最新10.1分类计数原理和分步计数原理

(2) P 可表示平面上多少个第二象限的点？
(3) P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？ 思维启迪：完成“确定点 P”这件事需依次确定
横、纵坐标，应用分步计数原理．
解 (1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成： 第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法； 第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法． 根据分步计数原理，得到平面上的点数是 6×6＝36.
解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染
色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即
可得出结论．由题设，四棱锥 S—ABCD 的顶点 S、A、B 所染
的颜色互不相同，它们共有 5×4×3＝60(种)染色方法． 当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3，若 C 染 2， 则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若 C 染 5，则 D 可染 3 或 4，有 2 种染法．可 见，当 S、A、B 已染好时，C、D 还有 7 种染法，故不同的染 色方法有 60×7＝420(种)。
10.1分类计数原理和分步计数原 理
2．分步计数原理 完成一件事情需要分成 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1 种不同的方法，完成第二步有 m2 种不同的方法，……， 完成第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共 有 N＝ m1×m2×…×mn 种不同的方法．
3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事情的 不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理 与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法 都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步 骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
探究提高 利用分步计数原理解决问题：①要按事件发生的 过程合理分步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互 相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
变式训练 2 某体育彩票规定：从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注，每注 2 元．某人想先选定吉利号 18，然后 从 01 至 17 中选 3 个连续的号，从 19 至 29 中选 2 个连续 的号，从 30 至 36 中选 1 个号组成一注．若这个人要把符 合这种要求的注全买下，至少要花多少元钱？
(2) 确定第二象限的点，可分两步完成： 第一步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方法． 由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是 3×2＝6. (3) 点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a＝b. 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法， 即在直线 y＝x 上的点有 6 个． 由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－6＝30 个．
题型一 分类计数原理 例 1 高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二
班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；高三三班有学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有 多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学 生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？ 思维启迪： 用分类计数原理． 解 (1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法为 165 种． (2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有 80 种．
探究提高 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它 的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意 满足一个基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属 于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法， 只有满足这些条件接正八边 形的三个顶点而成的三角形中，与正 八边形有公共边的三角形 40 个。
探究提高 在用两个计数原理处理具体问题时，首先要分清是 “分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具 体标准．在“分类”时要遵循“不重不漏”的原则．
变式训练 3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染 上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只 有 5 种颜色可供使用，求不同的染色方法总数。
解 第 1 步：从 01 到 17 中选 3 个连续号有 15 种选法； 第 2 步：从 19 到 29 中选 2 个连续号有 10 种选法； 第 3 步：从 30 到 36 中选 1 个号有 7 种选法． 由分步计数原理可知：满足要求的注数共有 15×10×7＝1 050(注)，故至少要花 1 050×2＝2 100(元)．
5．5 名应届毕业生报考三所高校，每人报且仅报一所
院校，则不同的报名方法的种数是( A )
A．35
B．53 C．A35
D．C35
解析 第 n 名应届毕业生报考的方法有 3 种(n＝ 1,2,3,4,5)，根据分步计数原理知，不同的报名方法 共有 3×3×3×3×3＝35 种．
题型分类 深度剖析
解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 第一类，有一条公共边的三角形共有 8×4＝32(个)； 第二步，有两条公共边的三角形共有 8(个)． 由分类计数原理知，共有 32＋8＝40(个)．
题型二 分步计数原理
例 2 已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面
上的点(a，b∈M)，问： (1) P 可表示平面上多少个不同的点？
题型三 两个原理的综合应用 例 3 有一项活动，需在 3 名老师，8 名男同学和 5 名女同
学中选人参加，(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法？ (2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？ (3)若只需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不 同的选法？
解 (1)“完成这件事”只需从老师、学生中选 1 人即可， 共有 3＋8＋5＝16(种)方法．
(2)“完成这件事”需选 2 人，老师、学生各 1 人，分两步 进行：选老师有 3 种方法，选学生有 8＋5＝13 种方法， 共有 3×13＝39(种)方法．
(3)“完成这件事”需选 3 人，老师、男同学、女同学各一人， 可分三步进行：选老师有 3 种方法，选男同学有 8 种方法，选女 同学有 5 种方法，共有 3×8×5＝120(种)方法．