第二章有限差分法初步-1案例
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y0
0 y L2
0 x L1
T k h(T T ) x T k q y
（2.14） （2.15） （2.16） （2.17）
x L1 0 y L2
y L2 0 x L1
T 0 x
T Tw
式（2.13）~（2.17）构成定解问题。
n n
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T ( x x) T ( x) dT x d T 2 x x dx 2! dx
2
(x) n! T 可见 与 x
偏差为： (x)
n 1
d T n dx
dT dx
n
（2.3）
只能是近似相等。
（iii）微商与差商的几何意义 图2-1 差商与微商的比较
O(x)
由式（2.8）可得
（2.9）
T ( x) T ( x x) x T ( x) T ( x) x 2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T ( x x) T ( x x) (x) T ( x) T ( x) 2x 3!
(x) 2 T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2! 3 (x) 4 T ( x) O(x) （2.8） 3!
由式（2.7）可得
T ( x x) T ( x) x T ( x) T ( x) x 2!
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商 （i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式： （i）微商（导数）的定义 若T ( x ) 是连续函数，则它的导数为：
dT T ( x x) T ( x) T lim lim x 0 x dx x 0 x
2
O(x)
2
（2.11）
比较式（ 2.9 ）、（ 2.10 ）、（ 2.11 ）可看到，用不同 的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这 些偏差都是截去了 Taylor级数展开式中的高阶项而引 起的，常称“截断误差”。
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x
同量级的小量 O(x) ；
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 同量级的小量；
(x)
2
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以 求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) 2 d T x x 2 x dx
T ( x x) 2T ( x) T ( x x) 2 (x)
根据式（2.7）+（2.8），可得
T ( x x) 2T ( x) T ( x x) T ( x) 2 (x)
O(x)
(x)
2
2
（2.12）
由式（2.12）知，二阶差商的截断误差也为与 同阶的小量。
T 是有限的差商。 式（2.1）右边 x
（2.1）
当
x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。 在 x 没有到达零之前， T 只是 dT 的近似。
x dx
T dT x 与 T 都不为零， 而式（2.1）左边 是 x dx
T dT 趋于 的过程认为是近似向精确过渡， x dx
结论： 由于用差商代替微商必然带来截断误差， 相应地用差分方程代替微分方程也必然带 来截断误差。这是有限差分法固有的。因 此，在应用有限差分法进行数值解时，必 须对差分的构成及其对方程造成的误差引 起注意。
§2 从微分形式出发的差分格式
图2. 2给出了一个简单边界值问题。
y L2 Tw
T h
dT T ( x x) T ( x) dx x
向左（后）差商：
（2.4）
dT T ( x) T ( x x) dx x
（2.5）
中心差商，取向右差商与向左差商的平均值：
dT 1 T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) dx 2 x x
T ( x x) T ( x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
(x) T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2 3
2
将Taylor级数写成：
(x) T ( x) O(x) 4 3!
（2.7）
Taylor级数还可写成：
在问题的提法已经明白之后，差分格 式的构成：
（i） 区域离散法 （ii） 建立区域内差分方程 （iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式 下面分别予以说明:
T(x+x) T(x) T(x-x)
dT(x) dx T(x+x) -T(x) x T(x+x) -T(x-x) 2x T(x) -T(x-x) x x-x x x+x
（iV）差商的几种表示 图2.1表示了差商与微商之间的关系。应当指出， 用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来 的偏差是不同的。 向右（前）差商：
. .Байду номын сангаас. . .
(i, j+1) (i-1, j) (i, j) (i, j-1) q’’
(i+1, j)
L1
x
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
T T q 2 0 2 k x y
2 2
（2.13）
边界条件：
x0
T 代替 用 x
两者的差值
dT 就是精确向近似过渡。 dx T dT 表示差商代替微商的偏差。 x dx
（ii）偏差---Taylor级数展开
dT (x) d T T ( x x) T ( x) x 2 dx 2! dx
2 2
(x) d T n n! dx
0 y L2
0 x L1
T k h(T T ) x T k q y
（2.14） （2.15） （2.16） （2.17）
x L1 0 y L2
y L2 0 x L1
T 0 x
T Tw
式（2.13）~（2.17）构成定解问题。
n n
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T ( x x) T ( x) dT x d T 2 x x dx 2! dx
2
(x) n! T 可见 与 x
偏差为： (x)
n 1
d T n dx
dT dx
n
（2.3）
只能是近似相等。
（iii）微商与差商的几何意义 图2-1 差商与微商的比较
O(x)
由式（2.8）可得
（2.9）
T ( x) T ( x x) x T ( x) T ( x) x 2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T ( x x) T ( x x) (x) T ( x) T ( x) 2x 3!
(x) 2 T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2! 3 (x) 4 T ( x) O(x) （2.8） 3!
由式（2.7）可得
T ( x x) T ( x) x T ( x) T ( x) x 2!
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商 （i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式： （i）微商（导数）的定义 若T ( x ) 是连续函数，则它的导数为：
dT T ( x x) T ( x) T lim lim x 0 x dx x 0 x
2
O(x)
2
（2.11）
比较式（ 2.9 ）、（ 2.10 ）、（ 2.11 ）可看到，用不同 的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这 些偏差都是截去了 Taylor级数展开式中的高阶项而引 起的，常称“截断误差”。
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x
同量级的小量 O(x) ；
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 同量级的小量；
(x)
2
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以 求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) 2 d T x x 2 x dx
T ( x x) 2T ( x) T ( x x) 2 (x)
根据式（2.7）+（2.8），可得
T ( x x) 2T ( x) T ( x x) T ( x) 2 (x)
O(x)
(x)
2
2
（2.12）
由式（2.12）知，二阶差商的截断误差也为与 同阶的小量。
T 是有限的差商。 式（2.1）右边 x
（2.1）
当
x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。 在 x 没有到达零之前， T 只是 dT 的近似。
x dx
T dT x 与 T 都不为零， 而式（2.1）左边 是 x dx
T dT 趋于 的过程认为是近似向精确过渡， x dx
结论： 由于用差商代替微商必然带来截断误差， 相应地用差分方程代替微分方程也必然带 来截断误差。这是有限差分法固有的。因 此，在应用有限差分法进行数值解时，必 须对差分的构成及其对方程造成的误差引 起注意。
§2 从微分形式出发的差分格式
图2. 2给出了一个简单边界值问题。
y L2 Tw
T h
dT T ( x x) T ( x) dx x
向左（后）差商：
（2.4）
dT T ( x) T ( x x) dx x
（2.5）
中心差商，取向右差商与向左差商的平均值：
dT 1 T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) dx 2 x x
T ( x x) T ( x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
(x) T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2 3
2
将Taylor级数写成：
(x) T ( x) O(x) 4 3!
（2.7）
Taylor级数还可写成：
在问题的提法已经明白之后，差分格 式的构成：
（i） 区域离散法 （ii） 建立区域内差分方程 （iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式 下面分别予以说明:
T(x+x) T(x) T(x-x)
dT(x) dx T(x+x) -T(x) x T(x+x) -T(x-x) 2x T(x) -T(x-x) x x-x x x+x
（iV）差商的几种表示 图2.1表示了差商与微商之间的关系。应当指出， 用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来 的偏差是不同的。 向右（前）差商：
. .Байду номын сангаас. . .
(i, j+1) (i-1, j) (i, j) (i, j-1) q’’
(i+1, j)
L1
x
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
T T q 2 0 2 k x y
2 2
（2.13）
边界条件：
x0
T 代替 用 x
两者的差值
dT 就是精确向近似过渡。 dx T dT 表示差商代替微商的偏差。 x dx
（ii）偏差---Taylor级数展开
dT (x) d T T ( x x) T ( x) x 2 dx 2! dx
2 2
(x) d T n n! dx