解三角形知识点及题型总结

基础强化（8）——解三角形

1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b

③.锐角三角形性质：若A>B>C 则6090,060A C ︒≤<︒︒<≤︒ 2

、

三

角

形

中

的

基

本

关

系

：

sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++=== 3、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接

圆的半径，则有2sin sin sin a b c

R C

===A B ．

4、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②化边为角：sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B =2R 5、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）) 6、三角形面积公式：

111sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)

(c b a r ++ 7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

8、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222

cos 2a b c C ab

+-=．

9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角 10、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点 心——三角形三角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 11.仰角与俯角，方向角与方位角

题型一：求解斜三角形中的基本元素

指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．

例1. （1）在ABC ∆中，已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．

（2）在45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．

（3）在60,1,,ABC b B c a A C ∆===中，求和．

（4）在△ABC 中，已知a =b 45B =，求,A C 和c ．

（5）在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大角．

1 .在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A

C

= ．

2.在ΔABC 中，已知6

6

cos ,364==

B AB ，A

C 边上的中线B

D =5，求sin A 的值．

题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．

例2．（1）在ABC ∆中，C b a cos 2=，则此三角形一定是（ ）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形 （2）在ABC ∆中，若B A C sin cos 2sin =，则此三角形必是（ ）

A.等腰三角形

B.正三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

（3）设ABC ∆的角C ,B ,A 的对边分别为c b a ,,，若()cos a b c C =+,则ABC ∆的形状是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形 1、在ABC ∆中，若,2lg sin lg lgcos lgsin =--C B A 则ABC ∆的形状是( )

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．不能确定

D ．等腰三角形 2．在ABC ∆中，若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不确定

题型三：与面积有关问题

例3、已知向量),sin 3,(sin x x m =),cos ,(sin x x n -= 设函数,)(n m x f ⋅= 若函数)(x g 的

图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称． (1)求函数)(x g 在区间]6

,4[π

π-

上的最大值，并求出此时x 的值； (2)在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，A 为锐角，若,2

3)()(=

-A g A f ,7=+c b ABC ∆的面积为,32 求边a 的长．

1.、在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知,3

2

cos =A .cos 5sin C B = (1)求C tan 的值；(2)若,2=a 求ABC ∆的面积.

2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．

（I ）求边AB 的长；

（II ）若ABC △的面积为1sin 6

C ，求角C 的度数．

题型之四：三角形中求值问题

1. 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，

设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和32

1

+=b c ，求A ∠和B tan 的值．

2．在锐角ABC △中，角A

B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin 3

A =，（1）求

2

2tan sin 22

B C A

++的值；

（2）若2a =，ABC S =△，求b 的值。

3．在ABC △中，角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π

=

．