第一章_常用数值分析方法§4_有限差分法与有限单元法
有限差分法的基本知识2-PPT文档资料
函 数P( x, y )及Q( x, y )在 上有 一 阶 连 续 偏 导 数有， 则
(
D
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Q
dy
L
(
P
cos
Qcos
)ds
其 中L是D的 取 正 向 的 边 界 曲 线 。
其 中( x, y )、( x, y )为 有 向 曲 线L上 弧( x, y )处 的 切 线
f(x)f(x0)f(x0)x (x0) f(nn )(!x0)(xx0)nR n(x)
R n(x)是余 R n(项 x)o (， x (x 0)且 n) (xx0).
设u是方程(1.1)的解，对于任何节(点j, n)，u的微商 与差商之间的关系式
u( x j
,
tn1)
u( x j
,
tn )
t
tn
)
x
u(
xj
,
tn
)
o(h2 ),(中心差商）(1.
由于 u是方(1.程 1)的解，所以满足
tu(xj,tn)cxu(xj,tn)0,
(1.6)
因(1 此 .2 )和 (1 .从 3 )得 到
u (x j,tn 1 ) u (x j,tn ) cu (x j 1 ,tn ) u (x j,tn ) 0 ( h ),(1 .7 ) h
1 2
( u nj 1
unj ),
于是h~ h，~ ,从(1.15)得到
unj 1
unj 1
c
h
( u nj 1
unj1 )
(1.16)
这 是 一 个 常 用 的 差 分 格式 ， 称 为 蛙 跳 格 式 。
有限差分、有限元区别
有限差分方法(Finite Differential Method)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元法(Finite Element Method)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限差分法原理
有限差分法原理有限差分法（Finite Difference Method）是一种常见的数值分析方法，广泛应用于工程、物理、经济等领域的数值模拟和计算中。
它的基本原理是将微分方程转化为差分方程，通过在空间和时间上进行离散，将连续的问题转化为离散的问题，从而用计算机进行求解。
有限差分法在实际工程中具有重要的应用价值，本文将对有限差分法的原理进行详细介绍。
有限差分法的基本思想是将求解的区域进行网格划分，然后利用差分近似代替微分运算，通过有限差分近似的方式将微分方程转化为代数方程组，进而求解出数值解。
有限差分法的核心在于如何进行差分近似，以及如何选择合适的差分格式。
一般来说，差分格式可以分为前向差分、后向差分、中心差分等不同类型，根据不同问题的特点和求解精度的要求，选择合适的差分格式对问题进行离散化处理。
在空间上进行离散化时，通常采用均匀网格划分的方法，将求解区域划分为若干个小区间，每个小区间内的差分近似都可以通过相似的方式进行处理。
而在时间上进行离散化时，则需要根据具体问题选择合适的时间步长，通过逐步迭代的方式求解出时间上的数值解。
有限差分法的原理可以用一个简单的一维热传导方程来进行说明。
假设有一根长度为L的杆，其温度分布满足一维热传导方程，即∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中u(x,t)表示杆上某一点的温度分布，α为热传导系数。
我们可以将空间上的区域进行均匀网格划分，时间上进行等间隔的离散化，然后利用差分近似代替微分运算，最终得到一个关于时间和空间上温度分布的差分方程组，通过迭代计算得到数值解。
有限差分法作为一种数值计算方法，其精度和稳定性受到网格划分和时间步长的影响。
通常来说，网格划分越精细，时间步长越小，数值解的精度越高，但计算量也会相应增加。
因此，在实际应用中需要根据具体问题的要求和计算资源的限制进行合理的选择。
总之，有限差分法是一种重要的数值计算方法，通过将微分方程转化为差分方程，利用计算机进行求解，可以有效地解决实际工程中的复杂问题。
有限差分法和有限元法
有限差分法和有限元法
有限差分法（Finite Difference Method）和有限元法（Finite Element Method）是两种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程的数值解。
有限差分法是通过将求解区域离散化为网格，然后在各个网格节点处用差分逼近偏微分方程中的导数项，将偏微分方程转化为代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到离散节点上的数值解。
有限差分法适用于一维、二维或三维的问题，可用来处理线性或非线性、稳定或非稳定的偏微分方程。
有限差分法的优点是简单易实现，容易理解和计算，但是对于复杂的几何形状和边界条件，离散网格的选择可能会对精度和计算结果产生较大的影响。
有限元法则是通过将求解区域划分为互不重叠的有限元，每个有限元内部采用局部函数近似原方程，然后将所有有限元的近似解拼接在一起，形成整个求解区域上的近似解。
有限元法通常在每个有限元上构造基函数，通过求解代数方程组确定基函数的系数，从而得到整个求解区域上的数值解。
有限元法适用于一维、二维或三维的问题，能够处理各种几何形状和边界条件，适用范围更广。
有限元法的优点是对复杂几何形状的适应性好，精度高，但是相对于有限差分法而言，复杂度较高，需要更多的计算量和计算时间。
总体来说，有限差分法更适用于简单的几何形状和边界条件，而有限元法更适用于复杂的几何形状和边界条件。
两种方法在
实际的工程和科学计算中都有广泛的应用，选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解的要求。
常用数值分析方法
常用数值分析方法1.插值方法插值是通过已知数据点的近似值，获得未知位置上的函数值。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值和分段线性插值等。
插值方法通常用于数据的光滑处理、曲线拟合和函数逼近等问题。
2.数值微分与积分方法数值微分是通过有限差分等方法，对实际问题的函数进行求导。
数值积分则是通过数值方法求解复杂函数的积分。
常用的数值微分与积分方法包括欧拉法、龙格-库塔法和辛算法等。
3.非线性方程求解非线性方程求解是求解形如f(x)=0的方程，其中f(x)是一个非线性函数。
常用的非线性方程求解方法包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法基于不同的数学原理来逼近方程的根。
4.线性方程组求解线性方程组求解是求解形如Ax=b的方程组，其中A是一个矩阵，b 是一个向量。
常用的线性方程组求解方法包括高斯消元法、LU分解和迭代法等。
这些方法可以高效地求解大规模的线性方程组。
5.最小二乘法最小二乘法是一种用于拟合实验或观测数据的方法。
它通过最小化观测数据与理论模型之间的残差平方和，得到最佳的参数估计。
最小二乘法广泛应用于曲线拟合、回归分析和信号处理等领域。
6.数值优化数值优化是在约束条件下求解最优化问题的方法。
常用的数值优化方法包括梯度下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
这些方法可以在函数复杂或维度高的情况下，有效地寻找最优解。
7.偏微分方程数值解法偏微分方程数值解法是用数值方法解决偏微分方程的方法。
常用的数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
这些方法广泛应用于物理学、工程学和金融学等领域，可以模拟和预测复杂现象。
总之，数值分析方法在科学和工程领域中起着重要的作用。
通过数学和计算机的结合，数值分析使得复杂计算变得简单，从而有效解决各种实际问题。
有限差分,有限元,有限体积等离散方法的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍一、区域离散化所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。
实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。
节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。
一般把节点看成是控制容积的代表。
控制容积和子区域并不总是重合的。
在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。
网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。
大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。
1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。
它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。
这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。
用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。
2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。
对椭圆型问题有更好的适应性。
有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。
目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。
3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。
其中的未知数十网格节点上的因变量。
子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。
就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。
有限差分-有限元-有限体积等的区别介绍
有限差分，有限元，有限体积等离散方法的区别介绍1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
有限元法 有限差分法 有限体积法的区别
三者各有所长：有限差分法:直观，理论成熟，精度可选。
但是不规则区域处理繁琐，虽然网格生成可以使FDM应用于不规则区域，但是对区域的连续性等要求较严。
使用FDM的好处在于易于编程，易于并行。
有限元方法:适合处理复杂区域，精度可选。
缺憾在于内存和计算量巨大。
并行不如FDM和FVM直观。
不过FEM的并行是当前和将来应用的一个不错的方向。
有限容积法:适于流体计算，可以应用于不规则网格，适于并行。
但是精度基本上只能是二阶了。
FVM的优势正逐渐显现出来，FVM在应力应变，高频电磁场方面的特殊的优点正在被人重视。
比较一下：有限容积法和有限差分法：一个区别就是有限容积法的截差是不定的（跟取的相邻点有关，积分方法离散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法离散方程）。
有限容积法和有限差分法最本质的区别是，前者是根据积分方程推导出来的（即对每个控制体积分），后者直接根据微分方程推导出来，所以前者的精度不但取决于积分时的精度，还取决与对导数处理的精度，一般有限容积法总体的精度为二阶，因为积分的精度限制，当然有限容积法对于守恒型方程导出的离散方程可以保持守恒型；而后者直接由微分方程导出，不涉及积分过程，各种导数的微分借助Taylor展开，直接写出离散方程，当然不一定有守恒性，精度也和有限容积法不一样，一般有限差分法可以使精度更高一些。
当然二者有联系，有时导出的形式一样，但是概念上是不一样的。
至于有限容积法和有限元相比，有限元在复杂区域的适应性对有限容积是毫无优势可言的，至于有限容积的守恒性，物理概念明显的这些特点，有限元是没有的。
目前有限容积在精度方面与有限元法有些差距。
有限元方法比有限差分优越的方面主要在能适应不规则区域，但是这只是指的是传统意义上的有限差分，现在发展的一些有限差分已经能适应不规则区域。
对于椭圆型方程，如果区域规则，传统有限差分和有限元都能解，在求解效率，这里主要指编程负责度和收敛快慢、内存需要，肯定有限差分有优势。
传热学_燕山大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
传热学_燕山大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.求解导热问题时，常用的数值计算法有：（）参考答案:有限单元法_有限差分法2.导热问题数值求解的基本步骤包括：（）参考答案:代数方程组的求解_问题的数学描述_区域离散_节点离散方程的建立3.求解传热问题的基本方法有哪些？（）参考答案:理论分析_实验测量_数值计算4.解析法的特点：（）参考答案:能够得到精确解_解有普遍性5.采用有限差分法计算导热问题，可以得到节点处温度值的精确解。
参考答案:错误6.有限差分法较有限元法更适合求解不规则物体边界的导热问题。
参考答案:错误7.高斯-赛德尔迭代法比简单迭代法计算精度高。
参考答案:错误8.下面（）种说法是不正确的。
参考答案:同类物理现象就是彼此相似的现象9.流体横掠单管时，相似准则中的定型尺寸取为（）。
参考答案:管外径10.流体在圆管内流动时，相似准则中的定型尺寸取为（）。
参考答案:管内径11.对流换热系数不是流体的物性参数，是一个反应对流换热复杂过程的多变量的函数。
参考答案:正确12.自然对流换热与强制对流换热都是对流换热，属于是同类物理现象。
参考答案:错误13.不符合肋片描述的是（）参考答案:减小换热量作用14.对温度梯度描述错误的是（）参考答案:沿温度增加方向为负15.黑体是指能够吸收投射到其表面上的全部辐射能的物体。
参考答案:正确16.导热是固体内部或固体之间的传热过程。
参考答案:错误17.工业上，多数工程材料作为灰体处理不会引起较大的误差。
参考答案:正确18.导热问题数值求解的基本思想是：（）参考答案:用求解区域上离散点的温度集合代替连续的温度场，计算难度小_用代数方程代替微分方程19.一般而言，与非金属材料相比，金属材料的导热系数（）参考答案:较大20.五种具有实际意义的换热过程为：导热、对流换热、复合换热、传热过程和（）参考答案:辐射换热21.热量传递的三种基本方式是（）参考答案:热对流、导热、热辐射22.由表面 1 和表面 2 组成的封闭系统中，【图片】（）【图片】参考答案:可能大于、等于或小于23.流体纵掠平板时，对流动边界层的描述，下列第（）种说法是不准确的。
有限元法与有限差分法的主要区别
有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式与高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式与逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况与柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分与二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间与空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
有限元方法的基础是变分原理与加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数与插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
数值分析中的差分法与有限元法-教案
数值分析中的差分法与有限元法-教案一、引言1.1差分法与有限元法的重要性1.1.1差分法在数值分析中的应用1.1.2有限元法在工程领域的广泛应用1.1.3差分法与有限元法的相互补充1.1.4课程目标与学习意义1.2差分法与有限元法的发展历程1.2.1差分法的起源与发展1.2.2有限元法的诞生与发展1.2.3差分法与有限元法的现代应用1.2.4学生应掌握的基本概念与技能1.3差分法与有限元法的联系与区别1.3.1差分法与有限元法的基本原理1.3.2差分法与有限元法的优缺点1.3.3差分法与有限元法的适用范围1.3.4学生应具备的知识背景与学习要求二、知识点讲解2.1差分法的基本原理2.1.1差分法的定义与分类2.1.2差分法的数学基础2.1.3差分法的应用领域2.1.4学生应掌握的差分法知识点2.2有限元法的基本原理2.2.1有限元法的定义与分类2.2.2有限元法的数学基础2.2.3有限元法的应用领域2.2.4学生应掌握的有限元法知识点2.3差分法与有限元法的比较与选择2.3.1差分法与有限元法的相似之处2.3.2差分法与有限元法的差异之处2.3.3差分法与有限元法的选择依据2.3.4学生应具备的判断与选择能力三、教学内容3.1差分法的应用实例3.1.1差分法在热传导问题中的应用3.1.2差分法在流体力学问题中的应用3.1.3差分法在电磁场问题中的应用3.1.4学生应掌握的差分法应用技能3.2有限元法的应用实例3.2.1有限元法在结构力学问题中的应用3.2.2有限元法在地质工程问题中的应用3.2.3有限元法在生物医学问题中的应用3.2.4学生应掌握的有限元法应用技能3.3差分法与有限元法的实际应用案例3.3.1差分法在天气预报中的应用案例3.3.2有限元法在汽车碰撞模拟中的应用案例3.3.3差分法与有限元法在航空航天领域的应用案例3.3.4学生应具备的实际应用能力四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1了解差分法与有限元法的基本原理和应用领域4.1.2掌握差分法与有限元法的数学基础和计算方法4.1.3能够运用差分法与有限元法解决实际问题4.1.4培养学生的计算能力和数值分析技能4.2过程与方法目标4.2.1通过实例讲解，让学生理解差分法与有限元法的计算过程4.2.2通过上机实践，让学生掌握差分法与有限元法的计算技巧4.2.3通过小组讨论，让学生学会分析问题、解决问题的方法4.2.4培养学生的团队合作能力和自主学习能力4.3情感态度与价值观目标4.3.1培养学生对数值分析的兴趣和热情4.3.2增强学生对差分法与有限元法在实际应用中的认识4.3.3培养学生的创新意识和科学精神4.3.4培养学生的社会责任感和使命感五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1差分法与有限元法的数学基础和计算方法5.1.2差分法与有限元法的适用范围和选择依据5.1.3差分法与有限元法在实际应用中的技巧和经验5.1.4培养学生的计算能力和数值分析技能5.2教学重点5.2.1差分法与有限元法的基本原理和应用领域5.2.2差分法与有限元法的计算过程和技巧5.2.3差分法与有限元法在实际应用中的案例解析5.2.4培养学生的团队合作能力和自主学习能力六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体设备：用于展示差分法与有限元法的原理和应用实例6.1.2计算机软件：用于演示差分法与有限元法的计算过程和结果6.1.3教学模型：用于直观展示差分法与有限元法的计算过程和结果6.1.4教学视频：用于辅助讲解差分法与有限元法的实际应用案例6.2学具准备6.2.1笔记本电脑：用于上机实践和完成课后作业6.2.2学习资料：包括教材、参考书、学术论文等6.2.3计算器：用于辅助计算和验证计算结果6.2.4学习小组：用于讨论和合作完成学习任务七、教学过程7.1导入新课7.1.1通过实例引入差分法与有限元法的概念和应用7.1.2提问学生关于差分法与有限元法的已有知识7.1.3引导学生思考差分法与有限元法在实际应用中的重要性7.1.4激发学生对本节课的兴趣和好奇心7.2课堂讲解7.2.1详细讲解差分法与有限元法的基本原理和数学基础7.2.2通过实例演示差分法与有限元法的计算过程和技巧7.2.3分析差分法与有限元法的适用范围和选择依据7.2.4引导学生理解差分法与有限元法在实际应用中的案例解析7.3上机实践7.3.1分组进行差分法与有限元法的计算实践7.3.2教师巡回指导，解答学生在实践中遇到的问题7.3.3学生相互讨论，分享差分法与有限元法的计算技巧和经验7.4小组讨论与展示7.4.1分组讨论差分法与有限元法在实际应用中的案例7.4.2每组选择一个案例进行详细解析和展示7.4.3其他小组提问和评价，促进学生的思考和交流7.5课堂小结与作业布置7.5.1教师引导学生回顾本节课的知识点和技能7.5.2学生分享本节课的学习收获和体会7.5.3布置课后作业，巩固差分法与有限元法的知识点7.5.4鼓励学生在课后继续探索差分法与有限元八、板书设计8.1差分法与有限元法的基本原理8.1.1差分法的原理与应用8.1.2有限元法的原理与应用8.1.3差分法与有限元法的比较8.1.4差分法与有限元法在实际应用中的案例8.2差分法与有限元法的计算过程8.2.1差分法的计算步骤8.2.2有限元法的计算步骤8.2.3差分法与有限元法的计算技巧8.2.4差分法与有限元法在实际应用中的注意事项8.3差分法与有限元法的实际应用案例8.3.1差分法在热传导问题中的应用8.3.2有限元法在结构力学问题中的应用8.3.3差分法与有限元法在航空航天领域的应用8.3.4差分法与有限元法在生物医学问题中的应用九、作业设计9.1基础练习题9.1.1差分法与有限元法的基本原理和应用领域9.1.2差分法与有限元法的数学基础和计算方法9.1.3差分法与有限元法在实际应用中的案例解析9.1.4差分法与有限元法的计算过程和技巧9.2综合应用题9.2.1差分法与有限元法在实际应用中的问题分析和解决方案9.2.2差分法与有限元法在实际应用中的优化和改进9.2.3差分法与有限元法在实际应用中的创新和拓展9.3探究性题目9.3.1差分法与有限元法在新兴领域的应用探索9.3.2差分法与有限元法在不同行业中的创新应用9.3.3差分法与有限元法在未来科技发展中的前景和挑战9.3.4差分法与有限元法在可持续发展中的重要作用十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学目标的达成情况10.1.2教学内容的合理性和有效性10.1.3教学方法的适用性和创新性10.1.4学生参与度和学习效果的评估10.2拓展延伸10.2.1差分法与有限元法在其他学科中的应用10.2.2差分法与有限元法在新兴科技领域的探索10.2.3差分法与有限元法在实际应用中的挑战和解决方案10.2.4差分法与有限元法在未来社会发展中的重要作用重点环节补充和说明：1.教学难点与重点：差分法与有限元法的数学基础和计算方法是教学难点，需要通过实例讲解和上机实践来加深学生的理解。
有限差分及有限单元法的区别
1 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。
在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。
根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。
《计算机数值方法教学课件》第四章 有限差分法的基本概念
时间前差空间后差格式（FTBS）
un1 i
uin
a
uin
un i 1
0
t
x
un1 i
un i 1
(1
)uin ,
at x
§4.3 差分方程
问题：
u a u 0, (a 0) t x
相同网格步长下的不同差分格式的 数值解有何差异？
x
§4.2 导数的差分近似方法
(1) 泰勒级数展开法
一阶偏导数
t
空间中心差分
u x
n
i
un i 1
un i 1
2x
(x)2
i 1, n 1 i, n 1
i 1, n
P
i, n
二阶精度
i 1, n 1 i, n 1
i 1, n 1
i 1, n i 1, n 1
§4.2 导数的差分近似方法
泰勒级数展开法 待定系数法 差分算子法
§4.2 导数的差分近似方法
(1) 泰勒级数展开法
一阶偏导数
u x i
ui1 ui x
2u
x2
i
x 2
3u
x3
i
(x)2 6
un i1
第四章 有限差分法的基本概念
§4.1 引言 §4.2 导数的差分近似方法 §4.3 差分方程 §4.4 显式和隐式差分格式 §4.5 差分格式的基本性质 §4.6 数值耗散与数值色散
§4.1 引言
有限差分法 有限体积法 有限单元法相同点
有限差分法有限体积法有限单元法相同点示例文章篇一：《有限差分法、有限体积法、有限单元法的相同点》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊那些听起来有点高深，但其实很有趣的数学方法，就是有限差分法、有限体积法和有限单元法。
你们可能一听这名字就觉得头疼，哎呀，这都是些啥呀？其实呀，只要我跟你们好好讲讲，你们就会发现它们就像三个有着共同秘密的小伙伴呢。
先来说说有限差分法吧。
我想象它就像一个特别细心的小工匠，在一块大大的板子上，一格一格地去测量东西。
比如说，我们想知道一块木板上不同地方的温度变化。
这个有限差分法呢，就会把木板分成好多好多小格子，然后去计算每个小格子和它周围小格子温度的差别。
就像我们数格子里的小糖果一样，一颗一颗地数得可仔细啦。
再看看有限体积法呢。
这个呀，我觉得它有点像一个很会管理小盒子的管理员。
假如我们有好多小盒子，每个小盒子里都装着不同的东西，就像每个小盒子里装着不同量的沙子。
有限体积法呢，就会去关注每个小盒子里的东西总量，还有这些小盒子之间东西是怎么交换的。
这就好比小盒子里的沙子可能会从这个盒子流到那个盒子，它就会把这些流动的情况都搞清楚。
还有有限单元法呀，这个我觉得它像一个神奇的拼图高手。
我们有好多形状各异的小拼图块，有限单元法就会把这些拼图块按照一定的规则拼在一起。
比如说我们要建造一个很复杂的模型，有限单元法就把这些小的单元（就像拼图块）组合起来，让它们成为一个完整的大模型。
那这三个看起来干着不同事儿的方法，有啥相同点呢？第一个相同点就是它们都在处理复杂的问题时，想办法把大问题变成小问题。
这就好比我们要吃一个超级大的蛋糕，一口肯定吃不下呀。
那怎么办呢？我们就把这个大蛋糕切成一小块一小块的，这样就好下嘴啦。
有限差分法把大的区域分成小格子，有限体积法把大的空间分成小盒子，有限单元法把大的模型分成小单元，都是这个道理。
如果不这么做，那些复杂的数学计算就像一团乱麻，根本理不清。
你们说是不是呢？要是直接对着一个超级复杂的大问题傻瞪眼，那可不行，就像对着一座大山，不知道从哪里开始爬一样。
有限元与有限差分法基础PPT课件
1
2
d
u
v
1 0
x 0
y0 01
0 x
0
y
34
s
5
Байду номын сангаас
6
式中，{d}为单元内任意点的位移列阵。
（1-5）
30
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由于节点 i、j、m 在单元上，它们的位移自然也就满足位移函 数式(1-4)。
解 • 3.域中所有单元的解可视为该复杂问题的近似解
9
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有限元分析的过程
• 1.连续体离散化 • 2.单元分析 • 3.整体分析 • 4.确定约束条件 • 5.方程求解 • 6.结果分析与讨论
10
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1.连续体离散化
•
连续体：是指所求解的对象（如物体或结构）。
• 离散化（划分网格或网络化）：是将所求解的对象 划分为有限
• 个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元， 相邻两个
• 单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。
• 相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各 单元之间传
• 递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。
•
*单元划分后，给每个单元及节点进行编号；
•
*选定坐标系，计算各个节点坐标；
(3) 有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确， 但计算工作量就越大。因此，在保证计算精度的前提下， 单元网格数量应尽量少。
(4) 在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的 部位，单元网格应取小一些，网格应划分得密一些，而其 他部分则可疏一些。
12
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(5) 在设计对象的厚度或者弹性系数有突变的情况下， 应该取相应的突变线作为网格的边界线；
有限差分法、有限单元和有限体积法简介
有限差分法、有限单元和有限体积法简介(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介1.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Method，FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。
该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。
有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。
该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。
对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。
从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。
考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。
目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。
其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。
通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
2.有限元方法有限元方法(Finite Element Method，FEM)的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。
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从“有限元”的名字出现到今天，经历了几十年的发展，其基本理论已
经日趋完善，复杂非线性问题的各种算法得到很大的发展，并且在工程领域
图4.1 求解区域离散化
离散化后各相邻离散点之间的距离，或离散化单 元的长度称为步长，步长的大小可以是常量，也可以 是变量。网格的粗细与是否均匀，要根据求解区域物 理场的实际分布和对结果所要求的精确度而定。
一般说来，对均质、形状简单且规则、物理量变 化不剧烈的物体．或求解精度要求不高时，可采用等 步长、大步长，即采用均匀网格；而对形状复杂、组 分不同、物理量变化剧烈的物体，或求解精度要求较 高时，则采用小步长、变步长。
建立差分方程是有限差分法的关键环节。导出差分 方程的途径可有两种：
（1）从微分方程出发，以泰勒级数截断，从有限差分 的数学含义去建立有限差分和差分方程。 （2）从由网格所划分的单元体的能量平衡分析出发、 由积分方 程去建立差分方程，该方法又称单元体平衡法。
两种方法各具特色，但无论采取何种差分方程的推 导方法，在建立差分方程前，均需对所论区域进行离散 化。
分布的要求。
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图4.2 扇形网格和三角形网格 X.Z.Lin
W
Y
差分方程的建立过程（之二）
——将微分方程转化为差分方程
微分方程转化为差分方程实际上就是以差分代替微 分、以差商代替微商的过程，是以有限小量去代替无限 微量的近似化过程。
方法：写出微分方程中各微分与微商所对应 的差分与差商形式，代入原微分方程即可。
2
2
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(fi11fi11)(fi11fi11)fi12fifi1
22 22
22 22
X.Z.Lin
W
Y
差商
——函数的差分与自变量差分之比
用差分代替微分方程中的微分，用差商代替微分方程中的 微商，即可将微分方程转化为差分方程。
差分方程通常是一个线性方程组，利用以前介绍的直接法
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X.Z.Lin
W
4.1.2 有限差分法的主要步骤
Y
1、构成差分格式
x 2 x 1 x
首先选择网格布局、差分形式和步长；其次，以有限差分
代替无限微分，即以x2 替微商（导数）d y
，x以1 差x分方代程替代dx替．微以分差方商yx程22 及xy11边界yx条件代。
组 成
向后差分 一阶差分 fb,i fi fi1
二阶差分 2fb ,i ( fb ,i) fb ,i fb ,i 1
分
(fifi 1 ) (fi 1fi 2 )fi 2fi 1fi 2
中心差分
一 二阶阶差差分分 f2c f,ic,i f i (1 2 fc,if)i 1 2 fc,ifi1 1 2 ffci,i 1fi 2 fi 1fi 1 2fi 1
另外，对一些较复杂的问题，在选择网格与步长前，往往要对所论区 域的物理场作出粗略估计，然后以较粗的网格、较大的步长计算出参考性 物理场，根据这一参考性物理场再选择合理的离散化网格。
（2）几何划分法：以几何区域
形状为依据来划分，如对矩形区
域可采用矩形离散化网格，非矩
形区域可采用三角形、四角形或
其他形状的网格，以适应温度场
（消元法）或间接法（迭代法）即可解之，从而得到原微分方
程的解。
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W
4.2 有限单元法
Y
4.1.1 概述
有限单元法（又称为有限元素法，简称有限元法），是20世纪50年代初 才出现的 一种新的数值分析方法，最早应用于航空航天领域，主要用于力学 与结构分析中， 20 世纪 70 年以来被应用到传热学计算中。与有限差分法相 比较，有限元法的准确性和稳定性都比较好，且由于其单元的灵活性，使它 更适应于数值求解非线性热传导问题以及具有不规则几何形状与边界，特别 是要求同时得到热应力场的各种复杂导热问题；有限元法在传热学中的应用 正处于开拓与发展阶段，迄今为止，其应用已波及热传导、 对流传热及换热 器设计与计算。
§4 有限差分法与有限单元法
4.1 有限差分法 4.2 有限单元法
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X.Z.Lin
W
Y
4.1 有限差分法
4.1.1 概述
有限差分方法是数值计算中应用非常广泛的一种 方法，是求解微分方程的主要方法之一。其实质就是 以有限差分代替无限微分、以差分代数方程代替微分 方程、以数值计算代替数学推导的过程，从而将连续 函数离散化。以有限的、离散的数值代替连续的函数 分布。
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X.Z.Lin
பைடு நூலகம் W
Y
按阶数分
差分
——某物理量的有限增量
一阶差分 f
二阶差分 2 f
……
n 阶差分 n f
分 类
向前差分 一阶差分 ff,i fi1fi
二阶差分 2ff,i ( ff,i) ff,i 1 ff,i
按
(fi 2fi 1 ) (fi 1fi)fi 2 2fi 1fi
dx
2、求解差分方程
差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程（即：线性方 程组）。其求解方法有下列两种：（1）精确法，又称直接法， 即消元法；（2）近似法，又称间接法，即迭代法。
3、对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。
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4.1.3 差分方程的建立
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合理选择网格布局及步长（续）
Y
离散化网格的布局，要根据所要求解的问题的性质及求解 要求确定。一般说来，有两种方法：
（1）物理划分法：这种方法是根据问题的物理特性划分，如建筑 物墙壁内外层面砖、普通砖和内灰泥层组成；若拟求各层界面壁 温，则离散化时应按不同材料组分划分区域。
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W
差分方程的建立过程（之一）
Y
——合理选择网格布局及步长
在实施有限差分法中．首先在如图4.1所示的求解区域内，将自 变量x，y 分别沿x，y轴方向的连续变化，离散为x0，x1 ，x2，…， xn及y0，y1 ，y2，…，yn个不连续点．形成离散化网格；网格交点称 为结点(或节点)，依次将结点编号，与区域自变量离散化相对应， 区域内函数也将同时被离散化 。