2015-2016学年北京市海淀区八年级下学期期末数学试题(含答案)

海淀区八年级第二学期期末练习数 学（分数：100分 时间：90分钟） 2016.7学校 班级 姓名 成绩 一、选择题：（本题共30分，每小题3分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．．．是正确的． 1．下列各式中，运算正确的是A ．3333-=B ．822=C ．2+323=D ．2(2)2-=- 2．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是A ．1，2，3B ．3，4，5C ．5，12，13D ．2，2，3 3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点．若∠AOB ＝60°， AC ＝8，则AB 的长为A ．4B ．43C ．3D ．54．已知P 1（－1，y 1），P 2（2，y 2）是一次函数1y x =-+图象上的两个点，则y 1，y 2的大小关系是 A ．12y y = B ．12y y < C ．12y y > D ．不能确定5．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．下表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数x 与方差2s ：队员1 队员2 队员3 队员4 平均数x （秒） 51 50 51 50 方差2s （秒2）3.53.514.515.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 A ．队员1 B ．队员2 C ．队员3 D ．队员4 6．用配方法解方程2230x x --=，原方程应变形为A ．2(1)2x -=B ．2(1)4x +=C ．2(1)4x -=D ．2(1)2x += 7．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，若BF ＝12，AB ＝10，则AE 的长为 A ．13 B ．14 C ．15 D ．168．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min 内只进水不出水，在随后的8min 内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：L ）与时间x （单位：min ）之间的关系如图所示．则8min 时容器内的水量为 A ．20 L B ．25 L C ．27L D ．30 L9．若关于x 的方程2(1)10kx k x -++=的根是整数，则满足条件的整数k 的个数为 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．如图1，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，E 是DC 边上一个动点，F 是AB 边上一点，∠AEF ＝30°．设DE ＝x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ．线段ECB ．线段AEC ．线段EFD ．线段BF图1 图2二、填空题：（本题共18分，每小题3分）11．写出一个以0，1为根的一元二次方程 ．12．若关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．13．如图，为了检查平行四边形书架ABCD 的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC ，BD 的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理 ．14．若一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象如图所示，点P （3，4）在函数图象上，则关于x 的不等式4kx b +≤的解集是 ．15．如图，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB ＝5，BC ＝8，则EF 的长为 ．16．如图，正方形ABCD 的面积是2，E ，F ，P 分别是AB ，BC ，AC 上的动点，PE ＋PF 的最小值等于 ．三、解答题：（本题共22分，第17—19题每小题4分，第20—21题每小题5分） 17．计算：1(123)622+⨯-．18．解方程：(4)12y y y -=--．19．已知1x =是方程2230x ax a -+=的一个根，求代数式2391a a -+的值．20．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点A （2，3）与点B （0，5）． （1）求此一次函数的表达式；（2）若点P 为此一次函数图象上一点，且△POB 的面积为10，求点P 的坐标．PFEDCBA21．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．四、解答题：（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．阅读下列材料：北京市为了紧抓疏解非首都功能这个“牛鼻子”，迁市场、移企业，人随业走．东城、西城、海淀、丰台……人口开始出现负增长，城六区人口2016年由升转降．而现在，海淀区许多地区人口都开始下降。

统计数字显示：2015年该区常住外来人口约为150万人，同比下降1.1%，减少1.7万人，首次实现了负增长．和海淀一样，丰台也在2015年首次实现了常住外来人口负增长，同比下降1.4%，减少1.2万人；东、西城，常住外来人口同样呈下降趋势：2015年东城同比下降2.4%，减少5000人，西城则同比下降5.5%，减少1.8万人；石景山，常住外来人口近年来增速放缓，预计到2016年年底，全区常住外来人口可降至63.5万，比2015年减少1.7万人，首次出现负增长；……2016年初，市发改委透露，2016年本市将确保完成人口调控目标——城六区常住人口较2015年下降3%，迎来人口由升转降的拐点．人口下降背后，是本市紧锣密鼓疏解非首都功能的大战略．根据以上材料解答下列问题：（1）石景山区2015年常住外来人口约为万人；（2）2015年东城、西城、海淀、丰台四个城区常住外来人口同比下降率最高的是区；根据材料中的信息估计2015年这四个城区常住外来人口数最多的是区；（3）如果2017年海淀区常住外来人口降到121.5万人，求从2015年至2017年平均每年外来人口的下降率．23．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在CD 边上，点F 在DC 延长线上，AE ＝BF ． （1）求证：四边形ABFE 是平行四边形；（2）若∠BEF ＝∠DAE ，AE ＝3，BE ＝4，求EF 的长．五、解答题：（本题共20分，第24题6分，第25—26题每小题7分）24．如图1，将边长为1的正方形ABCD 压扁为边长为1的菱形ABCD ．在菱形ABCD 中，∠A 的大小为α，面积记为S ．（1）请补全下表：α 30°45° 60° 90° 120° 135°150° S12122（2）填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程中，菱形的面积随着∠A 大小的变化而变化，不妨把单位菱形的面积S 记为S (α)．例如：当α＝30°时，1(30)2S S =︒=；当α＝135°时，2(135)2S S =︒=．由上表可以得到(60)S S ︒=( ______°)；(150)S S ︒=( ______°)，…，由此可以归纳出(180)()S S α︒-=．（3） 两块相同的等腰直角三角板按图2的方式放置，AD ＝2，∠AOB ＝α，试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等，并说明理由（注：可以利用（2）中的结论）．图225．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足∠CMN＝90°，CM＝MN．连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．（1）①依题意补全图形；②求证：BE⊥AC．A（3）设AB＝1，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为______________（直接写出答案）．26．在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y 轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比BCkAB=．图1 图2备用图（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为．（2）已知点C（4，0），在函数24y x=-（其中2x<）的图象上有一点D，若△OCD的投影比2k=，求点D的坐标．（3）已知点E（3，2），在直线1y x=+上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比12k<<，则点P的横坐标m的取值范围________________（直接写出答案）．八年级第二学期期末练习数 学 答 案 2016.7一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．20x x -=或(1)0x x -=（答案不唯一）；12．4m>-；13．对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角；（“矩形的四个角都是直角”没写不扣分）14．3x ≤；15．32； 16 三、解答题（本题共22分，第17—19题每小题4分，第20—21题每小题5分） 17．解：原式＝2 ----2分 ＝＝3⨯ -------------------------------------------------------------------------------3分 ＝ ＝ -----------------------------------------------------------------------------------------4分 18．解：2210y y -+=, --------------------------------------------------------------------------------------1分2(1)0y -=, ------------------------------------------------------------------------------------------3分121y y ==. -------------------------------------------------------------------------------------------4分19．解法一：解：∵1x =是方程2230x ax a -+=的一个根，∴2130a a -+=. ---------------------------------------------------------------------------------------1分∴231a a -=-. --------------------------------------------------------------------------------------2分 ∴223913(3)1a a a a -+=-+ --------------------------------------------------------------------3分3(1)12=⨯-+=-. -----------------------------------------------------------------4分解法二：解：∵1x =是方程2230x ax a -+=的一个根，∴ 2130a a -+=. ---------------------------------------------------------------------------------------1分∴2310a a-+=. ------------------------------------------------------------------------------------2分解方程得352a±=. -------------------------------------------------------------------------------3分把352a±=代入得2391a a-+得23912a a-+=-. ----------------------------------------4分20．解：（1）设此一次函数的表达式为y kx b=+（0k≠）.∵一次函数的图象经过点A（2，3）与点B（0，5）,∴23,5.k bb+=⎧⎨=⎩-----------------------------------------------------------------------------------1分解得1,5. kb=-⎧⎨=⎩∴此一次函数的表达式为5y x=-+.----------------------------------------------------3分说明：求对k给1分，求对b给1分.（2）设点P的坐标为（a，5a-+）.∵B（0，5）, ∴OB＝5.∵S△POB＝10,∴15||10 2a⨯⨯=.∴||4a=.∴4a=±.∴点P的坐标为（4，1）或（4-，9）. ----------------------------------------------5分说明：两个坐标每个1分.21．解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E.∵AD⊥CD,∴∠D＝90°.在Rt△ACD中, AD=5, CD=12,AC＝222251213AD CD+=+=. ---------------------------------------------------------1分∵BC＝13,∴AC＝BC. -----------------------------------------------2分∵CE⊥AB, AB=10,∴AE＝BE＝12AB＝11052⨯=. ----------------------3分在Rt△CAE中,CE＝222213512AC AE-=-=. -----------------4分∴S四边形ABCD＝S△DAC＋S△ABC＝11512101230609022⨯⨯+⨯⨯=+=. -----------------5分E四、解答题（本题共10分，第22题5分，第23题5分）22．（1）65.2; -----------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）西城; 海淀;（每空1分） ------------------------------------------------------------------3分 （3）解：设海淀平均每年常住外来人口的下降率为x . 由题意，得2150(1)121.5x -=. ---------------------------------------------------------------------4分解得，10.110%x ==, 2 1.9x =.（不合题意，舍去）答：海淀平均每年常住外来人口的下降率为10%. -----------------------------------------5分23．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ＝BC , ∠D ＝∠BCD ＝90°. ∴∠BCF ＝180°－∠BCD ＝180°－90°＝90°.∴∠D ＝∠BCF . ----------------------------------------------------------------------1分 在Rt △ADE 和Rt △BCF 中,,.AE BF AD BC =⎧⎨=⎩∴Rt △ADE ≌Rt △BCF . ---------------------------------------------------------2分 ∴∠1＝∠F . ∴AE ∥BF .∵AE ＝BF ,∴四边形ABFE 是平行四边形. ---------------------------------------------------3分（2）解：∵∠D ＝90°,∴∠DAE ＋∠1＝90°.∵∠BEF ＝∠DAE , ∴∠BEF ＋∠1＝90°.∵∠BEF ＋∠1＋∠AEB ＝180°, ∴∠AEB ＝90°. --------------------------------------------------------------------------4分在Rt △ABE 中, AE =3，BE =4， AB ＝2222345AE BE +=+=. ∵四边形ABFE 是平行四边形,∴EF ＝AB ＝5. --------------------------------------------------------------------------5分五、解答题（本题共20分，第24题6分，第25—26题每小题7分）24．（1）22；32；32；12.（说明：每对两个给1分）----------------------------------2分（2）120；30；α. -----------------------------------------------------------------------------------4分（说明：前两个都答对给1分，最后一个α答对给1分）（3）答：两个带阴影的三角形面积相等.证明：将△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO, 将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD.∴S△AOB＝12S菱形AEBO＝12S(α) ---------------------------------------------------5分S△CDO＝12S菱形OCFD＝12S(180α︒-) -----------------------------------------6分由（2）中结论S(α)＝S(180α︒-)∴S△AOB＝S△CDO.25．（1）①依题意补全图形.---------------------------------------------------------1分②解法1：证明：连接CE.∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD＝90°, AB＝BC.∴∠ACB＝∠ACD＝12∠BCD＝45°.∵∠CMN＝90°, CM＝MN,∴∠MCN＝45°.∴∠ACN＝∠ACD＋∠MCN＝90°. ∵在Rt△ACN中, 点E是AN中点,∴AE＝CE＝12AN. ----------------------------------------------------------------------------2分∵AE＝CE, AB＝CB,∴点B，E在AC的垂直平分线上. ∴BE垂直平分AC.∴BE ⊥AC . --------------------------------------------------------------------------------------3分 解法2：证明：连接CE .∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BCD ＝90°, AB ＝BC .∴∠ACB ＝∠ACD ＝12∠BCD ＝45°. ∵∠CMN ＝90°，CM ＝MN ,∴△CMN 是等腰直角三角形.∴∠MCN ＝45°.∴∠ACN ＝∠ACD ＋∠MCN ＝90°.∵在Rt △ACN 中, 点E 是AN 中点,∴AE ＝CE ＝12AN . 在△ABE 和△CBE 中,,,.AE CE AB CB BE BE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBE （SSS ）. -----------------------------------------------------------------2分 ∴∠ABE ＝∠CBE .∵AB ＝BC ,∴BE ⊥AC . --------------------------------------------------------------------------------------3分（2）BE ＝22AD ＋12CN （或2BE ＝2AD ＋CN ）. ---------------------------------------4分 证明：∵AB ＝BC , ∠ABE ＝∠CBE ,∴AF ＝FC .∵点E 是AN 中点,∴AE ＝EN .∴FE 是△ACN 的中位线.∴FE ＝12CN . ∵BE ⊥AC ,∴∠BFC ＝90°.∴∠FBC ＋∠FCB ＝90°.∵∠FCB ＝45°,∴∠FBC ＝45°.∴∠FCB ＝∠FBC .∴BF ＝CF .在Rt △BCF 中, 222BF CF BF +=,∴BF BC . --------------------------------------------------------------------------------5分 ∵四边形ABCD 是正方形,∴BC ＝AD .∴BF AD . ∵BE ＝BF ＋FE ,∴BE ＝2AD ＋12CN . ----------------------------------------------------------------------6分 （3）34. ---------------------------------------------------------------------------------------------------7分 26．（1）53k =. ------------------------------------------------------------------------------------------------2分 （2）∵点D 为函数24y x =-（其中2x <）的图象上的点,设点D 坐标为（x ，24x -）（2x <）.分以下两种情况：①当02x ≤≤时, 如图①所示, 作投影矩形OMNC .∵OC ≥OM , ∴442(24)OC k OM OM x ====--. 解得1x =.∴ D （1，－2）. -------------------------------------------------------------------------------4分 ②当0x <时，如图②所示, 作投影矩形MDNC .∵点D 坐标为（x ，24x -）, 点M 点坐标为（x ，0）, ∴2442DM x x =-=-, 4MC x =-.∵0x <,∴DM ＞CM , ∴4224DM x k MC x-===-, 但此方程无解. ∴ 当0x <时，满足条件的点D 不存在. --------------------------------------------------5分综上所述，点D 的坐标为D （1，－2）.（3）答：13m <<或5m >. ---------------------------------------------------------------------------7分（注：每对一个给1分）。