2014复习题江苏大学化工

2014复习题

1、设)(x f 在]2,0[上四阶连续可导，求)(x f 次数不超过3次的插值多项式)(x P ，使满足插值条件：1)0()0(==f P 、2)1()1(==f P 、1)2()2(==f P 、1)1()1(-='='f P ，并求余项表达式。

2、（1）已知(1)2,(1)0,(2)4f f f -=-==，求()f x 的二次插值多项式； （2）如果又知道(1)=0(2)=3f f ''，，求()f x 的四次插值多项式。

3、设2

1

()1f x x =

+，()h I x 是对()f x 在[5,5]-上取10n =并按等距节点所求得的分段线性插值函数。

（1）求()h I x 在各节点间中点处的表达式（只需写出其表达式，不做数值计算）； （2）在[5,5]-上估计()h I x 与()f x 的误差。 4、设2()[,]f x C a b ∈，()0f a =，()1f b =， 证明：

2

1

m a x |()|()m a x |()|

8

a x b

a x

b

x a f

x b a f x b a ≤≤≤≤-''-≤--。 5、观测得到二次多项式)(2x p 的值：

表中)(2x p 的某一个函数值有错误，试找出并校正它。

6、已知函数)(x f 是一个多项式并满足下列函数表，试运用差商的方法确定)(x f 的次数及

7、（1）求,a b 使得22

(sin )I ax b x dx =

+-⎰

取最小值，并求此最小值。

（2）确定,,a b c 使得1

22

1

(arcsin )I x ax bx c -=---⎰

取最小值，并求此最小

值。

8、（1）求函数x x f πcos )(=在区间]1,0[上的二次最佳平方逼近多项式，并计算平方误差。

（2）求函数()sin

2

f x x π

=在[1,1]-上的二次最佳平方逼近多项式，并计算平方误差。

9、设{}0()k k x ϕ∞

=是区间[0,1]上最高次项系数为1的带权()x x ρ=正交的正交多项式，其中

0()=1x ϕ。

（1）求12(),()x x ϕϕ； （2）求

1

()k x x dx ϕ⎰

（0,1,2,

k =）；

（3）利用此类带权正交多项式求函数3()f x x =在[0,1]上带权()x x ρ=的二次最佳平方逼近多项式。

10、设2()x

f x e =，用复化求积公式对积分1

()I f x dx =

⎰

做数值计算，要求误差不超过

51

102

-⨯，则用复化梯形公式、复化辛普森公式、复化柯特斯公式时各需要在[01]，上插入的多少个等距节点？ 11、利用外推算法计算积分

9

1

1+dy

y

⎰

（外推到龙贝格公式为止，每步计算保留三位小数）。 12、已知410=

x ，211=x ，4

32=x （1）求在]1,0[上以这三个节点为求积节点的插值型求积公式； （2）指明求积公式的代数精度； （3）用所求公式计算dx x x x )1(31

2+++⎰

13、（1）确定求积公式

1()()()h

h

f x dx Af h Bf x -≈-+⎰

中的参数A 、B 、1x ，使得该求积公式的代数精度尽量高， 并指出它所具有的代数精度；

(2) 确定求积公式

22()()(0)()h

h

f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰

中的参数A 、B 、C ，使得该求积公式的代数精度尽量高，并指出它所具有的代数精度。 14、证明求积公式

()()n

b

k k a

k f x dx A f x =≈∑⎰

的代数精度不超过21n +次。

15、设3

00()[,],0f x C x h x h h ∈-+>，用插值型数值微分方法证明

2

0001()[()()]()26

h f x f x h f x h f h ξ''''=+---， 00(,)x h x h ξ∈-+。

16、用LU 分解法解方程组

131231

232423726919

x x x x x x x x +=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 17、用追赶法求解三对角方程组：

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02

2112111131124321x x x x 18、设有方程组1122331101

11221012

x b x b x b ⎛⎫ ⎪

-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎪-

-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝

⎭

，试讨论用雅可比方法和高斯—赛德尔方法解此方程组的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛较快。 19、设求解方程组Ax b =的雅可比迭代格式为

(1)()k k x Bx f +=+，0,1,2,

k

=

求证：若||||1B ∞<，那么求解该方程组的高斯—赛德尔格式必收敛。

20、设),(y x f 关于y 满足李普希兹条件，证明二阶龙格-库塔公式求解初值问题

⎩⎨

⎧=='00

)()

,(y x y y x f y 时是收敛的。

21、设),(y x f 关于y 满足李普希兹条件，证明求解初值问题⎩⎨⎧=='00

)(),(y x y y x f y 的中点公式

12

121(,)

(,)22

n n n n n n y y hk k f x y h h k f x y k +=+⎧⎪⎪⎪

⎨=⎪

⎪=++⎪⎩ 是收敛的。

22、已知曲线151.03

+-=x x y 与89.14.22

-=x y 在某点处相切，切点的横坐标位于区间

[12]，上。以02x =为初值，使用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值+1k x ，使