最新初中数学锐角三角函数的专项训练

∴∠BED＝∠CDF，
设CD＝1，CF＝x，则CA＝CB＝2，
∴DF＝FA＝2﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2＝DF2，
即x2+1＝（2﹣x）2，
解得： ，
．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=
∴AD=CD=
在Rt△ADB中，AD= ，∠ABD=
∴BD= AD= ．
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBD= ．
在Rt△EBD中，BD= ，∠EBD=
∴DE= BD=
∴AE=AD−DE= - =
故选Biblioteka BaiduC
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．
【详解】
解：连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N
设AE=BG=x，则BE=AB－AE=AB－x
∴GN=BG·sinB=x·sinB，EM=BE·sinB=（AB－x）·sinB
∴S阴影=S△GDE＋S△EGF
= DE·GN＋ GF·EM
= DE·（x·sinB）＋ DE·[（AB－x）·sinB]
A． mB． m
C． mD． m
【答案】A
【解析】
设MN=xm，
在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，
∴BN=MN=x，
在Rt△AMN中,tan∠MAN= ，
∴tan30∘= =3√3，
解得：x=8( +1)，
则建筑物MN的高度等于8( +1)m；
故选A.
点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.
（参考数据 ， ， ）
A．65.8米B．71.8米C．73.8米D．119.8米
【答案】B
【解析】
【分析】
过点E作 与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比） 可设 ，则 ，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
14．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设 ，以 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如： ， ．下列角度中余弦值最接近0.94的是（）
A． B． C． D．
∴DE=BD•tan30°=1，
故选：A．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
13．如图，AB是垂直于水平面的建筑物．为测量AB的高度，小红从建筑物底端B点出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处， ．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角 为 （点A，B，C，D，E在同一平面内）．斜坡CD的坡度（或坡比） ，那么建筑物AB的高度约为（）
∵PA是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC = ,
∴PA= tan60°×1= .
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键.
12．如图， 是一张顶角是 的三角形纸片， 现将 折叠，使点B与点A重合，折痕DE，则DE的长为（）
最新初中数学锐角三角函数的专项训练
一、选择题
1．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为45°，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为60°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝AE＝10米．则标识牌CD的高度是( )米．
A．15－5 B．20－10 C．10－5 D．5 －5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正切函数可求小河宽PA的长度．
【详解】
∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，
∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．
故选：C．
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，解题关键在于掌握解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
【答案】C
【解析】
【分析】
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】
如图所示，
过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则
Rt△ACE中，AE= AC= ×54=27（cm），
同理可得，BF=27cm，
又∵点A与B之间的距离为10cm，
∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），
故选C．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
6．如图，点 从点 出发沿 方向运动，点 从点 出发沿 方向运动，同时出发且速度相同， （ 长度不变， 在 上方， 在 左边），当点 到达点 时，点 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）
A．一直减小B．一直不变C．先减小后增大D．先增大后减小
【答案】B
【解析】
【分析】
连接GE，过点E作EM⊥BC于M，过点G作GN⊥AB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=S△GDE＋S△EGF即可求出结论．
设EC=x,则EF= ,
∴
,
故选:A
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键．
10．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（ ）
A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据翻折变换的性质得到 ，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到 ，设 ， ，则 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】
解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A＝∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF＝45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°＝∠BED+45°，
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．
【详解】
解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为 的正三角形．
∴正三角形的边长 ．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为
∴侧面积为 ，∵底面积为 ，
11．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（）
A．2B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值.
【详解】
连接OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
A．1B．2C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质求出BH，根据翻折变换的性质求出BD，根据正切的定义解答即可．
【详解】
解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，AH⊥BC，
BH= BC=3，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=30°，
∴AB= =2 ，
由翻折变换的性质可知，DB=DA= ，
= DE·[x·sinB＋（AB－x）·sinB]
= DE·AB·sinB
∵DE、AB和∠B都为定值
∴S阴影也为定值
故选B．
【点睛】
此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．
7．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（ ）
9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°， 、 、 都是格点，则 （）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案．
【详解】
解:连接DC，交AB于点E．
由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,
【答案】A
【解析】
【分析】
过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，通过解直角三角形可求出BM，AM，CN，DE的长，再结合CD＝CN＋EN−DE即可求出结论．
【详解】
解：过点B作BM⊥EA的延长线于点M，过点B作BN⊥CE于点N，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝10米，∠BAM＝30°，
【详解】
解：过点E作 与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比） ， 米，
∴设 ，则 ．
在 中，
∵ ，即 ，解得 ，
∴ 米， 米，
∴ 米， 米．
∵ ， ， ，
∴四边形EGBM是矩形，
∴ 米， 米．
在 中，
∵ ，
∴ 米，
∴ 米．
故选B．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题意过点C作CF⊥BD与点F可求得△AEB≌△CFD（AAS），得到AE＝CF＝1，EF＝ ，即可求出答案
【详解】
过点C作CF⊥BD与点F．
∵∠BAE＝30°，
∴∠DBC＝30°，
∵BC＝2，
∴CF＝1，BF＝ ，
易证△AEB≌△CFD（AAS）
∴AM＝AB•cos30°＝5 （米），BM＝AB•sin30°＝5（米）．
在Rt△ACD中，AE＝10（米），∠DAE＝60°，
∴DE＝AE•tan60°＝10 （米）．
在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋5 （米），∠CBN＝45°，
∴CN＝BN•tan45°＝10＋5 （米），
∴CD＝CN＋EN−DE＝10＋5 ＋5−10 ＝15−5 （米）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题及解直角三角形−坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．
2．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 的平分线交 于点 ，则 的长为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
∴全面积是 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
5．如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（ ）
∴AE＝CF＝1，
∵∠BAE＝∠DBC＝30°，
∴BE＝ AE＝ ，
∴EF＝BF﹣BE＝ ﹣ ＝ ，
在Rt△CFE中，
tan∠DEC＝ ，
故选C．
【点睛】
此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等
8．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )
3．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()
A．(54 +10)cmB．(54 +10)cmC．64cmD．54cm