浙教版九年级下册数学 解直角三角形

上章节知识点回顾：

1，证明圆周角定理 2，证明重心定理

3，射影定理（本章节附加内容，证明过程）

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD •=2

⇒

AB AD AC •=2

CD ⊥AB BD BC •=2

解直角三角形（全章复习）

一． 教学目标

(1) 了解三角函数的定义，熟练掌握正弦、余弦、正切的相关计算 (2) 学会运用直角坐标轴比较各角度正弦、余弦和正切的值的大小 (3)

能够运用三角函数解决实际中一些简单问题

二． 教学重点与难点

重点：正弦、余弦以及正切的相关计算并运用三角函数解决一些简单的实际问题 难点：运用直角坐标轴比较各种角度的正弦、余弦和正切值的大小

三． 教学内容

1、三角函数的定义：在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么∠A 的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也

随之确定.

∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正弦(sine)，记作sinA ，即sinA ＝

斜边

的对边

A ∠

∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦(cosine)，记作cosA ，即cosA=

斜边

的邻边

A ∠

∠A 的对边与∠A 的邻边的比叫做∠A 的正切(tangent)，记作tanA ，即 锐角A 的正弦、余弦和正切 统称∠A 的三角函数.

tanA=

∠A的对边

∠A的邻边

思考：在钝角三角形中怎么表示正弦、余弦和正切

注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的 “sin ”没有意义，其中A 前面的“∠”一

般省略不写。

思考：（1）根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗正切三角函数值

的取值范围呢

0＜sina ＜1，0＜cosa ＜1.

（2）在非三角形中，角度的取值范围是多少呢相对应的 三角函数值的取值范围呢（了解）

2，

（逆向思维，已知三角函数值，求角度）

三角函数角

sin α cos α tan α

30° 2

1 23 3

3

45° 2

2 2

2

1 60° 2

3

2

1 3

90° 120° 150°

（补充）各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系 1cos sin 2

2=+A A

（3）倒数关系 tanA •tan(90°—A)=1

（4）弦切关系 tanA=

A

A

cos sin

[例1]

1

3230sin 1+-︒. 3-3

（1） cos60°+ sin 2

45°－tan34°·tan56° (2)已知tanA=2，求A

A A

A cos 5sin 4cos sin 2+-的值。

[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到 m)

AC 约为（怎么徒手开方）

[例3]如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinB=

13

5

，D 在BC 边上，且∠ADC=45°，AC=5。 求∠BAD 的正切值。

3、学会比较三角函数大小（不用计算器）

1°=60’ 1’=60” 度 分 秒 （2）cos27°12′，cos85°，cos63°36′15″，cos54°23′，cos38°39′52″

思考：在平面直角坐标系中怎么比较三角函数的大小

小结：Sin α，tan α随着锐角α的增大而增大； Cos α随着锐角α的增大而减小．

锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

;

89sin ,5467sin ,58sin ,644246sin ,3234sin ,21sin )1(000000'''''.

10tan ,35tan ,373tan ,5540tan ,5213tan )3(00000'''''

B

D

第19题图

A B C

D

小试牛刀：

1、 比较下列余弦值大小

cos130°, cos50°,cos40°； sin50°，sin130°,sin40°；tan10°,tan70°,tan150° 2、△ABC 2.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）

A ．12

B ．2

C ．3

D ．3

3、如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为

A ．12秒．

B ．16秒．

C ．20秒．

D ．24秒

4、如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ） A ．43

B ．

34 C ．45

D ．

3

5

5、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，∠C ＝60°，AD ＝4，BC ＝6，求AB 的长．

6、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=5cm ，∠BAC 的平分线交BC 于D ， AD ＝

103

3

cm,求∠B ，AB ，BC.

4、坡度与坡角的关系；给出仰角、俯角的定义

如右图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝AC

BC

，坡度通常用l ：m 的形式，例如上图中的1：2的形式。坡面与水平面的夹角叫