二次函数复习专题讲义
2024 河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质 (讲义)
2024河北数学中考备考重难专题：二次函数图象与性质(讲义）考情分析年份题号题型分值考查内容设问形式探究问题202223解答题10（1）抛物线对称轴、最值、图象上点的坐标；（2）函数图象平移特点：点坐标的平移、两点间最短距离定抛物线性质探究：(1)求抛物线对称轴，最值，另一点横坐标；(2)求平移的最短距离点移动最小距离20212510（1）已知抛物线与x轴交点、与直线y=a的交点问题；（2）二次项系数a决定抛物线形状，最大值决定a＜0，顶点式中k的值，顶点式求抛物线解析式；（3）抛物线与动线段交点问题定抛物线性质探究：(1)求点横坐标，画y轴，指出点所落的台阶(2)求抛物线解析式，求对称轴(3)求横坐标最大值与最小值的差点横坐标最大值与最小值的差20192612（1）平行于坐标轴的直线、抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线对称轴与x轴交点坐标的关系；（2）直线下方的图象的函数值小于直线对应的函数值，二次函数性质求最大值；（3）平均数→中点，函数图象上点的性质；（4）直线与抛物线交点个数问题含参抛物线（y=-x2+bx）性质探究：(1)求直线、对称轴、交点坐标(2)求点与直线距离最大值(3)求两点间距离(4)求“美点”的个数美点的个数20162612（1）反比例函数k的几何意义；（2）抛物线与x轴交点坐标，对称轴；（3）二次函数性质求最值，分类讨论思想；（4）反比例函数图象与抛物线交点问题含参抛物线（y=-12(x-t)(x-t+4)）性质探究：(1)求反比例函数k的值(2)求两点间距离，两直线间距离(3)求最高点坐标(4)求参数取值范围抛物线与双曲线交点问题20152511（1）求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标；（2）抛物线与y轴交点坐标，二次函数性质求最值，二次函数增减性；（3）抛物线与线段交点问题（x轴），分类讨论思想含参抛物线（y=-(x-h)2+1）性质探究：(1)求抛物线解析式、对称轴、顶点坐标(2)求点纵坐标最大值，比较两点纵坐标大小(3)求参数h值抛物线与线段交点问题典例精讲例(2022河北定制卷改编)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与直线y＝x＋2交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B的横坐标是4，点P为抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴交AB于点C，设点P的横坐标为m.例题图(1)求抛物线的解析式；(2)若点P在直线AB下方的抛物线上，求出线段PC的最大值及此时点P的坐标；(3)若将原抛物线沿x轴平移，得到新抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，要使新抛物线与线段AB 恰好有一个交点，求n的取值范围．(4)若原抛物线沿y轴平移，平移后的抛物线顶点恰好落在直线AB上，且交另一点为F，求平移的距离，点F的坐标.选题依据：此题考查学生对二次函数图象、对称轴、顶点坐标，平移，抛物线与直线交点问题，同时考查学生分类讨论和数形结合思想方法总结知识点：待定系数法求解析式、二次函数取值范围、图象开口、增减性、对称轴、顶点坐标、平移后的二次函数解析式解题方法：对称轴：①解析式已知，直接代入x=－2；②已知抛物线与x轴两交点，直接代入x=x+y2顶点坐标：①一般式：代入顶点坐标公式；②顶点式：直接得到顶点坐标；③交点式：化为顶点式求点与点、点与直线、直线与直线之间距离，先求得点坐标或直线解析式，通过横坐标或纵坐标间距离求得1.平移的特点：①二次函数图象的平移不改变开口大小（形状）；②实质是图象上点的平移，可根据图象上任意一对对应点，即可确定平移方式，通常通过顶点来确定；2.抛物线中交点问题通常有：判断交点个数，通过交点个数求参数，抛物线与线段交点问题等，通常都是联立函数关系式，求二元一次方程组的解得以解决，在此类问题中通常会融合“整点”问题，选择满足“整点”的点即可；3.判断点是否在抛物线内问题：主要是利用极限思想，分类讨论思想，选择取值范围的两端点的x值分别代入求解即可.练习(2022河北预测卷)如图，抛物线y＝－12x2＋kx＋4(k为常数)与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B.练习题图(1)当k＝－1时．①直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标；②当－2≤x≤1时，求抛物线的最大值与最小值的差；(2)直线L：y＝6交y轴于点C，交抛物线于点M，N(M在N的左侧).当x≤12k时，抛物线的最高点到直线L的距离为2，请直接写出此时k的值．练习1(2022河北原创卷)如图所示为从游乐场的过山车抽象出来的函数图象，线段AB是一段平行于x轴的水平滑道，OA＝3，滑道B－C－D可以看作一段抛物线，最低点为C(4，2)，且D(6，3).滑道D－E－F是与滑道B－C－D的形状完全相同，开口方向相反的一段抛物线，其最高点为E，点F在x轴上，FO＝12.练习题图(1)求抛物线B－C－D的解析式及线段AB的长；(2)求抛物线D－E－F的解析式，当小车(看成点)沿滑道从A运动到F的过程中，小车距离x 轴的垂直距离为2.5时，它到出发点A的水平距离是多少？(3)现在需要对滑道E－F部分进行加固，过E作支架EK⊥x轴于点K，然后建造如图所示的水平支架PS和竖直支架PM.求所有支架(虚线部分)长度之和L的最大值及此时点M的坐标．练习2(2022河北逆袭诊断卷)如图，在平面直角坐标系中，直线l1∶y＝－12x＋2与坐标轴交于A，B两点，与抛物线l2∶y＝x2－2mx＋m2－2交于C，D，过抛物线的顶点P向x轴作垂线，交直线l1于点Q.(1)当m＝1时，求抛物线的解析式及点P的坐标；(2)若点Q的横、纵坐标都不小于0，当线段PQ取得最小值时，求△PCD的面积；(3)当抛物线与线段AB只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．练习2题图答案典例精讲例解：(1)∵直线y＝x＋2经过点A，且点A在y轴上，∴点A横坐标为0，将x＝0代入解析式y＝x＋2中，解得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)，∵直线y＝x＋2经过点B，点B的横坐标是4，∴将x＝4代入解析式y＝x＋2中，得y＝6，∴点B的坐标为(4，6).∴将点A(0，2)，点B(4，6)代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得＝2，16＋4＋＝6，得＝－3，＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－3x＋2，∴点P坐标为(m，m2－3m＋2)，∵PC⊥x轴交AB于点C，∴点C的坐标为(m，m＋2)，∴PC＝m＋2－(m2－3m＋2)＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，∵－1＜0，0＜m＜4，∴当m＝2时，PC有最大值，最大值为4，此时点P坐标为(2，0)；(3)由(1)得，抛物线解析式为y＝x2－3x＋2＝(x－32)2－14，∵将抛物线沿x轴平移n个单位长度，得到抛物线y＝(x＋n)2＋b(x＋n)＋c，∴可设抛物线解析式为y＝(x＋n)2－3(x＋n)＋2＝(x－32＋n)2－14，通过图象可知，①当抛物线经过点A时，与线段AB恰有一个交点，将点A(0，2)代入抛物线解析式，得(－32＋n)2－14＝2，解得n1＝3，n2＝0(舍去)，∴n的取值范围为0＜n≤3；②当抛物线恰好经过点B时，与线段AB恰有一个交点，将B (4，6)代入抛物线解析式，得(52＋n )2－14＝6，解得n 1＝－5，n 2＝0(舍去)，∴n 的取值范围为－5≤n ＜0.∴n 的取值范围为－5≤n ＜0或0＜n ≤3.(4)由(1)得，抛物线解析式为y ＝x 2－3x ＋2＝(x －32)2－14∵顶点坐标为(32，-14)，32代入直线解析式y ＝32＋2=72，顶点坐标为(32，72)，∴平移距离=14+72=154，∴平移后抛物线y ＝(x －32)2+72，联立＝(－32)2+72＝+2，解得x ＝52x ＝32当＝32时，交点为平移后抛物线顶点坐标(32，72)当＝52时，交点F 坐标为(32，92).课堂练兵解：(1)①对称轴为直线x ＝－1，顶点坐标为(－1，92)；【解法提示】∵k ＝－1，∴y ＝－12x 2－x ＋4＝－12(x ＋1)2＋92x ＝－1，顶点坐标为(－1，92).②由①得，抛物线y ＝－12x 2－x ＋4的对称轴为直线x ＝－1，12＜0，∴当－2≤x ≤－1时，y 随x 的增大而增大，当－1＜x ≤1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝－1时，抛物线有最大值为92，∵－1－(－2)＝1，1－(－1)＝2，∴当x ＝1时，抛物线有最小值，最小值为52，∴当－2≤x ≤1时，抛物线的最大值为92，最小值为52，9－5＝2；(2)k的值为－22或436.【解法提示】设直线x＝12k交抛物线于点P，抛物线的顶点为R，∵y＝－12x2＋kx＋4＝－12(x－k)2＋12k2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝k，顶点R的坐标为(k，12k2＋4)，当x＝12k时，y＝－12×(12k)2＋k×12k＋4＝38k2＋4，∴P(12k，38k2＋4).当k＜0时，如解图①，当x≤12k时，最高点为R(k，12k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，12k2＋4－6＝2，解得k＝－22或k＝22(舍去)；当k≥0时，如解图②，当x≤12k时，抛物线的最高点为P(12k，38k2＋4)，∵抛物线的最高点到直线L的距离为2，38k2＋4－6＝2，解得k＝436或k＝－436(不符合题意，舍去).综上所述，k的值为－22或436.解图②解图①课堂小练练习1解：(1)∵抛物线B－C－D的顶点为C(4，2)，∴设抛物线B－C－D的解析式为y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，代入点D(6，3)得3＝a(6－4)2＋2，解得a＝14，∴抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2.∵AB∥x轴，且OA＝3，∴点B的纵坐标为3，令1(x－4)2＋2＝3，解得x1＝2，x2＝6，∵点D(6，3)，∴点B的坐标为(2，3)，∵点A在y轴上，∴AB＝2；(2)∵抛物线D－E－F与抛物线B－C－D的形状完全相同，由(1)得抛物线B－C－D的解析式为y＝14(x－4)2＋2，∴设抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－h)2＋k，∵FO＝12，∴F(12，0)，－14（6－ℎ）2＋＝3ℎ＝8＝4.将点D(6，3)，F(12，0)代入，可得－14（12－ℎ）2＋＝0，解得∴抛物线D－E－F的解析式为y＝－14(x－8)2＋4.当小车距离x轴的垂直距离是2.5时，则2.5＝14(x－4)2＋2，解得x＝4±2，或2.5＝－14(x－8)2＋4，解得x1＝8＋6，x2＝8－6(不合题意，舍去)，∴小车到出发点A的水平距离为4＋2或4－2或8＋6；(3)由抛物线y＝－14(x－8)2＋4，可得E(8，4)，∴EK＝4，K(8，0)，设M(d，0)(8＜d＜12)，∴点P(d，－14(d－8)2＋4)，则S P＝d－8，PM＝－14(d－8)2＋4，∴所有支架的长度和L＝d－8＋[－14(d－8)2＋4]＋4，化简得L＝－14(d－10)2＋9，∵8＜d＜1214＜0，∴当d＝10时，L有最大值，最大值为9.此时点M的坐标为(10，0)练习2解：(1)∵m＝1，y＝x2－2mx＋m2－2，∴将m＝1代入y＝x2－2mx＋m2－2，得到抛物线的解析式为y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，∵点P为抛物线的顶点，∴点P的坐标为(1，－2)；(2)∵抛物线y＝x2－2mx＋m2－2＝(x－m)2－2，∴顶点P在直线y＝－2上，∵点Q 的横、纵坐标都不小于0，∴点Q 在线段AB 上，如解图，当点Q 与点B 重合时，线段PQ 的值最小，过点C ，D 分别作PQ 所在直线的垂线，垂足分别为E ，F ，∵点B 的坐标为(4，0)，∴x ＝－－2m 2＝m ＝4，∴抛物线的解析式为y ＝x 2－8x ＋14，＝x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，可得x 2－8x ＋14＝－12x ＋2，解得x 1＝15＋334，x 2＝15－334，∴CE ＋DF ＝x 1－x 2＝332，∴S △PCD ＝S △PBC ＋S △PBD＝12PB ·CE ＋12PB ·DF ＝12PB ·(CE ＋DF )＝12×2×332＝332；解图(3)m 的取值范围为－2≤m ＜2或4－2＜m ≤4＋2.【解法提示】分两种情况讨论：①当抛物线过点A时，可得m2－2＝2，解得m＝2或m＝－2，当m＝2时，抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2，＝x2－4x＋2＝－12x＋2，可得x2－4x＋2＝－12x＋2，解得x1＝0或x2＝72，∵x2＝72＜4，∴两交点都在线段AB上，∴－2≤m＜2；②当抛物线过点B时，可得(4－m)2－2＝0，解得m＝4＋2或m＝4－2，∴4－2＜m≤4＋ 2.。
二次函数复习ppt课件
3.求下列二次函数的开口方向,对称轴,顶点坐标.
y=x2 - 2x + 3 y= -2x2 - 4x - 6
解:y=x2-2x+1+2 =(x-1)2+2
y
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6.二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四象限
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
二次函数复习
6.二次函数的应用
1. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有 二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
解：(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
x
7.已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷ b=2a 其中正确的结论的个数是（ D） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
-1 0 1
x
要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方 向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、y轴的 交点的位置，注意运用数形结合的思想。
二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
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基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
二次函数复习全部讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。
这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。
一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ） A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。
三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4m D.有最小值4m- 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＜0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＞0，c ＜0五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,45y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( )A ．123y y y <<B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y << 六、二次函数的平移例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）A. 2(1)3y x =---B. 2(1)3y x =-+-C. 2(1)3y x =--+D. 2(1)3y x =-++例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（ ）A.1)1(32---=x yB. 1)1(32-+-=x yC.1)1(32+--=x yD. 1)1(32++-=x y例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0).(1) 求该二次函数解析式;(2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标.（1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式． （2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）A ．2006 B ．2007C ．2008D ．2009八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为 ． 例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 。
二次函数复习讲义
AB F ED C二次函数复习讲义一、知识框架二、具体问题讲解（一）解析式的获取问题 1. 列取例1：正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，F 是CD 上一点，且AE=AF ，设⊿AEF 的面积为y ，EC 的长为x ，求y 与x 的函数关系式，写出自变量的取值范围。
例2：某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可售出20件。
现需降价处理，经过市场调查：每件服装每降价2元，每天可多售出1件。
在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x 元，每天售出服装的利润为y 元，确定y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围。
例3：如图，在⊿ABC 中，∠B=900，AB=12cm ，BC=24cm ，动点P 从点A 开始沿着AB 向B 以2cm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿着BC 向C 以4cm/s 的速度移动（不与点C 重合）。
假设P 、O 分别从A 、B 同时出发，设运动的时间为x s ，四边形APQC 的面积为ycm 2. ⑴求y 与x 之间的关系式，并确定自变量的取值范围；⑵四边形APQC 面积能否成为172cm 2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由。
练：1.在半径为4米的圆中，挖一个半径为xcm 的圆，剩下的圆环面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 2.国家决定对某种药品价格分两次降价，若设平均每次的降价率为x ，该药品的原价为18元，降价后的药价为y 元，则y 与x 的函数关系式为 。
3.如图，一矩形场地，两边长分别是80m 、60m ，先欲在场地内修两条宽为xm 的小路，剩余局部的面积为ym 2，则y 与x 之间的关系式为 。
4.某市园丁居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m ）的空地上修建一个矩形花园ABCD 。
花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成。
如下列图，若设花园BC 边的边长为xm ，花园的面积为Sm 2.则S 与x 的函数关系式为 ；自变量的取值范围为 。
二次函数阶段专题复习课件
二次函数阶段专题复习课件xx年xx月xx日•二次函数的概念与性质•二次函数的图像与变换•二次函数的应用与综合•二次函数的解析方法与技巧目•二次函数阶段测试题及解析•二次函数阶段复习总结与展望录01二次函数的概念与性质二次函数是指形如`y = ax^2 + bx + c`（其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。
总结词二次函数的一般形式是`y = ax^2 + bx + c`，其中a、b、c为常数，且a≠0。
a称为二次项系数，b称为一次项系数，c为常数项。
详细描述定义与表达式总结词二次函数的开口方向由a决定，顶点坐标由公式`(-b/2a, (4ac - b^2) / 4a)`获得。
详细描述a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
顶点坐标为二次函数的对称轴与y轴的交点，可以通过公式`(-b/2a, (4ac - b^2) / 4a)`获得。
开口方向与顶点坐标总结词二次函数具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a，且在对称轴两侧存在最值。
详细描述二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴为x=-b/2a。
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值；当a<0时，函数在x=-b/2a处取得最大值。
轴对称与最值02二次函数的图像与变换总结词了解图像形状与特征详细描述通过观察二次函数的图像，可以发现它具有一些特殊的形状和特征。
例如，开口方向、对称轴、顶点等。
这些特征可以用来判断函数的性质和解决问题。
图像的绘制与特征总结词掌握平移与伸缩变换规律详细描述通过平移和伸缩二次函数的图像，可以得到更多具有不同形状和特征的函数图像。
平移主要通过改变函数的解析式实现，而伸缩则可以通过改变函数中的系数实现。
图像的平移与伸缩变换总结词理解对称与旋转变换概念详细描述二次函数的图像具有一些对称性和旋转性质。
例如，对于一些函数，通过沿坐标轴对折或者旋转一定角度，可以得到其他函数的图像。
这些变换可以帮助我们发现函数之间的联系和规律。
二次函数复习讲义
二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。
其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。
抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。
二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。
设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。
2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。
设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。
3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。
顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。
标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。
三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。
2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。
3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
二次函数(复习课)课件
伸缩变换包括横向伸缩和纵向伸缩。横向伸缩是指将图像在x轴方向上进行放大或缩小，纵向伸缩是指将图像在y轴方向上进行放大或缩小。具体来说，对于函数y=ax^2+bx+c，若图像在x轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(kx)^2+b(kx)+c；若图像在y轴方向上放大k倍，则新的函数为y=a(x)+b(x)/k+ck。通过这两种伸缩变换，我们可以得到原函数的放缩版函数。
02
二次函数的解析式
总结词
二次函数的一般形式是 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
详细描述
一般式是二次函数的基本形式，它包含了二次函数的最高次项、一次项和常数项。通过一般式可以明确地看出函数的开口方向和开口大小，由系数 $a$ 决定。
VS
二次函数的顶点形式是 $y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是函数的顶点坐标。
总结词
实际应用问题
总结词
与其他函数的综合
总结词
与几何图形的结合
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06
总结词
详细描述
总结词与图像关系
这类问题需要探讨二次函数的系数与图像之间的关系，如开口大小、对称轴位置等。
一题多解法
这类问题通常有多种解法，需要灵活运用二次函数的性质和图像，寻找最简便的解法。
详细描述
二次函数具有对称性，其对称轴为直线$x = -frac{b}{2a}$。此外，二次函数的开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
二次函数复习专题讲义
第１-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a不能为零,,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
高中数学-二次函数-精华讲义
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式f(x) = ax2+bx + c f首先需要考虑d是否等于0,若∏ = 0,则函数不是二次函数.2.二次函数的三种表现形式1 ) 一般式：y = Cix2+bx+c(a≠O)2)顶点式：y = a(x-h)2+k(a ≠0)此时二次函数的顶点坐标为(h,k);3)分解式：y = ^(%-Λ-1)(Λ-x2)其中为、勺是二次函数的与兀轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线X =送卫.3.二次函数的图像与性质①开口方向：当d>0,函数开口方向向上；当d<0,函数开口方向向下；②对称轴：Ici③顶点坐标：(-2，也二)；若图象与X轴有两个交点，分别为M I U I,0), M2(X2,O),2a 4a则∣Λ∕1Λf2∣=∣x1-X2∣ = -φ.④增减性⑤最值("R):当α>0时，函数有最小值，并且当A =-^- , y n∙n = ^Ic~h-；当d<0时,2a 4a函数有最大值，并且当X=斗时，),πm=色工•；3 4a⑥与尤轴的交点个数：当厶=b' -4心>0时，函数与X轴有两个不同的交点；△〈()时，函数尤轴没有交点；△二0时，函数与兀轴有一个交点.4.二次函数根的由来 ---- 配方法b z∙对cιx2+bx+c = (Xa≠O)进行配方，变换为√+-Λ+-=0,由于完全平方是：a aa2 +2ab + b2 =(a+bY艮卩x2 +2ax+a1 =(x+a)29所以要变扌奂为x2 +-x + -^+ - = 0 ,变a4cΓ 4cΓ a换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.Λ(X+⅛=X-S=≤Ξ±^∙从而得到，2a 4tr a 4a在b2-4ac≥0时有解，Y=^±√^-4∑c;若F-4M≤0,此时无解.2a5.有关一元二次方程判别式T2-4ac ,联系韦达定理D Δ>0有两个不等实根；△二O表示有两个相等实根，△<()表示没有实数根，实际就是(x + d), = /?, P < O 的情况.2)。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
1、什么叫做二次函数？它的图象是什么？ 它的对称轴、顶点坐标各是什么？
答：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的二次 函数。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直
线x=
b 2a
,顶点坐标是（
b 2a
，
4ac b 2 4a
）。
2、二次函数的解析式有哪几种？
有三种：⑴一般式：y = ax2+bx+c(a≠0) ⑵顶点式：y = a(x-h)2+k 顶点 为(h,k) ⑶交点式：y = a(x-x1)(x-x2) 与x轴两交 点:(x1,0),(x2,0)
b 4ac b 2 ⑷顶点坐标是（ 2 a ， 4a
）。
⑸△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况： ① △＞0＜＝＞抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0＜＝＞抛物线与x轴有唯一的公式点； ③ △＜0＜＝＞抛物线与x轴无交点。 ⑹二次函数的最大、最小值由a决定。
例 2 、已知函数 y = ax2 +bx +c 的图象如下图所示， x= 1 3 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c的一些什么结论？ 【分析与参考答案】 y 首先观察到二次函数的图象为抛物 1 线，其对称轴为直线x= 3 ，抛物线 1 与x轴有两个交点，交点的横坐标其 3 -1 0 1 x 一大于1，另一个介于-1与0之间，抛 物线开口向上，顶点的纵坐标及抛 -1 物线与 y 轴的交点的纵坐标均介于 -1 与0之间，由此可得如下结论： b 1 ⑴a＞0; ⑵-1＜c＜0; ⑶b2-4ac＞0; ⑷∵ 2a 3 ,∴2a=-3b; ⑸由⑴，(4)得b＜0; ⑹由⑴,⑵,⑸得abc＞0; ⑺考虑x = 1时y＜0，所以有a+b+c＜0; ⑻又x = -1时y＞0，所以有a-b+c＞0; ⑼考虑顶点的纵坐标，有0＜cb2 ＜-1。 4a
二次函数专题复习讲义
二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念,二次函数的图象性质,抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主,也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线,它的对称轴是直线x=-2b a ,顶点坐标是-2b a,244ac b a -.例1 已知,在同一直角坐标系中,反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，． 1求m 、c 的值；2求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中,当a>0时,开口向上,在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大；当a<0时,开口向下,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大,在对称轴的右侧,y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示,则y ax b =-的图象一定过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0k<0时,抛物线y=ax 2+ka ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向上或向下平移|k|个单位得到；当h>0h<0时,抛物线y=ax-h 2a ≠0的图象可由抛物线y=ax 2向右或向左平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位,得到的抛物线是=3x+22=3x-22=3x 2+2 =3x 2-2 专题练习11.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-,下列说法正确的是A.开口向下,顶点坐标为5,3B.开口向上,顶点坐标为5,3C.开口向下,顶点坐标为-5,3D.开口向上,顶点坐标为-5,3 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为0,-3,则下列说法不正确的是 A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时,y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为-1,0,3,03.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度后,所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中,观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->,你认为其中正确信息的个数有_______.填序号专题复习二：二次函数表达式的确定图1图2本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1,用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙墙的长度不限的矩形菜园ABCD ,设AB 边长为x 米,则菜园的面积y 单位：米2与x 单位：米的函数关系式为 不要求写出自变量x 的取值范围．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标,则可用一般式：y=ax 2+bx+ca ≠0；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大小值及抛物线上另一个点的坐标,则可用顶点式：y=ax-h 2+ka ≠0； 3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点,则可用交点式：y=ax-x 1x-x 2a ≠0. 例2 已知抛物线的图象以A-1,4为顶点,且过点B2,-5,求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A-2,0、B1,0,且经过点C2,8.1求该抛物线的解析式； 2求该抛物线的顶点坐标.专项练习21.由于世界金融危机的不断蔓延,世界经济受到严重冲击.为了盘活资金,减少损失,某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y 元,原价为a 元,则y 与x 之间的函数表达式为 =2ax-1 =2a1-x =a1-x 2=a1-x22.如图2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,点A 在x 轴负半轴,点B 在x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且tan∠ACO=12,CO=BO,AB=3,则这条抛物线的函数解析式是 ． 3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点0,-2,且x=1时,y=3；x=-1时y=1, 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，,(23)B -，,(10)C -，．1求此二次函数的关系式； 2求此二次函数图象的顶点坐标；3填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位,使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根,由图象判断一元二次方程根的情况,由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等,题型主要填空题、选择题和解答题. 考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值,确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.ABC D图1菜园墙图2例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值,判断方程ax 2+bx+c=0a ≠0,a,b,c,为常数的一个解x 的范围是Ａ．6 6.17x << Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示,则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________. 考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时,则一元二次方程ax 2相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时,则一元二次方程ax 2实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中,抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是专项练习31.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点,则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示,则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示,那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示,根据图象解答下列问题：1写出方程20ax bx c ++=的两个根．2写出不等式20ax bx c ++>的解集．3写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．4若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围．图2专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型,根据二次函数的最值解决实际问题,能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：1理解问题；2分析问题中的变量和常量；3用函数表达式表示出它们之间的关系；4利用二次函数的有关性质进行求解；5检验结果的合理性,对问题加以拓展等.例1某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台．1假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是y元,请写出y与x之间的函数表达式；不要求写自变量的取值范围2商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元3每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高最高利润是多少专题训练41.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地,矩形面积S单位：平方米随矩形一边长x单位：米的变化而变化．1求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；2当x是多少时,矩形场地面积S最大最大面积是多少2.某旅行社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满.旅社装修后要提高租金,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加5元时,则客房每天出租数就会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高3.一座拱桥的轮廓是抛物线型如图1所示,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m．1将抛物线放在所给的直角坐标系中如图2所示,求抛物线的解析式；2求支柱EF的长度；3拱桥下地平面是双向行车道正中间是一条宽2m的隔离带,其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车汽车间的间隔忽略不计请说明你的理由．x图1。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)PPT课件
面积问题
面积问题
在二次函数中，可以通过求函数与坐标轴的交点来计算图形的面积。例如，当函数与x轴交于两点时 ，可以计算这两点之间的面积；当函数与y轴交于一点时，可以计算这一点与原点之间的面积。这些 方法在解决实际问题时非常有用，例如在计算利润、产量等方面。
求解方法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求出二次函数与x轴和y轴的交点坐标，然后根据这些坐标计算图形的面积。对于更复杂的问题，可能 需要使用积分或其他数学方法来求解。
05
综合练习与提高
基础练习题
巩固基础 覆盖全面 由浅入深
基础练习题主要针对二次函数的基本概念、性质和公 式进行设计，旨在帮助学生巩固基础知识，提高解题的 准确性和速度。
基础练习题应涵盖二次函数的各个方面，包括开口方 向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点等，确保学生 对二次函数有全面的了解。
题目难度应从易到难，逐步引导学生深入理解二次函 数，从简单的计算到复杂的综合题，逐步提高学生的解 题能力。
初三数学复习《二次函数》(专题复习)ppt课 件
目录 Contents
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的解析式 • 二次函数的图像与性质 • 二次函数的实际应用 • 综合练习与提高
01
二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
理解二次函数的定义是掌握其性 质和图像的基础。
详细描述
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$是 常数，且$a neq 0$。这个定义表 明二次函数具有两个变量$x$和 $y$，并且$x$的最高次数为2。
03
二次函数的图像与性质
开口方向
总结词：根据二次项系数a的正负判断开口方向 a>0时，开口向上
二次函数复习专题讲义全
二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。
2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。
3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。
4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
6.对称轴：为x=-b/2a。
7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。
8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。
9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。
10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。
其中，顶点式和交点式可以相互转换。
注意，a≠0，而b和c可以为零。
1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。
2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。
当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。
3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。
当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。
4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。
5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。
第1讲二次函数的图象和性质复习课件(共39张PPT)
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第二种是在瑞典本国流行的说法．在诺贝尔立遗嘱期 间，瑞典最有名望的数学家就是米塔格·勒弗列尔，诺贝尔 很明白，如果设立数学奖，这项奖金在当时必然会授予这位 数学家，而诺贝尔很不喜欢他．所以诺贝尔不设立数学奖．
全效优等生
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全效优等生
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从函数图象中获取信息 a的作用：决定开口的方向和大小． (1)a＞0开口向上，a＜0开口向下； (2)a越大，抛物线的开口越小． b的作用：决定顶点的位置． 左(对称轴在y轴左边) 同(a，b同号) 右(对称轴在y轴右边) 异(a，b异号) c的作用：决定抛物线与y轴交点的位置． 上(抛物线与y轴的交点在y轴正半轴)
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【解析】 ①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为－1，3， ∴AB＝4， ∴对称轴 x＝－2ba＝1， 即2a＋b＝0， 故①错误； ②根据图示可知，当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c＜0， 故②错误； ③∵点A的坐标为(－1，0)， ∴a－b＋c＝0，且b＝－2a， ∴a＋2a＋c＝0，即c＝－3a， 故③正确；
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第一章 二次函数
第1讲 二次函数的图象和性质
全效优等生
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诺贝尔为什么没有设数学奖 诺贝尔奖在全世界有很高的地位，许多科学家梦想着能 获得诺贝尔奖．数学被誉为“科学女皇的骑士”却得不到每年由 瑞典科学院颁发的诺贝尔奖，过去没有，将来也不会有．因为 瑞典著名化学家诺贝尔留下的遗嘱中没有提出设立数学奖．对 此，外界流传着两种说法． 第一种是在法国和美国流行的说法．与诺贝尔同时期的 瑞典著名数学家米塔格·勒弗列尔曾是俄国彼得堡科学院的外 籍院士，后来又是前苏联科学院的外籍院士．米塔格·勒弗列 尔曾侵犯过诺贝尔的夫人，诺贝尔对他非常厌恶．为了对他所 从事的数学研究进行报复，所以诺贝尔不设立数学奖．
二次函数复习课课件
对称变换
总结词
对称变换是指二次函数的图像关 于某条直线进行对称。
详细描述
对称变换包括关于x轴、y轴或原点 对称。在对称变换过程中，二次函 数的开口方向、顶点和对称轴等性 质可能发生变化。
举例
将二次函数$f(x) = x^2 - 2x$的图 像关于x轴对称，得到新的函数$f(x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x$。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数$a$决定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线。 当$a > 0$时，抛物线开口向上； 当$a < 0$时，抛物线开口向下。 抛物线的对称轴是直线$x = frac{b}{2a}$，顶点位于该对称轴 上，坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
顶点式是二次函数的一种特殊形式，它通过完全平方的形式简化了函数表达式 ，使得函数图像的顶点和对称轴更加直观。顶点式在解决与二次函数顶点相关 的问题时非常有用。
交点式
总结词
二次函数的交点式为y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2为函数与x轴的交点。
详细描述
交点式是二次函数的一种特殊形式，它通过将函数表示为两个一次因式的乘积， 突出了函数与x轴的交点。交点式在解决与二次函数与x轴交点相关的问题时非常 有用。
03
二次函数的图像变换
平移变换
总结词
平移变换是指二次函数的图像在 平面坐标系中沿x轴或y轴方向移
动。
详细描述
平移变换包括向左或向右移动图 像，以及向上或向下移动图像。 在平移过程中，二次函数的开口 方向、顶点和对称轴等性质保持
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
二次函数专题全解教学讲义
二次函数专题全解教学讲义第一讲：二次函数基础知识讲解知识网络二次函数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→二次函数的应用程的关系二次函数与一元二次方二次函数的平移图象及性质解析式的求法两点式顶点式一般式分类解析式数含义二次函数一般式中的系定义（或判定）考点解读考点1：二次函数的概念:y=ax 2＋bx+c(a ≠０，a 、b 、c 为常数)的函数叫做二次函数.判断二次函数的三要素，缺一不可:①函数关系式是整数；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项的系数不为0.考点2.抛物线y=ax 2＋bx+c 中系数a 、b 、c 的作用(1)a 的作用：a 的符号决定抛物线的开口方向．a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下．a 的绝对值决定抛物线的开口大小.|a|越大，抛物线开口越小．(2)b 与a 共同决定对称轴的位置：若a 、b 同号，则对称轴位于y 轴左侧；若a 、b 异号，则对称轴位于y 轴右侧；若b=0，则对称轴是y 轴．（可简单记忆为“左同右异”，一定要自己推导一篇，不但要把对称轴的横坐标和0作比较，还要联想到可以吧对称轴的横坐标和1，-1做比较）(3)c 的作用：c 的符号决定抛物线与y 轴的交点位置．若c>0，则抛物线交y 轴于正半轴；若c<0，则抛物线交y 轴于负半轴；若c=0，则抛物线过原点．c 的值就是抛物线与y 轴交点的纵坐标．（4）b 2-4ac 决定抛物线与x 轴交点的个数（5）a+b+c ，a-b+c 是分别横坐标为1，-1是y 的取值. 考点3 二次函数的解析式1.二次函数的解析式的三种设法：（1）一般式：y=ax2＋bx+c (a≠０，a、b、c为常数);（2）顶点式： y=a(x-h) 2＋k(a≠０，a、h、k为常数);（3）两点式：y=a(x-x1）（x-x2）(a≠０，a、x1、x2为常数)．2.二次函数解析式的求法（1）若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得y=ax2＋bx+c;（2）若已知抛物线的顶点坐标或对称轴，则可采用顶点式；（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式：y=a(x-x1）（x-x2），其中与x轴的交点坐标为（x1，０），（x2，０）．考点4 二次函数的图象和性质考点5 二次函数图象的画法y=ax2＋bx+c的步骤：①把二次函数y=ax2＋bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)2＋k(a≠0)的形式；②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图．考点6 二次函数图象的平移:“上加下减，左加右减”（1）将y=ax2的图象向上(c>0)或向下(c<0)平移｜c｜个单位，即可得到y=ax2＋c的图象．其顶点是(0，c).形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同．（2）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，即可得到y=a(x-h) 2的图象．其顶点是(h,0)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．（3）将y=ax2的图象向左(h<0)或向右(h>0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x-h)2＋k的图象，其顶点是(h,k)，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．考点7 二次函数与一元二次方程的关系（1）一元二次方程ax2＋bx+c＝0就是二次函数y=ax2＋bx+c当函数y的值为0时的情况．（2）当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax2＋bx+c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax2＋bx+c=0没有实数根．考点8 二次函数的应用函数的应用指的是运用函数概念建立函数模型，研究、解决某些实际问题的过程和方法，它包括两个方面：(1)用二次函数表示实际问题中变量之间的关系；(2)用二次函数解决实际问题中的最优化问题，其实质就是求函数的最大(小)值．课后测验一、填空题1、已知函数y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则m=______________.2、二次函数y=-x2-2x的对称轴是x=_____________3、函数s=2t-t2,当t=___________时有最大值,最大值是__________.4、已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=__________.5、抛物线y=-3(x+2)2的顶点坐标是_____,若将它旋转180º后得新的抛物线,其解析式为_________.6、抛物线y=5x-5x2+m的顶点在x轴上,则m=_____________________.7已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是___________________.8、已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A,B两点,在x轴上方的抛物线上有一点C,且△ABC的面积等于10,则点C的坐标为________.9、把抛物线y=2(x+1)2向下平移____单位后,所得抛物线在x轴上截得的线段长为5.10、如果二次函数y=x2-3x-2k,不论x取任何实数,都有y>0,则k的取值范围是________11、已知二次函数y=kx2+(2k-1)x-1与x轴交点的横坐标为x1,x2(x1<x2),则对于下列结论:(1) 当x= -2时,y=1;(2) 当x> x2时,y>0;(3)方程kx2+(2k-1)x-1=0有两个不相等的实数根x1,x2;(4) x1<-1,x2>-1;(5) x2 -x1=,其中正确的结论有：_ __ _(只需填写序号)12、已知二次函数y=x2-2(m-1)x-1-m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0), x1<0<x2,与y轴交于点C, 且满足OC(OB-OA)=2OA·OB,则该二次函数的解析式为______ _ ___二.选择题13.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( )(A) (1,1) (B) (-1,1) (C) (1,-1) (D) (-1,-1)14.抛物线y=-x2+x+7与坐标轴的交点个数为( )(A) 3个(B) 2个(C) 1个(D) 0个15.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2-3x+5,则有( )(A) b=3,c=7 (B) b=-9,c=-15 (C) b=3,c=3 (D) b=-9,c=2116.若二次函数y=ax2+c,当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则当x取x1+x2时,函数值为（）(A) a+c (B) a-c (C) -c (D) c17.当a,b为实数，二次函数y=a(x-1)2+b的最小值为-1时有( )(A) a<b (B) a=b (C) a>b (D) a≥b18.已知函数y=3x2-6x+k(k为常数)的图象经过点A(0.85,y1)，B(1.1,y2),C(2,y3),则有( )(A) y1<y2<y3(B) y1>y2>y3(C) y3>y1>y2(D) y1>y3>y219如果二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y=2x2-x-1的图象的对称轴上，那么一定有( ) (A) a=2或-2 (B) a=2b (C) a=-2b (D) a=2,b= -1,c=-120抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(-1,0)，且满足4a+2b+c>0.以下结论(1)a+b>0;(2)a+c>0;(3)-a+b+c>0;(4)b2-2ac>5a2其中正确的个数有( )(A) 1个(B) 2个(C) 3个(D) 4个三解答题：21．已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x>0时，求使y≥2的x的取值范围。
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第1-3讲 二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架※二、清单梳理1、一般的，形如2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。
例如222212,26,4,5963y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。
注意：系数a不能为零，,b c 可以为零。
2、二次函数的三种解析式（表达式）2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ⎧=≠⎧⎪⎪⎪><⎨⎪><>⎧⎪⎨⎪<<>⎩⎩最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即）,随的增大而增大。
增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即）,随的增大而减小。
二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩=++≠⎧><⎪⎪-⎪⎨⎪⎪=⎪⎩--><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。
开口方向：，开口向上；，开口向下。
图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪<>⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪<<>⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩边（即-）,随的增大而减小。
在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。
当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。
在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。
待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩①一般式：2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数②顶点式：2()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系 ①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。
当0a>时，开口方向向上；当0a <时，开口方向向下。
||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。
反之，也成立。
②c ：决定抛物线与y 轴交点的位置。
当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物线过原点。
反之，也成立。
③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。
当02b a ->时，对称轴在y 轴右边；当02ba-<时，对称轴在y 轴左边；当02ba-=（即当0b =时）对称轴为y 轴。
反之，也成立。
④特别：当1x=时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。
反之也成立。
4、二次函数2()y a x h k =-+的图像可由抛物线2y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。
具体为：当0h >时，抛物线2y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2y ax =向左平移h -个单位，得到2()y a x h =-；当0k >时，抛物线2()y a x h =-再向上平移k 个单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的图像。
5、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的关系：①若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴有两个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。
②若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴有一个交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实根（即一根）。
③若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x轴无交点，则一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实根。
6、二次函数2(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的图像与性质【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =23.4D y x=- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中281y x =+符合2(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数和反比例函数，D 中右边234x-不是整式，显然不是二次函数。
【答案】A【例2】已知函数2234(2)3(1)m m y mm x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。
【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x 的最高次数为2”。
故有2220342m m m m ⎧-≠⎪⎨-+=⎪⎩，解得0212m m m m ≠≠⎧⎨==⎩且或，综上所述，m 取1。
【答案】1 【针对训练】 1、若函数22(2)m y m x mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。
考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】已知点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，则a 的值是（）2.A 2.-B .C 2± 2.±D【解析】因为点()8,a 在二次函数2ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2ax y =中，可以得出3a 8=，则可得2=a ，【答案】.A【例2】（2011，泰安）若二次函数c bx ax y ++=2的x 与y 的部分对应值如下表，则当1-=x 时，y 的值为（ ）x7- 6- 5- 4- 3- 2-y27- 13- 3-3 535.A 3.-B 13.-C 27-【解析】设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2，因为当4-=x 或2-时，3=y ，由抛物线的对称性可知3-=h ，5=h ，所以()532++=x a y ，把()3,2-代入得，2-=a ，所以二次函数的解析式为()5322++-=x y ，当3=x 时，27-=y 。
【答案】C 【针对训练】1、(2002年太原)过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）.A ()2,1 2.(1,)3B ()5,1.-C 14.(2,)3D2、无论m 为何实数，二次函数2x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D【例3】（2010，石家庄一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象顶点为()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）.A 22+=x y .B ()222+-=x y .C ()222--=x y .D ()222-+=x y【解析】设这个二次函数的关系式为()222-+=x a y ，将()2,0B 代入得()22022-+=，解得：1=a ，故这个二次函数的关系式是()222-+=x y ，【答案】D【针对训练】考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）【例1】（2012，兰州）已知二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系为（ ）.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数b x a y -+=2)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a，1=-b ，1-=b ，所以b a >。
【答案】.A 【针对训练】1、二次函数1422--=x x y 的最小值是 。
2、（2013，兰州）二次函数3)1(22+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ）.A )31(， .B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）.A )11(--， .B )11(，- .C )11(， .D )11(-，【例2】（2012，兰州）抛物线3)2(2-+=x y 可以由抛物线2x y =平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）.A 先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 .B 先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 .C 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 .D 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线2x y =向左平移2个单位可得到抛物线2)2(+=x y ，再向下平移3个单位可得到抛物线3)2(2-+=x y 。
【答案】.B【针对训练】1、（2012，南京）已知下列函数：（1）2x y =；（2）2x y -=；（3）2)1(2+-=x y 。
其中，图象通过平移可以得到函数322-+=x x y 的图象的有 （填写所有正确选项的序号）。
2、（2009，上海）将抛物线22-=x y 向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 。
3、将抛物线2x y -=向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（ ）.A 22+-=x y .B 2)2(+-=x y .C 2)2(--=x y .D 22--=x y4、将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单位，在向左平移4个单位得到抛物线2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是__________。
【例3】（2013，长沙）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式错误的是（ ）.A 0>a .B 0>c .C 042>-ac b .D 0>++c b a【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，与x 轴有两个交点，所以0>a ，0>c ，042>-ac b ，且当1=x 时，0<++=c b a y 。