矢量分析

y
ˆ ˆ ˆ ( Ay Bz Az By )ax ( Az Bx Ax Bz )ay ( Ax By Ay Bx )az
两矢量的叉积又可表示为：
ˆ ax A B Ax Bx
ˆ ay Ay By
ˆ az Az Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
中的标量 a、b、c。
求： r4 ar1 br2 cr3
ˆ ˆ ˆ 解： 3ax 2ay 5az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ a(2ax ay az ) b(ax 3ay 2az ) c(2ax ay 3az )
ˆ ˆ ˆ (2a b 2c)ax (a 3b c)a y (a 2b 3c)az
h BC
A
含义： 标量三重积结果为三矢量构成 的平行六面体的体积 。

C

B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A ( B C ) C ( A B) B (C A)
h BC
注意：先后轮换次序。
在直角坐标系中两矢量的减法运算：
ˆ ˆ ˆ A B ( Ax Bx ) ax ( Ay By )a y ( Az Bz ) az
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法： （1）标量与矢量的乘积：
ˆ kA k | A | a k 0 方向不变，大小为|k|倍 k 0 k 0 方向相反，大小为|k|倍
A (B C) A B A C
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。 •在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即
ˆ ˆ ax ay 0, ˆ ˆ ax ax 1, ˆ ˆ ax az 0, ˆ ˆ ay ay 1, ˆ ˆ ay az 0 ˆ ˆ az az 1
( A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
A ( B C ) 标量，标量三重积。 A ( B C ) 矢量，矢量三重积。
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
定义： A B C | A || B || C | sin cos
（2）矢量与矢量乘积分两种定义 a. 标量积（点积）：
A B | A | | B | cos

B
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积， 其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律 推论2：满足分配律
A B B A
有两矢量点积：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( Ax ax Ay ay Az az ) (Bx ax By ay Bz az )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
三个方向的单位矢量用 ax , a y , az 表示。 ˆ ˆ ˆ 根据矢量加法运算：
Az
z
A
A Ax Ay Az
其中：
Ax
o
Ay
y
x
ˆ ˆ ˆ Ax Ax ax , Ay Ay ay , Az Az az
所以： A Ax ax Ay a y Az az ˆ ˆ ˆ
体元： dV rdrd dz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 球坐标系 在球坐标系中，坐标变量为 ( R, , )，如图，做一微分体元。 线元： dl dRaR Rd a R sin da 面元： 2 dSR R sin d daR dS R sin dRda
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。 、电场 等 如:力F 、速度 v E ˆ 矢量表示为： A | A | a
其中： | A | 为矢量的模，表示该矢量的大小。
ˆ a 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
C
b
B
c a k (b a )
y
x
c (1 k )a kb
其中：k 为任意非零实数。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
三、矢量微分元：线元、面元、体元
例：
其中：dl , dS 和
F dl , B dS ,
dV
dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 ˆ ˆ 线元： dlx dxax 面元： dS x dydzax ˆ dS y dxdza y ˆ dl y dya y ˆ dS z dxdyaz ˆ dlz dzaz 体元： dV dxdydz ˆ ˆ ˆ dl dxax dyay dzaz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2. 圆柱坐标系 在圆柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z)，如图，做一微分体元。 线元：
dl drar rda dzaz
面元： dS rddza r r dS drdza dSz rddraz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
D A B A ( B ) 逆矢量： 和 ( B ) 的模相等，方向相反，互为逆矢量。 B A D D
A
2.减法：换成加法运算

B
C
A
B
B
B
A B C 0
推论： 任意多个矢量首尾相连组成闭合多边形，其矢量和必为零。
推论：三个非零矢量共面的条件。
A (B C) 0
A

C

B
在直角坐标系中：
ˆ ˆ ˆ A ( B C ) ( Ax ax Ay a y Az az ) Bx
Ax A ( B C ) Bx Cx Ay By Cy Az Bz Cz
A B ˆ an A B
ˆ ˆ ˆ A B 2 6 3 15ax 10a y 30 az 4 3 1
| A B | 152 (10) 2 302 35
ˆ ˆ ˆ B 4ax 3a y az
ˆ ax
推论3：不服从结合律： A ( B C ) ( A B) C
A
推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这两个矢量必平行。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：
z o x
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B ( Ax ax Ay ay Az az ) (Bx ax By ay Bz az )
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
ˆ 6a x
图示法：
y
ˆ 6ax
x
力的图示法：
FN
F
Ff
F FN Ff
G
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
二、矢量的运算法则
1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
B
C
ˆ ˆ ˆ cos ax cos a y cos az
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Ax
o


Ay
y
x
方向角与方向余弦： , ,
Ay Ax A cos , cos , cos z | A| | A| | A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
ˆ ˆ ˆ A B C ( Ax Bx Cx ) ax ( Ay By C y )a y ( Az Bz Cz ) az
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
ˆ ˆ ˆ 矢量： A Ax ax Ay a y Az az
z
Az
模的计算： | A | A2 A2 A2 x y z
A
单位矢量：

A A A A ˆ x ax y a y z az ˆ ˆ ˆ a | A| | A| | A| | A|
C A B
C

B
A
A
a.满足交换律： A B B A
b.满足结合律： ( A B) (C D) ( A C ) ( B D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示:
ˆ A B | A | | B | sin ac
ˆ ac
B

•含义： 两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组 成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者 符合右手螺旋法则。
A B B A 推论1：不服从交换律： A B B A, 推论2：服从分配律： A ( B C ) A B A C
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
注意：
a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：
h1 h2 h3 1
b. 在柱坐标系中，坐标变量为 (r,, z),其中 为角度，
，可见拉梅系数为： 其对应的线元 rd a
则： 2a b 2c 3
a 2 b 1 c 3
a 3b c 2 a 2b 3c 5
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例3： 已知 A 2ax 6ay 3az ˆ ˆ ˆ
求：确定垂直于 A 、B 所在平面的单位矢量。 解： 已知 A B 所得矢量垂直于 A、 B 所在平面。
ˆ ay
ˆ az
1 ˆ ˆ ˆ ˆ an (3ax 2a y 6az ) 7
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例4： 已知A点和B点对于原点的位置矢量为
和 ， b a
z
a
求：通过A点和B点的直线方程。
解：在通过A点和B点的直线方程上，
A
c
任取一点C，对于原点的位置
矢量为
，则 c
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义 二、矢量的运算法则
三、矢量微分元：线元，面元，体元
四、标量场的梯度
五、矢量场的散度
六、矢量场的旋度 七、重要的场论公式
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
一、矢量和标量的定义
1.标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度 T、长度 L 等
h1 1, h2 r, h3 1
c. 在球坐标系中，坐标变量为 (R,,) 其中 , 均为 角度，其拉梅系数为：
ˆ ax
ˆ ay By Cy
ˆ az Bz Cz
Cx
b.矢量三重积： A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例2：设
ˆ x a y az , r2 ax 3a y 2az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r1 2a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ r3 2ax a y 3az , r4 3ax 2a y 5az