乘法公式及复杂多项式的因式分解方法讲解(含答案)
精讲精练：因式分解方法分类总结-培优(含答案)
因式分解·提公因式法【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】1. 把下列各式因式分解 （1）-+--+++a xabx acx ax m m m m 2213（2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：-+--=--+++++a xabx acx ax ax ax bx c x m m m m m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-=2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯ 分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987+++⨯= =⨯=987136813689873. 在多项式恒等变形中的应用 例：不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
(完整版)乘法公式和因式分解知识点
乘法公式和因式分解（一）、知识点：1、单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘多项式：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b－c)＝ma+mb－mc3、多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(二)、知识要点 1、乘法公式2、因式分解因式分解：（1）把一个多项式写成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解。
注、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
（2）多项式的乘法与多项式因式分解的区别简单地说：乘法是积化和，因式分解是和化积。
3、因式分解的方法： （1）、提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
（2）、运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。
（3）、分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行． （4）、十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法。
简单的说十字相乘法就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
注意：十字相乘法不是适合所有二次三项式，只有在一次项系数和二次项系数以及常数项存在一种特殊关系时才能用，这个特殊关系我们通过例题来说明： 注意：我们在用十字相乘法之前一定要根据第一步判断是否能用十字相乘法。
我们在分解常数项和二次项系数时变化多端，目的是交叉相乘之和要等于一次项系数，如何分配常数项和二次项系数要根据情况而定。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。
2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。
复杂因式分解难题 (附答案及解析)
复杂因式分解难题 (附答案及解析)问题描述考虑以下复杂的因式分解问题：给定一个多项式P(x)，我们需要将其分解成一组因子的乘积形式。
具体而言，我们要将P(x)表示为如下形式：P(x) =(a<sub>n</sub> * x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub> * x<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub> * x + a<sub>0</sub>) 乘以一个或多个因子的形式。
解答与解析对于复杂因式分解问题的解答步骤如下：1. 将多项式P(x)进行因式分解，即找出可以整除P(x)的因子。
2. 对于每个因子，进一步进行因式分解，直到无法再分解为止。
3. 将所有的因子乘起来，得到最终的因式分解表达式。
具体过程如下：步骤1：找出可以整除P(x)的因子假设我们有一个多项式P(x) = a<sub>n</sub> * x<sup>n</sup>+ a<sub>n-1</sub> * x<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub> * x +a<sub>0</sub>，我们首先需要找到可以整除P(x)的因子。
这些因子可以通过将P(x)中的每个项提取出来，并找到这些项的公因子而得到。
公因子可以是变量x的幂次，也可以是常数项。
步骤2：进一步进行因式分解对于每个找到的因子，我们需要进一步进行因式分解。
这可以通过使用因式分解的常见方法，如提取公因子、配方法或公式法等来实现。
在这一步中，我们可以根据具体情况运用不同的分解策略。
步骤3：将所有的因子乘起来最后，将所有的因子相乘，得到最终的因式分解表达式。
多项式的乘法公式与因式分解知识点
多项式的乘法公式与因式分解知识点多项式是数学中一种常见且重要的表达式形式，它包含一个或多个项，每个项又由变量的幂次和系数组成。
在代数学中，多项式的乘法公式和因式分解是两个关键的知识点，它们在数学运算和问题求解中具有重要作用。
本文将分别介绍多项式的乘法公式和因式分解的相关知识点。
一、多项式的乘法公式多项式的乘法公式用于展开多项式之间的乘法运算，其基本形式如下所示：(A + B) * (C + D) = AC + AD + BC + BD这个公式可以推广到更多项的情况，例如：(A + B + C) * (D + E + F) = AD + AE + AF + BD + BE + BF + CD +CE + CF通过乘法公式，我们可以将多项式之间的乘法运算转化为求和的形式，简化了计算过程。
在实际应用中，多项式的乘法公式可以用于展开和处理复杂的代数表达式。
例如，多项式的乘法公式可以应用于计算两个多项式的乘积，求解方程组，展开指数表达式等等。
在求解数学题目和实际问题时，熟练掌握乘法公式是必不可少的。
二、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式，每个乘积称为因式。
因式分解是多项式的逆运算，它可以将一个复杂的多项式拆解成简单的因子，从而便于我们进行进一步的计算和分析。
在因式分解中，常见的因式分解方法包括提公因式法、分组公式法、配方法等。
这些方法在实际应用中根据具体的多项式形式和问题需求选择使用。
例如，我们可以通过提公因式法将多项式x^2 + 2x + 1进行因式分解：x^2 + 2x + 1 = (x + 1) * (x + 1) = (x + 1)^2通过因式分解，我们将原本复杂的多项式转化为一个简单的乘积形式，便于进一步的计算和分析。
因式分解在代数学中非常重要，它与多项式的根、因数关系密切相关。
通过因式分解，我们可以确定多项式的根，进而求解方程。
同时，因式分解还有助于简化代数式，简化计算过程，提高求解效率。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中重要的概念和操作，它们在代数运算、方程求解、多项式的化简等方面具有广泛的应用。
本文将介绍乘法公式和因式分解的概念、性质以及应用。
一、乘法公式乘法公式是指在对两个或多个数进行乘法运算时，有一些特定的规律可以简化运算过程。
其中，常见的乘法公式包括：1. 乘法交换律：a × b = b × a乘法交换律指出，两个数的乘积与它们的顺序无关。
2. 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)乘法结合律指出，三个数相乘时，可以按照不同的顺序进行运算，最终结果相同。
3. 乘法分配律：a × (b + c) = a × b + a × c乘法分配律指出，一个数与括号中的和相乘，等于这个数分别与和中的每个数相乘之后再相加。
以上三个乘法公式是数学运算中常用的基本规律，能够简化计算过程，提高效率。
二、因式分解因式分解是将一个数或者多项式表示为两个或多个因子的乘积的过程。
因式分解有助于化简复杂的表达式、解方程和求极限。
1. 常见因式分解公式(1) 完全平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)该公式表示一个完全平方式减去另一个完全平方式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
(2) 三项平方差公式：a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)该公式表示一个立方形式减去另一个立方形式的结果可以被分解为两个因子的乘积。
2. 因式分解的应用(1) 化简表达式：通过因式分解，可以将复杂的代数表达式转化为简单的因式乘积形式，便于计算和理解。
(2) 解方程：因式分解是求解一元高次方程的重要方法之一。
通过将方程进行因式分解，可以将原方程化简为多个一次方程的乘积形式，从而找到方程的解。
(3) 求极限：在一些复杂的极限求解问题中，通过因式分解可以将被极限运算影响的部分拆分为若干个因子，从而简化运算过程。
多项式的因式分解和乘法
多项式的因式分解和乘法多项式是代数学中常见的一种表达式形式，它由一系列的代数项按照特定的运算规则组合而成。
在代数学中，多项式的因式分解和乘法是两个重要的操作，它们在解决实际问题和简化计算中具有广泛的应用。
本文将围绕多项式的因式分解和乘法展开讨论。
一. 多项式的因式分解多项式的因式分解是将一个多项式表达式拆解成相乘的数或代数项的算法。
它可以帮助我们找到多项式的根、简化计算以及解决实际问题。
在进行多项式的因式分解时，我们可以采用以下的方法：1. 提取公因式法：通过找出多项式中的公因式，将其提取出来，从而得到因式分解结果。
例如，对于多项式2x^2 + 4x，我们可以提取出公因式2x，得到2x(x + 2)。
2. 分解差平方法：对于形如a^2 - b^2的多项式，我们可以利用差平方公式(a - b)(a + b)将其进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，我们可以得到(x - 2)(x + 2)的因式分解结果。
3. 分解二次三角形式：对于形如a^2 + 2ab + b^2的多项式，我们可以使用二次三角形式进行因式分解，即(a + b)^2。
例如，对于多项式x^2 + 4x + 4，我们可以得到(x + 2)^2的因式分解结果。
二. 多项式的乘法多项式的乘法是将两个或多个多项式相乘的操作。
它通常用于计算多项式的展开式或者解决实际问题。
在进行多项式的乘法时，我们可以采用以下的方法：1. 使用分配律：多项式的乘法可以利用分配律进行展开。
例如，对于多项式(x + 2)(x + 3)，我们可以将其展开得到x^2 + 5x + 6。
2. 使用FOIL法则：FOIL法则是一种用于展开两个二次多项式相乘的方法。
其中，F代表首项相乘，O代表外项相乘，I代表内项相乘，L 代表尾项相乘。
例如，对于多项式(x + 2)(x + 3)，我们可以使用FOIL 法则展开得到x^2 + 5x + 6。
3. 使用多项式的乘法公式：当需要计算两个多项式相乘时，我们可以使用多项式的乘法公式进行展开。
多项式的因式分解与乘法公式
多项式的因式分解与乘法公式多项式在代数学中扮演着至关重要的角色。
本文将介绍多项式的因式分解与乘法公式，并探讨它们在解决实际问题中的应用。
一、因子与因式分解多项式的因子是能够整除该多项式以得到一个整数结果的多项式。
例如，2是4的因子，而x-x^2是x^3-x^2的因子。
因式分解是将一个多项式表示成若干个不可再分解的因式相乘的形式。
这种表示有助于我们理解多项式的结构，并在求解方程、简化计算等方面发挥重要作用。
例如，多项式x^2-4可以因式分解为(x+2)(x-2)，其中(x+2)和(x-2)是其因子。
我们可以通过使用因式分解，将一个复杂的多项式转化为简单的乘法运算，从而更容易进行求解和运算。
在进行因式分解时，我们需要了解一些常见的因式分解形式，如下所示：1. 按因式的形式分解- 相加减法公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 完全平方公式：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2。
例如，x^2+4x+4=(x+2)^2。
- 完全立方公式：a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3。
例如，x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3。
2. 按因式的类型分解- 因式分解为一次因式的乘积。
例如，x^2-4x=x(x-4)。
- 因式分解为二次因式的乘积。
例如，x^2-4=(x+2)(x-2)。
- 因式分解为三次因式的乘积。
例如，x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)。
当然，以上仅仅是因式分解的一部分常见形式。
实际问题中，往往需要根据具体情况进行因式分解，并利用分解结果进行后续的计算。
二、乘法公式乘法公式是多项式扩展运算的基础。
通过运用乘法公式，我们可以将多项式相乘的计算简化为更小规模的计算。
下面是常见的乘法公式：1. 二次乘法公式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^2。
例如，(x+2)^2=x^2+4x+4。
2. 三次乘法公式：(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3。
2020年初升高数学衔接辅导之分解因式(含答案)
02分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >， 则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号；（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x 2+6x +8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy +6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式： x 2＋(a ＋b )x ＋ab ＝(x ＋a )(x ＋b )．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
《乘法公式》整式的乘除与因式分解
把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被 除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式 。
多项式除以单项式
定义
把一个多项式除以另一个单项式的商叫做多项式除以单项式。
运算法则
把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
多项式除以多项式
定义
把一个多项式除以另一个多项式的商叫 做多项式除以多项式。
《乘法公式》整式的乘除与 因式分解
2023-11-09
目录
• 乘法公式 • 整式的乘法 • 整式的除法 • 因式分解 • 乘法公式、整式的乘除与因式分解的关系 • 经典例题解析
01
乘法公式
乘法公式的定义
乘法公式的定义
乘法公式是指将两个或多个数相 乘的结果用一个简单的符号表示
。例如，$(a+b)^2$ 表示 $a^2+2ab+b^2$。
因式分解的例题
3. 双十字相乘法
$x^2 + 5xy + 6y^2 = (x+2y)(x+3y)$。
2. 公式法
$a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$。
总结词
因式分解的方法多种多样，通过经典例题 解析可以更好地理解各种方法的适用条件 和操作技巧。
详细描述
因式分解是将一个多项式分解为若干个因 式之积的过程，下面通过一些例题及解析 来探讨因式分解的方法
乘法公式与因式分解的关系
乘法公式在因式分解中的应用
在因式分解中，乘法公式被广泛应用，例如利用乘法公 式进行多项式的展开、分组、约分等，这些方法都是基 于乘法公式进行推导和复杂的乘法公式问题时，通过因式分解可以 将问题转化为更简单的形式，例如利用因式分解解决一 些分式的约分问题。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。
它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。
一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。
常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。
通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。
因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。
因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。
1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。
例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。
2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。
3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。
因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。
熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。
乘法分解因式
乘法分解因式是将一个多项式分解为多个乘法因子的过程。
这可以帮助我们简化计算、理解多项式的性质和解决方程等问题。
下面是几种常见的乘法分解因式方法：
1. 公因式提取法：当多项式中存在公共因子时，可以提取公因式。
例如，对于多项式3x + 6xy，可以提取公因式3x得到3x(1+2y)。
2. 二次三项式的平方差公式：平方差公式可以将二次三项式分解为两个平方的差形式。
例如，对于二次三项式x^2 - 4，可以使用平方差公式(x+2)(x-2)进行分解。
3. 组合法：如果多项式中存在相同类型的项，可以对这些项进行组合，通过合并同类项的方式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2 + 2x + x + 2，可以将其中的同类项2x和x 进行合并得到(x+1)^2 + 1。
4. 因式定理：因式定理形式为a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)，可以应用于差的平方形式的因式分解。
例如，对于多项式x^2 - 4y^2，可以使用因式定理得到(x+2y)(x-2y)进行分解。
5. 分解公式：分解公式是将特定类型的多项式分解为两个或
多个乘法因子的公式。
例如，对于完全平方三项式x^2 + 4xy + 4y^2，可以使用分解公式(x+2y)^2进行分解。
以上是一些常见的乘法分解因式方法，可以根据多项式的具体形式和特点选择适当的方法进行因式分解。
因式分解(含答案)
1.4 因式分解◆赛点归纳因式分解是中学数学的一种重要的恒等变形，也是解决许多数学问题的重要途径和方法．在初中数学竞赛中，常用的方法除教材中介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法外，还有十字相乘法、折（添）项法、换元法和待定系数法等．◆解题指导例1 （2001，重庆市竞赛）因式分解：4x2－4x－y2+4y－3=______．【思路探究】这是一个二次五项式，显然没有公因式可以提取，这就要用其他因式分解法，经观察可用分组分解法．如何分组呢？例2 （2001，大连市第八届“育英杯”）分解因式x（x－1）+y（y+1）－2xy•的结果是_________．【思路探究】显然没有公因式可以提取，所以必须先运用整式乘法将它展开，展开后的多项式与例1相似，故宜用分组分解法．例3 （2002，北京市竞赛）a4+4分解因式的结果是（）．A．（a2+2a－2）（a2－2a+2）B．（a2+2a－2）（a2－2a－2）C．（a2+2a+2）（a2－2a－2）D．（a2+2a+2）（a2－2a+2）【思路探究】本题不可分组，又无法直接运用公式法，但这两项都是完全平方数，因此可通过添项利用公式法分解．例4分解因式：x3－3x2+4．【思路探究】这是一个关于x的三次式，直接运用分组分解法是难以完成的，•可以先将二次项或常数项进行拆项，再进行恰当的分组分解．例5 分解因式：x2+xy－6y2+x+13y－6．【思路探究】这是二次六项式，运用分组分解法有困难．根据整式乘法可知，这个二次六项式可分解为两个一次三项式，且前三项二次项x2+xy－6y2可分解为（x+3y）（x－2y）．由此可知，这两个一次式的常数项待定，因此，可用待定系数法分解．例6 （2000，“五羊杯”，初三）分解因式：（x4+x2－4）（x4+x2+3）+10=______．【思路探究】这是一道八次多项式因式分解题，在展开它时，要有目标，即在运用整式乘法将它展开后，必须考虑下一步能否分解因式．由观察可知，这两个四次三项式结构相同，因此，将四次项与二次项的和作为一个整体展开可分解因式．【拓展题】分解因式：（x2+xy+y2）2－4xy（x2+y2）．◆探索研讨提取公因式法、公式法和分组分解法是因式分解的基本方法．对于一些较为复杂的多项式因式分解，就需用到换元法、拆（添）项法、待定系数法．请结合本节的例题，总结拆（添）项法、换元法可分别化归为哪些基本方法？待定系数法实质是化归为解什么问题？◆能力训练1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）．A．（x+1）（x－1）=x2－1 B．（a－b）（m－n）=（b－a）（n－m）C．ab－a－b+1=（a－1）（b－1）D．m2－2m－3=m（m－2－3m）2．把多项式x2－y2－2x－4y－3因式分解之后，正确的结果是（）．A．（x+y+3）（x－y－1）B．（x+y－1）（x－y+3）C．（x+y－3）（x－y+1）D．（x+y+1）（x－y－3）3．将多项式x2－4y2－9z2－12yz分解成因式的积，结果是（）．A．（x+2y－3z）（x－2y－3z）B．（x－2y－3z）（x－2y+3z）C．（x+2y+3z）（x+2y－3z）D．（x+2y+3z）（x－2y－3z）4．下列五个多项式：①a2b2－a2－b2－1；②x3－9ax2+27a2x－27a3；③x（b+c－d）－y（d－b－c）－2c+2d－2b；④3m（m－n）+6n（n－m）；⑤（x－2）2+4x．其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①，②，③B．②，③，④C．③，④，⑤D．①，②，④5．已知二次三项式21x2+ax－10可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（）．A．a一定是奇数B．a一定是偶数C．a可为奇数也可为偶数D．a一定是负数6．将a4+b4+c4－2a2b2－2b2c2－2c2a2分解因式得（）．A．（a2－b2－c2）2B．（a2－b2－c2+2bc）（a2－b2－c2－2bc）C．（a+b－c）（a－b+c）（a+b+c）（a－b－c）D．（a+b－c）（b+c－a）（c+a－b）（a+b+c）7．分解因式3a2－7a－6=______．8．分解因式x2+4xy－4+4y2=_______．9．把代数式（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2分解成因式的乘积，应当是______．10．分解因式（x2－1）（x+3）（x+5）+12=_______．11．分解因式x5+x+1=_______，x5+x－1=______．12．（2000，“五羊杯”，初二）分解因式（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3．13．（2001，“五羊杯”，初二）分解因式（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3．14．（2002，“五羊杯”，初二）分解因式（1－7t－7t2－3t3）（1－2t－2t2－t3）－（t+1）6．15．分解因式（x+1）4+（x+3）4－272．16．分解因式6x2－5xy－6y2－2xz－23yz－20z2．答案:解题指导例1 （2x+y－3）（2x－y+1）．[提示：4x2－4x－y2+4y－3 =（4x2－4x+1）－（y2－4y+4）=（2x－1）2－（y－2）2=（2x+y－3）（2x－y+1）．]例2 （x－y）（x－y－1）．[提示：x（x－1）+y（y+1）－2xy =x2－x+y2+y－2xy=（x－y）2－（x－y）=（x－y）（x－y－1）．]例3 D [提示：a4+4=a4+4a2+4－4a2=（a2+2）2－（2a）2 =（a2+2a+2）（a2－2a+2）．]例4 （x+1）（x－2）2．解法1 x3－3x2+4=x3+x2－4x2+4=x2（x+1）－4（x+1）（x－1）=（x+1）（x－2）2．解法2 x3－3x2+4=x3+1－3x2+3=（x+1）（x2－x+1）－3（x+1）（x－1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．解法3 x3－3x2+4=x3+x2－4x2－4x+4x+4=x2（x+1）－4x（x+1）+4（x+1）=（x+1）（x2－4x+4）=（x+1）（x－2）2．例5 设x2+xy－6y2+x+13y－6=（x+3y+m）（x－2y+n）=x2－2xy+nx+3xy－6y2+3ny+mx－2my+mn=x2+xy－6y2+（n+m）x+（3n－2m）y+mn．比较左、右两边对应项系数，得1,2,3213, 3.6.m n m n m n mn +=⎧=-⎧⎪-=⎨⎨=⎩⎪=-⎩解得 ∴x 2+xy －6y 2+x+13y －6=（x+3y －2）（x －2y+3）．例6 （x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．[提示：（x 4+x 2－4）（x 4+x 2+3）+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－12+10=（x 4+x 2）2－（x 4+x 2）－2=（x 4+x 2－2）（x 4+x 2+1）=（x 2+2）（x 2－1）[（x 4+2x 2+1）－x 2]=（x 2+2）（x 2－1）[（x 2+1）2－x 2]=（x 2+2）（x+1）（x －1）（x 2+x+1）（x 2－x+1）．]【拓展题】 设a=x+y ，b=xy ，则（x 2+xy+y 2）2－4xy （x 2+y 2）=[（x+y ）2－xy] 2－4xy[（x+y ）2－2xy]=（a 2－b ）2－4b （a 2－2b ）=a 4－6a 2b+9b 2=（a 2－3b ）2=（x 2+2xy+y 2－3xy ）2=（x 2－xy+y 2）2．能力训练1．C [提示：根据因式分解的概念判断．]2．D [提示：x 2－y 2－2x －4y －3=（x 2－2x+1）－（y 2+4y+4）=（x －1）2－（y+2）2=[（x －1）+（y+2）][（x －1）－（y+2）]=（x+y+1）（x －y －3）．]3．D [提示：x 2－4y 2－9z 2－12yz=x 2－（4y 2+9z 2+12yz ）=x 2－（2y+3z ）2=[x+（2y+3z ）][x －（2y+3z ）]=（x+2y+3z）（x－2y－3z）．]4．B [提示：②式=（x－3a）3；③式=x（b+c－d）+y（b+c－d）－2（b+c－d）=（b+c－d）（x+y－2）；④式=（m－n）（3m－6n）=3（m－n）（m－2n）．所以②、③、④式合乎要求．]5．A [提示：利用十字相乘法可推断．]6．C [提示：原式=a4－a2b2－2a2bc－a2c2－a2b2+2a2bc －a2c2+b4－2b2c2+c4=a4－a2（b2+2bc+c2）－a2（b2－2bc+c2）+（b2－c2）2 =a4－a2（b+c）2－a2（b－c）2+（b+c）2（b－c）2=[a2－（b+c）2][a2－（b－c）2]=（a+b+c）（a－b－c）（a+b－c）（a－b+c）．]7．（3a+2）（a－3）．8．（x+2y+2）（x+2y－2）．[提示：x2+4xy－4+4y2 =（x2+4xy+4y2）－4=（x+2y）2－4=（x+2y+2）（x+2y－2）．]9．（x－1）2（y－1）2．[提示：（x+y－2xy）（x+y－2）+（xy－1）2．=（x+y）2－2xy（x+y）－2（x+y）+4xy+x2y2－2xy+1 =（x+y）2－2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2=（x+y－xy－1）2=（x－1）2（y－1）2．]10．（x2+4x－3）（x2+4x+1）．[提示：（x2－1）（x+3）（x+5）+12=（x+1）（x+3）（x－1）（x+5）+12=（x2+4x+3）（x2+4x－5）+12=（x2+4x）2－2（x2+4x）－15+12=（x2+4x－3）（x2+4x+1）．]11．（x3－x2+1）（x2+x+1）；（x3+x2－1）（x2－x+1）．[提示：x5+x+1=x2（x3－1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）[x2（x－1）+1]=（x3－x2+1）（x2+x+1）；x5+x－1=x2（x3+1）－（x2－x+1）=（x2－x+1）[x2（x+1）－1]=（x3+x2－1）（x2－x+1）．] 12．（x－2）3－（y－2）3－（x－y）3=[（x－2）－（y－2）][（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2]－（x－y）=（x－y）[（x－2）2+（x－2）（y－2）+（y－2）2－（x－y）2]=3（x－y）（xy－2y－2x+4）=3（x－2）（y－2）（x－y）．13．A3+B3+C3－3ABC=（A+B+C）（A2+B2+C2－BC－CA－AB）．若A+B+C=0，便有A3+B3+C3=3ABC．令A=2x－3y，B=3x－2y，C=5y－5x，则符合上述条件，易得A3+B3+C3=3ABC，即（2x－3y）3+（3x－2y）3－125（x－y）3=15（2x－3y）（3x－2y）（y－x）．14．设（t+1）3=x，y=2+t+t2，则原式=[（4+2t+2t2）－3（1+3t+3t2+t3）][（2+t+t2）－（1+3t+3t2+t3）]－[（t+1）3] 2=（2y－3x）（y－x）－x2=2x2－5xy+2y2=（2x－y）（x－2y）=[2（t3+3t2+3t+t）－（t2+t+2）][（t3+3t2+3t+1）－2（t2+t+2）]=（2t3+5t2+5t）（t3+t2+t－3）=t（2t2+5t+5）（t－1）（t2+2t+3）．15．令y=(1)(3)2x x+++=x+2，则原式=（y －1）4+（y+1）4－272=2（y 4+6y 2+1）－272=2（y 4+6y 2－135）=2（y 2－9）（y 2+15）=2（y+3）（y －3）（y 2+15）=2（x+5）（x －1）（x 2+4x+19）．16．5-422-33由上面的双十字相乘法，得2×5－3×（－4）=10－12=－2．∴6x 2－5xy －6y 2－2xz －23yz －20z 2=（2x －3y －4z ）（3x+2y+5z ）．。
北师大版八年级数学下册 第四章因式分解的四种方法(讲义及答案)
因式分解的四种方法（讲义）➢ 课前预习1. 平方差公式：___________________________；完全平方公式：_________________________；_________________________．2. 探索新知：（1）39999-能被100整除吗？小明是这样做的：3229999999999199(991)99(991)(991)9998009998100-=⨯-⨯=⨯-=⨯+-=⨯=⨯⨯所以39999-能被100整除．（2）38989-能被90整除吗？你是怎样想的？（3）3m m -能被哪些整式整除？➢ 知识点睛1. __________________________________________叫做把这个多项式因式分解．2. 因式分解的四种方法（1）提公因式法需要注意三点：①_____________；②_______________；③_________________．（2）公式法两项通常考虑_____________，三项通常考虑_____________．（3）分组分解法如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找 ，然后再考虑 或者_______．（4）十字相乘法十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 因式分解是有顺序的，记住口诀：“ 竖分常数交叉验，横写因式不能乱 ”；➢ 精讲精练1. 下列由左到右的变形，是因式分解的是________________．①222233x y x y -=-⋅⋅； ②2(3)(3)9a a a +-=-；③22+1()()1a b a b a b -=+-+； ④222()mR mr m R r +=+； ⑤2()x xy x x x y -+=-；⑥24(2)(2)m m m -=+-； ⑦2244(2)y y y -+=-．2. 因式分解（提公因式法）：（1）2212246a b ab ab -+； （2）32a a a --+； （3）()(1)()(1)a b m b a n -+---；解：原式=解：原式= 解：原式=（4）22()()x x y y y x ---； （5）1m m x x -+． 解：原式=解：原式=3. 因式分解（公式法）：（1）249x -；（2）216249x x ++； 解：原式=解：原式=（3）2244x xy y -+-；（4）229()()m n m n +--； 解：原式=解：原式=（5）22(3)2(3)(43)(43)x y x y x y x y +-+-+-；解：原式=（6）2(25)4(52)x x x -+-；解：原式=（7）228168ax axy ay -+-；（8）44x y -； 解：原式=解：原式=（9）4221a a -+； （10）22222()4a b a b +-． 解：原式=解：原式=4. 因式分解（分组分解法）：（1）2105ax ay by bx -+-；（2）255m m mn n --+； 解：原式=解：原式=（3）22144a ab b ---； （4）22699a a b ++-； 解：原式=解：原式=（5）2299ax bx a b +--；（6）22244a a b b -+-． 解：原式=解：原式=5. 因式分解（十字相乘法）：（1）243x x ++；（2）26x x +-； 解：原式=解：原式=（3）223x x -++；（4）221x x +-； 解：原式=解：原式=（5）22512x x +-；（6）2232x xy y +-； 解：原式=解：原式=（7）2221315x xy y ++；（8）3228x x x --． 解：原式=解：原式=6. 用适当的方法因式分解：（1）222816a ab b c -+-；（2）22344xy x y y --； 解：原式= 解：原式=（3）22(1)12(1)16a a ---+；（4）(1)(2)12x x ++-； 解：原式=解：原式=（5）2(2)8a b ab -+；（6）222221x xy y x y -+-++． 解：原式=解：原式=【参考答案】➢ 课前预习1. 22()()a b a b a b +-=-222222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+2. 210=7×5×3×2；315=7×5×3×3；91=13×7；102=17×3×23. （2）328989898989-=⨯-289(891)89(891)(891)899088=⨯-=⨯+⨯-=⨯⨯∴38989-能被90整除3223(1)(1)(1)m m m m mm m m m m -=⋅-=-=+-（）∴3m m -能被1，m ，m +1，m -1，m (m +1)，m (m -1)，(m +1)(m -1)，m (m +1)(m -1)整除 ➢ 知识点睛1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式2. （1）①公因式要提尽②首项是负时，要提出负号③提公因式后项数不变（2）平方差公式，完全平方公式①能提公因式的先提公因式②找准公式里的a 和b（3）公因式，完全平方公式，平方差公式3. 一提二套三分四查，有理数➢ 精讲精练1. ④⑥⑦2. （1）6(241)ab a b -+（2）2(1)a a a -+-（3）()()a b m n -+（4）3()x y -（5）1(1)m x x -+3. （1）(23)(23)x x +-（2）2(43)x +（3）2(2)x y --（4）4(2)(2)m n m n ++（5）29(2)x y -（6）(25)(2)(2)x x x -+-（7）28()a x y --（8）22()()()x y x y x y ++-（9）22(1)(1)a a +-（10）22()()a b a b +-4. （1）(5)(2)x y a b --（2）(5)()m m n --（3）(12)(12)a b a b ++--（4）(33)(33)a b a b +++-（5）()(31)(31)a b x x ++-（6）(2)(22)a b a b -+-5. （1）(1)(3)x x ++（2）(3)(2)x x +-（3）(3)(1)x x --+（4）(21)(1)x x -+（5）(4)(23)x x +-（6）()(32)x y x y +-（7）(5)(23)x y x y ++（8）(2)(4)x x x +-6. （1）(4)(4)a b c a b c -+--（2）2(2)y x y --（3）2(5)(3)a a --（4）(2)(5)x x -+（5）2(2)a b +（6）2(1)x y --。
第3讲 乘法公式和因式分解
第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方(a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2【考点3 因式分解】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 要点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，. 形如，的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. m m ()()22a b a b a b -=+-()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反．【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ）A ．﹣1B ．1C ．6D ．﹣6【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a ＋b)(a －b)＋b(a ＋2b)－b 2，其中a ＝1，b ＝－2.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x ﹣1）（x +1）＝ x 2﹣1②（x ﹣1）（x 2+x +1）＝ x 3﹣1③（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1④（x ﹣1）（x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 5﹣1⑤（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1…由以上规律（1）填空：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝ ． 2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ）A ．±8B ．4C ．﹣2D ．±2【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ． 【分析】运用完全平方公式分解因式【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．类型一、提公因式法分解因式1、 分解因式：(1)；(2)．【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：能被120整除．【思路点拨】25＝，进而把整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．222284a bc ac abc +-32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-712255-25725()()()222244x y x y x y ++---()()x y x y +-、【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把看作完全平方式里的是解题的关键．4、若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）A ．1B ．7C ．11D ．13故选：A ．5、）把下列各式进行因式分解（1）4（x ﹣2）2﹣1；（2）（x+y ）2+4（x+y+1）.【思路点拨】（1）直接利用平方差公式分解因式即可；（2）经过变形，利用完全平方公式分解因式即可.【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三： 类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式6、分解因式：（1）（2）【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.()()x y x y +-、,a b ()()222222x x ----()2224420x xx x +---7、（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．课堂测1．（2019·安徽中考模拟）下列分解因式正确的是（ ）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-2．（2018·江苏中考模拟）把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x -3)，则a 、b 的值分别是（） A ．a=2，b=3 B ．a=-2，b=-3C ．a=-2，b=3D ．a=2，b=-33．（2018·广西中考真题）下列各式分解因式正确的是（ ）A ．x 2+6xy+9y 2=（x+3y ）2B ．2x 2﹣4xy+9y 2=（2x ﹣3y ）2C ．2x 2﹣8y 2=2（x+4y ）（x ﹣4y ）D ．x （x ﹣y ）+y （y ﹣x ）=（x ﹣y ）（x+y ）4．（2019·山东中考模拟）多项式4a ﹣a 3分解因式的结果是（ ）A ．a （4﹣a 2）B ．a （2﹣a ）（2+a ）C ．a （a ﹣2）（a+2）D ．a （2﹣a ）25．（2018·安徽中考模拟）将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是( )A ．a 2-1B ．a 2+aC ．a 2+a -2D ．(a+2)2-2(a+2)+1利用公式法解决代数式求值问题的方法1．（2018·河南中考模拟）已知a ﹣b=1，则a 3﹣a 2b+b 2﹣2ab 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．（2017·陕西中考模拟）已知实数x 满足22110x x x x +++=，那么1x x +的值是（ ）A ．1或﹣2B ．﹣1或2C ．1D ．﹣23．（2019·江苏中考模拟）若x 2+mx -15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A ．-5B ．5C ．-2D ．2课后习题一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=-（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A.x 2－xyB. x 2＋xyC. x 2－y 2D. x 2＋y 23.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ． B ． C ． D ．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ）5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（ ）A ．4a 2B ．4a 2﹣abC ．4a 2+abD ．4a 2﹣ab ﹣2b 2 二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x 2y ﹣4y 3＝ ．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x 2﹣4y 2+4xy ＝ ．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a 3+2a 2+a ＝ ．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x 2﹣2x +＝ ．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t =+时，代数式222s st t -+的值为 ． 6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ．7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ．8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m+n）＝2m2+3mn+n2（1）图②是将一个长2m、宽2n的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于（用含m、n的代数式表示）（2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积．方法①方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.3、(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21y 1,))(()(2=-=÷+-+-，其中x x y x y x y x5. 已知a +b ＝3，ab ＝﹣10．求：（1）a 2+b 2的值；（2）（a ﹣b ）2的值．6.下面是某同学对多项式（x 2﹣4x +2）（x 2﹣4x +6）+4进行因式分解的过程．解：设x 2﹣4x ＝y ，原式＝（y +2）（y +6）+4 （第一步）＝y 2+8y +16 （第二步）＝（y +4）2（第三步）＝（x 2﹣4x +4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ．A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？ ．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x 2﹣2x ）（x 2﹣2x +2）+1进行因式分解．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．。
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乘法公式检测
1.若，，则的值是( ) 核心考点:平方差公式的应用
A. 4
B.
C.
D.
2.计算的结果是( ) 核心考点:平方差公式的应用（添项法）
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
3.若，，则的值为( ) 核心考点:完全平方公式知二求二问题
A. 1
B.
C. 2
D.
4.若实数满足，则等于( )
A. -1
B. 0
C.
D. 1 核心考点:完全平方公式（换元法，特殊值法）
5.若，，其中，则，的大小的
关系是( ) 核心考点:完全平方式的应用
A. B. C. D. 不能确定
复杂多项式的因式分解（换元、拆项、添项）
1.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
2.把因式分解的正确结果是( )
A. B.
C. D.
3.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
4.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
5.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
6.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
7.把因式分解的结果是( )
A. B. C. D.
8.把因式分解的正确结果是( )
A. B. C. D.
9.把因式分解的正确结果是( )
A. B.
C. D.
10.把因式分解的正确结果是( )
A. B.
C. D.
习题解析
乘法公式： 5.解题思路
4.∵，
∴，
∴，又∵，
∴，故选B．2.故选A．
∵
∴
∴，
1.换元法，选B
2.换元法，选B
解：设，则，
把代入上式，可得，3.分组分解法，选A
设，则
把代入上式，可得，4.分组分解法，选C
5.添项法，选C
6.添项法，选C 答案：C
7.拆项法，选D 8.拆项法，选D
9.拆项法，选B
10.拆项法，选B。