多测几次, 以能正确确定谐振频率。 按测试值作出谐振曲线。
f ( Hz) 700 800 900 950 x
1050 1100 1200 1300
U(R)
I
7
2.测定并联电路谐振曲线
只要找到主回路电流最小 时的对应频率, 就是改变信 号源频率, 测出Rs上的压降 最小时的频率, 即为并联电 路的谐振频率。
8
表2 RLC并联电路
RLC电路谐振
8
6
R=100 Ω R=200 Ω
4
2
f(Hz) 0 1500 2000 2500 3000
图1 RLC串联谐振曲线
思考题
1、为什么串联谐振称为电压谐振？为什么并 联谐振称为电流谐振？ 2、求Q值时选取的两个频率f1、f2是否对称 于f0？在什么条件下接近于对称？应用公式 （5-73）时是否要求对称？
大学物理实验
RLC谐振（串联） 实验
深圳大学物理实验中心
一、实验目的
力学实验中，有简谐振动，同样，在电学实验中，由正 弦波电源与电感、电容和电阻组成的串联电路，也会产生 类似现象。当正弦波电源输出频率达到某一频率时，电路 的电流达到最大值，即产生谐振现象。 研究交流电路的谐振现象，认识RLC电路的谐振特性； 学习测绘RLC电路串联谐振曲线的方法.
(或 f0
2 LC
)
1
f0称为RLC电路的固有谐振频率，它只与电路的参数有 关，与信号源无关。由此得到使电路发生谐振的方法有: ①调整信号源的频率，使之等于电路的固有频率； ②信号源的频率不变时，可以改变电路中L或C的大小， 使电路的固有频率等于信号源的频率。
二、实验原理
RLC串联谐振有如下特征: ①谐振时,回路总阻抗为一纯电阻,且取极小值; ②在保持信号源输出电压恒定的条件下,谐振时,电 流有极大值.
二、实验原理
（一）串联谐振
C
L U
R
~ RLC串联电路如图一所示，设信号源输出电压的频 率为 ，则回路中的电流有效值I和信号源的电压有效 值之间的关系为： U U I Z 1 2 （1） 2
(R r ) (L ) L C
I
rL 式中Z为总阻抗， 为电感上直流电阻。电压与电 1 流的位相差为： L （2 ） C ) tg 1 (
电工技术：并联电路的谐振
BL BC
f f0
1 2 LC
一、并联谐振的条件
2.RL串联再与C并联电路的谐振
Y
+ i
u －
i1 R L iC C
1 jC R jL R L 2 j (C 2 ) 2 2 R (L) R （L)
电路发生谐振时，电压与电流同相，复数导纳的虚部为零。得谐振 条件：
并联电路的谐振
一、并联谐振的条件
1.RLC并联电路的谐振
并联谐振时，电路的复数导纳虚部为零。
Y G j ( BC BL )
BL BC
电路发生谐振时，电感支路电流与电容支路电流大小相 等，方向相反，总电压与总电流同相位，电路呈阻性。
U U IL , IC XL XC
求得谐振条件和谐振频率：
L C 2 R (L) 2
R R Y0 2 2 R (0 L) (0 L)2
一、并联谐振的条件
+ i
u －
i1 R L iC C
谐振角频率
1 R2 1 C 0 2 1 R2 LC L L LC
谐振频率
R很小
0
1 LC
1 1 R2 1 CR 2 f0 2 1 2 LC L 2 LC L
2 2
P I L0 R I L0
L
2 1.59 106 100 106 10 10 3 2 1mW Q 100
当 Q 远大于 1时， 电感支路电流和电容支路电流比总电流大很多，因此并联谐振也称为电流谐振。
三、习题讲解
例题 如图所示电路，已知L=100μ H，C=100pF，电路品质因数为100，电源电压U =10V，若电路
实验八 RLC串联电路的谐振实验
C1L ω=ωfC21πC1ωLC21πLC1LC实验八 R 、L 、C 串联电路的谐振实验一、实验目的1、研究交流串联电路发生谐振现象的条件。
2、研究交流串联电路发生谐振时电路的特征。
3、研究串联电路参数对谐振特性的影响。
二、实验原理1、R L C 串联电压谐振在具有电阻、 电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与电路中的电流一般是不同相的。
如果我们调节电路中电感和电容元件的参数或改变电源的频率就能够使得电路中的电流和电压出现了同相的情况。
电路的这种情况即电路的这种状态称为谐振。
R 、L 、C 串联谐振又称为电压谐振。
在由线性电阻R 、电感L 、电容c 组成的串联电路中，如图8-1所示。
图8-1 R L C 串联电路图当感抗和容抗相等时，电路的电抗等于零即 X L = X C ； ； 2πf L= X = L － = 0 则 = arc tg = 0即电源电压u 与电路中电流i 同相，由于是在串联电路中出现的谐振故称为串联谐振。
谐振频率用f 0表示为f = f 0 =谐振时的角频率用表示为==谐振时的周期用T 0表示为 T = T 0 = 2串联电路的谐振角频率ω 0频率f 0，周期T 0，完全是由电路本身的有关参数来决定的，它们是电路本身的固有性质，而且每一个R 、L 、C 串联电路，只有一个对应的谐振频f()2C L 2X X R -+RU UUU 0和周期T 0。
因而，对R 、L 、C 串联电路来说只有将外施电压的频率与电路的谐振频率相等时候，电路才会发生谐振。
在实际应用中，往往采用两种方法使电路发生谐振。
一种是当外施电压频率f 固定时，改变电路电感L 或电容C参数的方法，使电路满足谐振条件。
另一种是当电路电感L 或电容C 参数固定时，可用改变外施电压频率f 的方法，使电路在其谐振频率下达到谐振。
总之，在R 、L 、C 串联电路中，f 、L 、C三个量，无论改变哪一个量都可以达到谐振条件，使电路发生谐振。
电路中的谐振
类似地，将并联谐振中I1或IC与I0的比值称为品质因数Q，即
Q I1 IC 0L 1 1 L I0 I0 R 0CR R C
（4）
第 12 页
电 路 中 的 谐 振
并 联 谐 振
1.1
RLC
第 13 页
例2-11
将一个R＝15Ω、L＝0.23mH的电感线圈与一个C＝100pF的电
容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振时的等效阻抗。
，其值最小，电路呈电阻
性。由于此时电源电压与电路中的电流同相，因此，电源供给电路的能量全
部被电阻所消耗，电源与电路之间不发生能量互换，能量互换只发生在电感
线圈与电容器之间。
②在电源电压U不变的情况下， 电路中的电流在谐振时将达到最大，即
Hale Waihona Puke I0U R③• 由于• XL＝XC，所以，UL＝UC。但
因
U
与
L
下（右）图所示。
电 路 中 的 谐 振
并 联 谐 振
1.1
RLC
由基尔霍夫电流定律的相量表示式可知
•
•
•
I
•
I1
•
IC
R
U
jL
U j 1
C
•
U
R2
R
L2
j
R2
L
L2
C
（1）
••
由于谐振时U与 I 同相，因此，上式中的虚部应为零，即
R2
L
L2
C
0
（2）
第 10 页
电 路 中 的 谐 振
U
C
相位相反，互相抵消，故电
源电压等于电阻电压
•
U
•
UR
RLC交流电路的分析(电路的串并联谐振)
在电力系统中，串联谐振可以用于无功补偿和滤波，提高电力系统的 稳定性和可靠性。
03
RLC交流电路的并联谐振
并联谐振的定义
• 并联谐振是指RLC交流电路在特定频率下，电路的阻抗呈现 最小值，即达到最小电阻状态。此时，电流在电路中最大， 电压则呈现最小值。
并联谐振的条件
• 并联谐振的条件是：XL=XC，其中XL是电感L的感抗，XC是 电容C的容抗。当感抗等于容抗时，电路发生并联谐振。
RLC电路的工作原理
01
02
03
当交流电源施加到RLC电 路时，电流和电压的相 位关系会发生变化，产
生不同的响应特性。
在串联谐振状态下，RLC 电路的总阻抗最小，电 流最大；在并联谐振状 态下，RLC电路的总导纳
最大，电流最小。
通过分析RLC电路在不同 频率下的响应特性，可 以了解其工作原理和特
性。
串并联谐振在实际电路中的应用
滤波器设计
利用串联或并联谐振电路的频率选择性，可以设计出不同频段的 滤波器，用于信号的筛选和处理。
信号放大
利用串联或并联谐振电路的增益特性，可以对特定频率的信号进行 放大，用于信号的增强和处理。
测量技术
利用串联或并联谐振电路的测量技术，可以测量电感、电容等元件 的参数，以及电路的频率特性等。
04
05
1. 搭建RLC交流 电路
2. 设定电源和信 号源
3. 测量并记录数 4. 观察和调整 据
5. 分析数据
根据实验箱提供的组件， 搭建RLC交流电路，包括电 阻、电感和电容。
将电源供应器设定为适当 的电压和频率，使用信号 发生器产生正弦波信号输 入到RLC交流电路中。
使用测量工具测量RLC交流 电路的电流、电压等参数 ，记录数据。
R,L,C串并联谐振电路特性分析及应用
R、L、C串/并联谐振电路的特性分析及应用摘要：本文对RLC串联、RLC并联及RL-C并联三种谐振电路的阻抗Z、谐振频率 、及品质因数Q三种特性进行了分析。
其中品质因数Q是电路在谐振状态下最为重要的电路特性，我们从Q的几种定义出发，着重研究了它对三种最基本的谐振电路的几个重要影响。
同时简单介绍了串/并联谐振电路在生活中的具体应用。
关键词：谐振电路；谐振特性；品质因数目录0 引言： (1)1 RLC串联与RLC并联及RL-C并联电路阻抗及谐振频率 (2)1.1 RLC串联电路的阻抗及谐振频率 (2)1.2 RLC并联电路的阻抗及谐振频率 (2)1.3 RL-C并联电路的阻抗及谐振频率 (3)2 R、L、C串/并联电路的品质因数Q (3)2.1 电路的品质因数Q (3)2.2 谐振电路的品质因数Q的几点重要性 (4)2.2.1 Q对回路中能量交换及能量储存的影响 (4)2.2.2 Q值与谐振电路的选择性 (4)2.2.2.1 Q值与串联谐振电路的选择性 (4)2.2.2.2 Q值与RL-C并联谐振电路的选择性 (6)2.2.2.3 RLC并联谐振回路与RL-C并联谐振回路的品质因数的统一性 (8)3 谐振电路在生活中的应用 (11)0 引言：构成各种复杂电路的基础通常是RLC 串/并联谐振电路，本文就简单介绍了其三种连接方式如图，而了解这些基本电路的频率特性对于理解更复杂的电路甚至实用电路是非常有益的,并且对于深入了解其它重要的相关特性是十分有帮助的。
本文简单阐述了下面三种电路图的Z 、ω及Q 以及一些具体实际的应用。
下面是R 、L 、C 串/并联谐振电路的简图，如图1，图2，图3所示。
•R U•L U＋•U•C U图1,串联谐振电路RLC•U— 图2，并联谐振电路RLC图3,并联谐振电路C RL -1 RLC 串联与RLC 并联及RL-C 并联电路阻抗及谐振频率 1.1 RLC 串联电路的阻抗及谐振频率由图1知RLC 串联电路的复阻抗Z 和阻抗z 分别为()()22111CL R z L L j R C jL j R Z ωωωωωω-+=-+=-+=电路中的I 和z 以及U 之间的关系为：()221CL R U zU I ωω-+==(1)由于谐振时01=-C L ωω，故谐振时的电流 R U I I =00为。
电路中的谐振讲解
1
1
1 (ω0L ω 1 ω0 )2 R ω0 ω0 RC ω
1 (Q ω Q ω0 )2
ω0
ω
I (0 ) I0
0
I( )
I0
1 1 Q2 (η 1 )2
η
I( ) I(0 )
1
0.707
Q=0.5
Q 当不变 I( ) 曲线越尖
IG IS U
IL
电流谐振
IL( 0) =IC( 0) =QIS
Q ω0C 1 1 C G ω0GL G L
二 、电感线圈与电容并联
R
Y
jωC
R
1 jωL
C L
R2
R (ωL)2
j(ωC
R2
ωL (ωL)2
)
G jB
谐振时 B=0，即
ω0C
I( )
0 0
= 0， UL= QU
UC=0
根据数学分析，当 Q 1 / 2 才会出现UC() ，UL() 最大 值。且UC( CM)=UL( LM)。
ωCM ω0
1
1 2Q 2
ω0
2Q 2 ωLM ω0 2Q2 1 ω0
UC (ωCM ) U L (ωLM )
例： 激励 u1(t)，包含两个频率1、2分量 (1<2)： u1(t) =u11(1)+u12(2) 要求响应uo(t)只含有1频率电压。
如何实现？
+
u1(t)
uo(t)
_
(1) +
RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性解析
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到 l/4( Q增加一倍)，
2 总能量不变，而电压 UL= UC增 W CU C
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成 数与UL= UC变化的倍数相同。
Q
1 R
L 变化的倍 C
例12-7 电路如图12-18所示。已知 uS (t ) 10 2 cosωt V 求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时, UL和UC为何值。
如图12－17(b)所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起 的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝
1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
(12 26)
1. 谐振条件 当 ωL 1 0 ，即 ω
1 LC
ωC
时，()=0,
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
式中 ω 0＝
1 LC
1 LC
(12 27)
称为电路的固有谐振角频率。
图12—17串联电路谐振时的能量交换
电感和电容之间互相交换能量，其过程如下:当电流减
小时，电感中磁场能量WL=0.5Li2减小，所放出的能量全部 被电容吸收，并转换为电场能量，如图12-17(a)所示。当电 流增加时，电容电压减小，电容中电场能量 WC=0.5Cu2 减 小，所放出的能量全部被电感吸收，并转换为磁场能量，
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
RLC串联谐振
1Ω
0.1H 1μF
2. 求下图电路的谐振角频率
C2 i C
R
C1
L1
i
L
19
R j(ω C 2 ω L 2 ) R 2 (ω L)2 R (ω L)
G jB
ω0 L 0 谐振时 B=0，即 ω0 C 2 2 R (ω0 L)
求得
ω0
1 ( R )2 LC L
由电路参数决定。
当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：
R 2 (ω0 L) 2 Z (ω0 ) R0 L R RC
C2
ω1
1 串联谐振 L1 (C 2 C 3 )
ω2
1 L1C 2
并联谐振
ω1 ω2
15
阻抗的频率特性： Z ( )=jX( ) X( )
(a)
O
1
2
X( ) (b) O
1
2
16
LC串并联电路的应用： 可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。 例： 激励 u1(t)，包含两个频率1、2分量 (1<2)： u1(t) =u11(1)+u12(2) 要求响应u2(t)只含有1频率电压。 如何实现？ + u1(t) _ 可由下列滤波电路实现： u2(t)
对(b)电路可作类似定性分析。
13
1 定量分析： jω L ( ) 1 L1 jω C2 jω L 2 (a) Z (ω) jω L 3 3 ω L C 1 1 1 2 jω L 1 jω C2 L3 3 ω L1 L3C 2 ω( L1 L3 ) j ω2 L1C 2 1 L1 当Z( )=0，即分子为零，有： 3 ω2 L1 L3 C 2 ω2 ( L1 L3 ) 0
RLC并联谐振的幅频特性曲线和品质因数的研究
RLC并联谐振的谐振曲线和品质因数的研究
摘要：通过对不同阻抗情形下并联谐振频率特性曲线的研究探讨并联谐振的特点以及品质因数受到电阻的影响。
关键词：并联谐振、谐振曲线、品质因数
引言：在实验三中，我们着重研究了RC电路和RL电路的幅频特性以及RLC串联电路的谐振曲线和品质因数，本文就RLC并联谐振的情况下的谐振曲线与品质因数做进一步的探究。
原理：下图所示是电阻R、线圈L和电容器C
并联的电路。
其等效阻抗为：
此时电路呈电阻性，形成并联谐振状态。
此时等效阻抗为Z0=L/RC。
在电源电压一定时，电流将在谐振时达最小值，即I=I0=U/|Z0|
并联谐振频率为：
并联谐振电路的品质因数就是电感线圈（含电阻R）的品质因数，即
实验数据：U=12V;C=3μF;L=1H
1.R=5Ω
2.R=50Ω
3.R=0.5Ω
4.R=500Ω
以lgf为横坐标，以U纵坐标分别作图如下：
数据的分析与讨论：有实验数据会出的图像我们可以明显看出：
● RLC 并联电路达到谐振时支路电流最小接近于零。
● 阻抗越小，曲线越尖锐，电路的选择性越好，即Q 值越大。
结论：实验结果基本与理论一致。
即RLC 并联电路谐振状态下电流值最小且在阻抗越小时越尖锐。
参考文献：《电工学 电工技》、《模拟电子技术基础》。
RLC谐振电路特性分析
实验2 LRC 电路谐振特性的研究【实验简介】在力学实验中介绍过弹簧的简谐振动、阻尼振动和强迫振动，阐述过共振现象的一些实际应用。
同样，在电学实验中，由正弦电源与电感、电容和电阻组成的串联电路，也会产生简谐振动、阻尼振动和强迫振动。
当正弦波电源输出频率达到某一频率时，电路的电流达到最大值，即产生谐振现象。
谐振现象有许多应用，如电子技术中电磁波接收器常常用串联谐振电路作为调谐电路，接收某一频率的电磁波信号，收音机就是其中一例。
利用谐振原理制成的传感器，可用于测量液体密度及飞机油箱内液位高度等。
当然在配电网络中，也要避免因电路谐振现象引起电容器或电感器的击穿。
本实验将一个纯电容、一个空心线圈和一个电阻串联接于一个正弦交流电源中，测量电路的谐振曲线，了解电路品质因素Q 的物理意义，掌握串联谐振电路的特性及测量方法。
同时，对收音机输入回路中的RLC 串联电路特性进行测量和研究，深入了解RLC 串联回路特性及应用。
【实验目的】1.研究和测量LRC 串，并联电路的幅频特性；2.掌握幅频特性的测量方法；3.进一步理解回路Q 值的物理意义。
【实验原理及设计】一．LRC 串联谐振电路1．回路中的电流与频率的关系（幅频特性）RLC 串联谐振电路是在无线电接收设备中用来选择接收信号和在电子技术中用来获取高频高压的一种常用电路。
本实验通过测试RLC 串联电路的谐振曲线，从实践中认识RLC 串联电路的谐振特性。
对于一个如图1所示的RLC 串联电路，当外加交流电压（又称激励电压）U的角频率为ω时，各元件上的复阻抗分别为,R Z R = ,L j Z Lω= Cj c Z ω1= 则整个串联电路的总阻抗为：1(R L CZ Z Z Z R j L Z Cωϕω=++=+-=∠(1)图1 RLC 串联电路图2 串联谐振回路中阻抗随频率变化的曲线上式中，Z 为电路阻抗，22)1(cL R Z ωω-+=。
f曲线f 图3I-ϕ为总电压超前电流的相位差角，RC L arctgωωϕ1-=于是串联电路中的复电流I 为：ϕωωj Ie CL j R U Z U I =-+==1( (2)上式中I 为复电流的幅值22)1(CL R U ZU I ωω-+==(3)ϕ为复电流的相角。
实验八 RLC串联电路的谐振实验
C1L ω=ωfC 21πC1ωLC21πLC1LC实验八 R 、L 、C 串联电路的谐振实验一、实验目的1、研究交流串联电路发生谐振现象的条件。
2、研究交流串联电路发生谐振时电路的特征。
3、研究串联电路参数对谐振特性的影响。
二、实验原理1、R L C 串联电压谐振在具有电阻、 电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与电路中的电流一般是不同相的。
如果我们调节电路中电感和电容元件的参数或改变电源的频率就能够使得电路中的电流和电压出现了同相的情况。
电路的这种情况即电路的这种状态称为谐振。
R 、L 、C 串联谐振又称为电压谐振。
在由线性电阻R 、电感L 、电容c 组成的串联电路中，如图8-1所示。
图8-1 R L C 串联电路图当感抗和容抗相等时，电路的电抗等于零即X L = X C ； ； 2πf L=X = ω L － = 0则 ϕ = arc tg = 0即电源电压u 与电路中电流i 同相，由于是在串联电路中出现的谐振故称为串联谐振。
谐振频率用f 0表示为f = f 0 = 谐振时的角频率用ω 0表示为ω = ω 0 =谐振时的周期用T 0表示为T = T 0 = 2 π 串联电路的谐振角频率ω 0频率f 0，周期T 0，完全是由电路本身的有关参数来决定的，它们是电路本身的固有性质，而且每一个R 、L 、C 串联电路，只有一个对应的谐振频f 0和 周期T 0。
因而，对R 、L 、C 串联电路来说只有将外施电压的频率与电路的谐振频率相等时候，电路才会发生谐振。
在实际应用中，往往采用两种方法使电路发生谐振。
一种是当外施()2CL2X X R -+RU UU U电压频率f 固定时，改变电路电感L 或电容C 参数的方法，使电路满足谐振条件。
另一种是当电路电感L 或电容C 参数固定时，可用改变外施电压频率f 的方法，使电路在其谐振频率下达到谐振。
总之，在R 、L 、C 串联电路中，f 、L 、C 三个量，无论改变哪一个量都可以达到谐振条件，使电路发生谐振。
串并联谐振公式推导
串并联谐振公式推导一、串联谐振公式推导。
（一）RLC串联电路。
1. 电路模型与复阻抗。
- 在RLC串联电路中，电阻R、电感L和电容C串联连接，设电路中的电流为i = Isin(ω t)。
- 根据电感和电容的特性，电感的感抗X_L=ω L，电容的容抗X_C = (1)/(ω C)。
- 电路的复阻抗Z = R + j(X_L - X_C)=R + j(ω L-(1)/(ω C))。
2. 串联谐振条件。
- 串联谐振时，电路的复阻抗Z的虚部为零，即X_L - X_C=ω L-(1)/(ω C)=0。
- 解这个方程可得串联谐振角频率ω_0=(1)/(√(LC))，对应的频率f_0=(1)/(2π√(LC))。
3. 串联谐振特性。
- 在串联谐振时，电路中的电流达到最大值。
因为此时Z = R（复阻抗的虚部为零），根据欧姆定律I=(U)/(Z)，当电源电压U一定时，I=(U)/(R)，电流只受电阻R 的限制。
- 电感和电容上的电压大小相等、方向相反，电感电压U_L =Iω_0L=(U)/(R)ω_0L，电容电压U_C = I(1)/(ω_0C)=(U)/(R)(1)/(ω_0C)，并且U_L =U_C，它们的大小可能会比电源电压U大很多，即Q=(U_L)/(U)=(ω_0L)/(R)=(1)/(ω_0CR)，这里的Q称为品质因数。
二、并联谐振公式推导。
（一）GLC并联电路（这里用导纳分析比较方便，G=(1)/(R)为电导）1. 电路模型与复导纳。
- 在GLC并联电路中，电导G、电感L和电容C并联连接。
设电压u = Usin(ω t)。
- 电感的感纳B_L=(1)/(ω L)，电容的容纳B_C=ω C。
- 电路的复导纳Y = G + j(B_C - B_L)=G + j(ω C-(1)/(ω L))。
2. 并联谐振条件。
- 并联谐振时，复导纳Y的虚部为零，即ω C-(1)/(ω L)=0。
- 解这个方程可得并联谐振角频率ω_0=(1)/(√(LC))，对应的频率f_0=(1)/(2π√(LC))（与串联谐振频率相同）。
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L 令上式虚部为零 C 2 0 2 R (L)
求得
0
CR 2 1 L LC 1 1 1 2 Q LC 1
1 其中 Q R
L C
是RLC串联电路的品质因数。
当Q >>1时,
ω0
1 LC
代入数值得到
0
1 10 4 10 8
10 8 1 4 rad/s 10 6 rad/s 10
U L U C QU S QU R
电压谐振。
(12 36)
若Q>>1,则UL=UC>>US=UR，这种串联电路的谐振称为
3.谐振时的功率和能量
设电压源电压为uS(t)=Usmcos(0t)，则：
U Sm i (t ) I m cos( 0t ) cos( 0t ) R uL (t ) QU Sm cos( 0t 90 ) uC (t ) uL (t ) QU Sm cos( 0t 90 )
感抗或容抗与电阻之比。
(8 35)
Q 称为串联谐振电路的品质因数，其数值等于谐振时
图12－16
从以上各式和相量图可见，谐振时电阻电压与电压源 ＝U 。电感电压与电容电压之和为零， U 电压相等，
R S
U 0 ，且电感电压或电容电压的幅度为电压源 即U L C
电压幅度的Q倍，即
(12 26)
1. 谐振条件 当 ω L 1 0 ，即 ω
1 LC
ωC
时，()=0,
|Z(j)|=R,电压u(t)与电流i(t)相位相同，电路发生谐振。
也就是说，RLC串联电路的谐振条件为
0
式中 ω 0＝
1 LC
1 LC
(12 27 )
称为电路的固有谐振角频率。
图12－15
U Z ( j ) I 1 R j(L ) | Z ( j ) | ( ) C (12 24)
其中
1 2 | Z ( j ) | R (L ) C 1 L C ) ( ) arctan( R
2
(12 25)
如图12－17(b)所示。
能量在电感和电容间的这种往复交换，形成电压和电
流的正弦振荡，这种情况与 LC串联电路由初始储能引起 的等幅振荡相同(见第九章二阶电路分析)。其振荡角频率
ω 0＝ 1 LC
，完全由电路参数L和C来确定。
谐振时电感和电容中总能量保持常量，并等于电感中 的最大磁场能量，或等于电容中的最大电场能量，即
图12－22
解：根据其相量模型[图12-22((b)]写出驱动点导纳
Y ( j ) j C 1 R j L
R L 2 jC 2 2 2 R (L ) R ( L )
图12－22
R L Y ( j ) 2 jC 2 2 2 R (L) R ( L )
电感和电容吸收的瞬时功率分别为：
pL (t ) QU m I Sm cos 0t cos( 0t 90 ) QUI S sin(2 0t ) pC (t ) pL (t ) QUI S sin(2 0t )
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相当于虚开路)，任何时刻进入 电感和电容的总瞬时功率为零，即pL(t)+pC(t)=0。电感和电 容与电流源和电阻之间没有能量交换。电流源发出的功率
2 2 2 W WL WC LI L CUC CR2 I S
(12 48)
谐振时电感和电容的总能量保持常量，即
2 2 2 W WL WC LI L CUC CR2 I S
(12 48)
图12－21 并联电路谐振时的能量交换
由于并联电路的电压相同，即UL=UC=RIS。当电阻R 增加到2倍，或电容 C 增加到4倍( Q R
1 12-3-3 电路如图12-3-3所示。若 ω ，问哪些单口 LC 相当于短路？哪些单口相当于开路？
图12-3-3
RLC并联电路谐振时，导纳Y(j0)=G=1/R，具有最小
，电路谐振时的电压为 值。若端口外加电流源 I S
I I S S RI U S Y G (12 42 )
电路谐振时电压达到最大值，此时电阻、电感和电容 中电流为（见下页）
GU I I R S R U j I S jQI S j 0 L 0 L j CU j RCI jQI I C 0 0 S S I L
R 1 1 UC I j U S jQU S j 0 C 0 RC
其中
RI U U (8 32) R S 0 L U L j 0 LI j U S jQU S
(8 33)
(8 34)
ω 0L 1 ρ Q R ω 0 RC R
图12－19
驱动点导纳为
I Y ( j ) U 1 G j(C ) | Y ( j ) | ( ) L (12 38)
其中
1 2 | Y ( j ) | G (C ) L 1 C L ) ( ) arctan( G
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(12 39 )
其中
(12 43) (12 44) (12 45)
1
R C Q R 0 C R 0 L L
(12 46)
称为RLC并联谐振电路的品质因数，其量值等于谐振 时感纳或容纳与电导之比。电路谐振时的相量图如图12-
20(b)所示。
图12－20
由以上各式和相量图可见，谐振时电阻电流与电流源 I 。电感电流与电容电流之和为零， 电流相等 I
§12－3 谐振电路
含有电感、电容和电阻元件的单口网络，在 某些工作频率上，出现端口电压和电流波形相位 相同的情况时，称电路发生谐振。能发生谐振的 电路，称为谐振电路。谐振电路在电子和通信工
程中得到广泛应用。本节讨论最基本的RLC串联
和并联谐振电路谐振时的特性。
一、RLC串联谐振电路
图12－15(a)表示RLC串联谐振电路，图12－15(b)是它 的相量模型，由此求出驱动点阻抗为
当电路激励信号的频率与谐振频率相同时，电路发生 谐振。用频率表示的谐振条件为
f f0
1 2 LC
(12 28)
RLC串联电路在谐振时的感抗和容抗在量值上相等， 其值称为谐振电路的特性阻抗，用表示，即
1 L 0L 0C C
(12 29)
2. 谐振时的电压和电流
RLC串联电路发生谐振时，阻抗的电抗分量
导致
1 X ω 0 L 0 ω 0C
Z ( j 0 ) R
压源，则电路谐振时的电流为
(12 30)
即阻抗呈现纯电阻，达到最小值。若在端口上外加电
U U S I S Z R
(12 31)
电流达到最大值，且与电压源电压同相。此时电阻、 电感和电容上的电压分别为
图12－18
解：(l)电压源的角频率应为
0
1 LC
1 10 4 10 8
rad/s 10 6 rad/s
(2)电路的品质因数为
Q
则
0 L
R
100
U L U C QU S 100 10 V 1000 V
二、RLC并联谐振电路
图 12-19(a) 所 示 RLC 并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 1219(b)所示。
R S
I 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电 即 I L C
流或电阻电流的Q倍，即
I L I C QI S QI R
并联谐振又称为电流谐振。
(8 47 )
3.谐振时的功率和能量 设电流源电流iS(t)=Ismcos(0t)，则：
u (t ) U m cos( 0t ) RISm cos( 0t ) iL (t ) QI Sm cos( 0t 90 ) iC (t ) QI Sm cos( 0t 90 )
US 2 2 W WL WC CU C LI L L R
2
(12 37 )
可以从能量的角度来说明电路参数 R、L、C变化对电 感和电容电压UL= UC的影响。若电阻 R减小一半，或电感 L增加到4倍( Q 1
R L C
2 增加一倍)，则总能量 W LU S / R 2增
加到4倍，这将造成电压UL=UC增加一倍。若电容 C减少到 l/4( Q增加一倍)，
2 总能量不变，而电压 UL= UC增 W CU C
加一倍。总之， R、L和 C的改变造成 数与UL= UC变化的倍数相同。
Q
1 R
L 变化的倍 C
例12-7 电路如图12-18所示。已知 u S (t ) 10 2 cosω tV 求: (l) 频率为何值时，电路发生谐振。 (2)电路谐振时, UL和UC为何值。
谐振时的阻抗
( 0 L) 2 1 Z ( j 0 ) R R(1 Q 2 ) Y ( j 0 ) R
当0L>>R 时
( ω 0 L) 2 Z ( jω 0 ) (10 6 10 4 ) 2 10 k R
思考与练习
12-3-l 欲提高串联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C? 12-3-2 欲提高并联谐振电路的 Q值，应如何改变 R、L和 C?
电感和电容吸收的功率分别为：
pL (t ) QU Sm I m cos( 0t ) cos( 0t 90 ) QU S I sin(2 0t ) pC (t ) pL (t ) QU S I sin(2 0t )