误差与理论分析实验报告

误差与理论分析实验报告

实验一 误差的基本性质与处理

一、实验目的

了解误差的基本性质以及处理方法。 二、实验原理 （1）正态分布

设被测量的真值为0L ，一系列测量值为i L ，则测量列中的随机误差i δ为:

i δ=i L -0L (式中i=1，2，…..n)

正态分布的分布密度: ()()

2

2

2f δ

σδ

-=

正态分布的分布函数: ()()2

2

2F e

d δ

δ

σδδ

--∞

=

,式中σ-标准差（或均方根误差）；

它的数学期望为:()0E f d δδδ+∞

-∞

==⎰

它的方差为:()22f d σδδδ+∞

-∞

=⎰

（2）算术平均值

对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。 1、算术平均值的意义

在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。

设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值 121...n

i

n i l l l l x n n

=++=

=∑ 算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。

i v = i l -x

i l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）

2、算术平均值的计算校核

算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。

残余误差代数和为：1

1

n

n

i i i i v l nx ===-∑∑

当x 为未经凑整的准确数时，则有:1

n

i i v ==∑0

1）残余误差代数和应符合：

当1n i i l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1

n

i i v =∑为零；

当1n

i i l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1n

i i v =∑为正；其大小为求x 时的余数。

当1

n

i i l =∑

n

i i v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。

2）残余误差代数和绝对值应符合：

当n 为偶数时，

1n

i i v =∑≤

2

n

A; 当n 为奇数时，

1

n

i i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。 （3）测量的标准差

测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。 1、测量列中单次测量的标准差

σ=

=

式中 n —测量次数（应充分大）

i δ—测得值与被测量值的真值之差

σ=

2、测量列算术平均值的标准差

:x σ=3、 标准差的其他计算法

别捷尔斯法：n

i

v

σ=∑三、实验内容：

1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。

假定该测量列不存在固定的系统误差，则可按下列步骤求测量结果。 1、算术平均值 2、求残余误差

3、校核算术平均值及其残余误差

4、判断系统误差

5、求测量列单次测量的标准差

6、判别粗大误差

7、求算术平均值的标准差

8、求算术平均值的极限误差

9、写出最后测量结果

四、实验总结

运行编制的程序，分析运行结果，并写出实验报告。

L=[24.674,24.675,24.673,24.676,24.671,24.678,24.672,2

4.674];

format short

averageL=mean(L); %计算算术平均值

disp(['数据的平均值 averageL=',num2str(averageL)]);

n=length(L);

for k=1:n

vi(k)=L(k)-averageL; %计算残余误差

end

disp(['残余误差分别是：',num2str(vi)]);

sumvi=sum(vi(k)); %校核算术平均值及其残余误差（可以省略）

if sum(L)==n*averageL

disp('平均值计算正确');

elseif

sum(L)>n*averageL&sumvi>0&sumvi==sum(L)-n*averageL

disp('平均值计算正确');

elseif

sum(L)

disp('平均值计算正确');

else

disp('平均值计算不正确');

end

%判断系统误差（已知无误差，省略）

xgm1=std(L); %求测量列单次测量的标准差

%判别粗大误差

for m=1:n

if abs(vi(m))>=3*xgm1