博弈论习题作业答案

博弈论第1次作业
1、A 、B 两企业利用广告进行竞争。

若A 、B 两企业都做广告，在未来销售中，A 企业可以获得18万元利润，B 企业可以获得10万元利润；若A 企业做广告，B 企业不做广告，A 企业可以获得30万元利润，B 企业可以获得4万元利润；若A 企业不做广告，B 企业做广告，A 企业可以获得13万元利润，B 企业可以获得16万元利润；若A 、B 两企业都不做广告，A 企业可以获得35万元利润，B 企业可以获得8万元利润。

试求：（1）画出A 、B 企业的支付矩阵。

（2）求出该博弈的纯策略纳什均衡。

（1） A 、B 企业的支付矩阵：
（2） 该博弈的纯策略纳什均衡为（做广告，做广告）
2、求出下图中得益矩阵所表示的博弈中的混合策略纳什均衡解。

左 右 上
2，1 0，2
下 1，2 3，0
假设甲选择上的概率为q,选择下的概率为1-q
假设乙选择左的概率为p,选择右的概率为1-p 做广告 不做广告 做广告 10，18 16，13 不做广告 4，30 8，35 乙 甲
A 企业
B 企业
①用支付等值法可得甲选择上或下的期望收益分别为：
E 上=q*2+(1-q)*0=2q
E 下=q*1+(1-q)*3=3-2q
使E 上=E 下，得q=3/4
②用支付等值法可得乙选择左或右的期望收益分别为：
E 左=p*1+(1-p)*2=1-p
E 右=p*2+(1-p)*0=2p
使E 左=E 右，得p=2/3
混合策略纳什均衡为甲选择下的概率为2/3,乙选择左的概率为3/4。

3、两个厂商生产一种完全同质的商品，该商品的市场需求函数为P Q -=100，设厂商1和厂商2都没有固定成本。

若他们在相互知道对方边际成本的情况下，同时作出产量决策是分别生产20单位和30单位。

问这两个厂商的边际成本各是多少？各自的利润是多少？
解：假设厂商1的边际成本为c1，产量为q1，厂商2的边际成本为c2 ，产量为q2。

则厂商1,2的利润分别为：
900
,40020,3030,200
210002100)100()100(,q )100()100(,q max 2max 121211222112122212222212112111112112211====∴==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=---==---=⎩⎨⎧---=--=---=--=∂∂∂∂μμμμμμc c q q q q c q q c q c q q q q c Q q q q c q q q q c Q q q q μq μ 最大，则对其求导得
，使）（
）（
所以厂商1的边际成本为30，利润为400；厂商2的边际成本为20，利润为900.
4、五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。

每只鸭子的收益v 是鸭子总数N 的函数，并取决于N 是否超过某个临界值N ；如果N N <，收益N N v v -==50)(；如果N N ≥时，0)(≡N v 。

再假设每只鸭子的成本为2=c 元。

若所有居民同时决定养鸭的数
量，问该博弈的纳什均衡是什么？
解：设5个农户的放养数量分别为q1，q2，q3，q4，q5 则5个农户的收益分别为：
82-242-242-242-242-24452)50(q 2)50(q 2)50(q 2)50(q 2)50(q 5432143215532145421354312543215
543215545432144
3543213325432122154321115=====−−−−−−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=+++=+++=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧------=------=------=------=------=q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 该博弈的纳什均衡个反应函数的交点就是）（）（）（）（）（户策略的反应函数，得
农户各自对其他分别求得μμμμμ
所以该博弈的纳什均衡为（8，8, 8, 8, 8）
5、三对夫妻的感情状态可以分别用下面三个得益矩阵对应的静态博弈来表示。

问：这三个博弈的纳什均衡分别是什么？这三对夫妻的感情状态究竟如何？ 矩阵1：
妻子
丈夫 活着 死了
活着 1，1 -1，0
死了 0，-1 0，0
该纳什均衡为（活着，活着）和（死了，死了），说明该对夫妻感情非常好，任何一方死去，对方都会生不如死，同生共死。

矩阵2：
妻子
丈夫 活着 死了
活着 0，0 1，0
死了 0，1 0，0
该纳什均衡为（活着，死了）和（死了，活着），说明该对夫妻感情比较冷淡，不管对方是生是死，反正只要自己活着就好了，互不相干
矩阵3：
妻子
丈夫 活着 死了
活着 -1，-1 1，0
死了 0，1 0，0
该纳什均衡为（活着，死了）和（死了，活着），说明该对夫妻感情非常不好了，是你死我活状态。

6、两个个体一起参加某项工程，每个人的努力程度[0,1](1,2)i e i ∈=，成本为()(1,2)i c e i =，该项目的产出为12(,)f e e 。

个体的努力程度不影响到项目的分配方法，项目的产出在2个体之间均分。

试回答以下问题：
1、
如果1212(,)3f e e e e =，2()(1,2)i i c e e i ==，试求此博弈的的Nash 均衡（即两个个体选择的最优努力程度）。

2、 如果1212(,)4f e e e e =，()(1,2)i i c e e i
==，试求此博弈的
的Nash 均衡。

解：假设两个个体分别为1,2，则他们的得益分别为：
（1）
应函数，得个个体各自对对方的反分别求出该223)(),(2123)(),(212
221221*********⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=e e e e c e e f e e e e c e e f μμ
0e 43e 43e 211221==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==e e e 所以该博弈的纳什均衡为（0，0）
（2）.同理（1）可得
()()()()），为（所以该博弈的纳什均衡，得
求导，并使其为，对2
1212101201202,212,21211
22122122121211211==⇒⎩⎨⎧=-=-⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=-=-=e e e e e e e e c e e f e e e e c e e f μμμμ。