数学建模习题答案

数学建模部分课后习题解答

中国地质大学 能源学院 华文静

1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设

（1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），

即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件

（3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间

距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立

在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）

0（πθθ≤≤

表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为

)(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。

模型求解

如果0)0()0(==g f ，那么结论成立。

如果)0(与)

0(g f 不同时为零，不妨设.0)0(,0)0(=>g f 这时，将长方形ABCD 绕点O 逆时针旋转角度π后，点A,B 分别于与C ，D 互换，但长方形ABCD 在地面上所

处的位置不变，由此可知，f （π）＝g （0），g （π）＝f （0）.而由f （0）＞0，g （0）＝0，得g （π）＞0，f （π）＝0。令h （θ）＝f(θ)－g （θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。 又0)()()(,0)0()0()0(<-=>-=πππg f h g f h ，根据连续函数介值定理，必存在），，0（0πθ∈使得)()(即,0)(000θθθg f h ==； 又因为0)()(所以,0)()(0000===•θθθθg f g f 。于是，椅子的四只脚同时着地，放稳了。 模型讨论

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数是关键．本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离．运用这个模型，不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳，而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳．

2. 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？

模型假设

人带着猫、鸡、米过河，从左岸到右岸，船除了需要人划之外，只能载猫、鸡、米三者之一，人不在场时猫要吃鸡，鸡要吃米。试设计一个安全过河方案，使渡河次数尽量地少。

符号说明

1X ：代表人的状态，人在该左岸或船上取值为1，否则为0; 2X ：代表猫的状态，猫在该左岸或船上取值为1，否则为0； 3X ：代表鸡的状态，鸡在该左岸或船上取值为1，否则为0； 4X ：代表米的状态，米在该左岸或船上取值为1，否则为0:；

),,,(4321X X X X S k =:状态向量，代表时刻K 左岸的状态； ),,,(4321X X X X D k =:决策向量，代表时刻K 船上的状态；

模型建立

限制条件：⎩⎨

⎧≠+≠+⇒=2

2

043321X X X X X

初始状态：)0，0，0，0(),1，1，1，

1(00==D S 模型求解

根据乘法原理，四维向量）,,,（4321X X X X 共有162

4

=种情况根据限制条件可以排除

）1,1,0,0）（1，0,1，0）（1,1,1,0（三种情况，其余13种情况可以归入两个集合进行分配，易知可行决策集仅有五个元素{}

)0，0,，0，0(),0，0，0，1(),1，0，0，1(),0，1，0，1(),0，1，1，

1(=D ,状态集有8个元素，将其进行分配，共有两种运送方案：

方案一：人先带鸡过河，然和人再回左岸，把米带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把猫带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸（状态见表1）；

方案二：人先带鸡过河，然后人再回左岸，把猫带过右岸，人再把鸡运回左岸，人再把米带过右岸，最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2)；

目标：确定有效状态集合，使得在有限步内左岸状态由）0,0,0,0（）1,1,1,1（→

3. 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：

（1）按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者. （2）2.1节中的Q 值方法.

（3）d ’Hondt 方法： 将各宿舍的人数用正整数,2,1=n Λ,3相除，其商数如下表：