多项式的分解式

多项式的标准分解式在求最大公因式中的应用

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(吉首大学数学与计算机科学学院 ，湖南吉首，416000)

摘要:由于一个多项式可以分解成若干个不可约多项式的乘积,若已

知两个多项式的标准分解式,那么就很容易得到两个多项式的最大公因式.

关键词:最大公因式；标准分解式

The application of the standard polynomial in greatest common

factor

***

(College of mathematics and computer science, Jishou University,Jishou Hunan

416000)

Abstract : Because of a polynomial can be decomposed into a number of

irreducible polynomials of the product, if the two polynomials are known to the standard decomposition of type, then it is easy to obtain the greatest common factor of two polynomials.

Keywords : g reatest common factor, the standard factorization

正文

1引言：

由高等代数与解析几何书中，我们可以看到多项式的最大公因式的另一种表示方法：.设f(x),g(x)∈K[x],且在数域K 上有以下分解式：

f(x)=c 1)()(2

121x p x p r r …)(x p s r s ,r i ≥0,i=12…s.

g (x)=c 2)()(2121x p x p t t …)(x p s t s ,t i ≥0,i=12…s.

则(f(x),g(x))=){}

{2211,m in 2,m in 1t r t r p p …}{s s t r s p ,min 其中p 1(x),p 2(x)…p s (x)为首项系

数为一的不可约多项式.

书中只是将这个结论及其证明板书了出来，但对其的应用却只字未提，

所以我写此文主要想介绍一下它的应用.

一·预备定理：

1,多项式的最大公因式:

设f(x),g(x)∈K[x],如果多项式d(x)∈K[x],且具有以下两个性质:

(!)d(x)为f(x)与g(x)的公因式;

(2)f(x)与g(x)的公因式均为d(x)的公因式.

则称d(x)为f(x)与g(x)的一个最大公因式.同时我们约定,用:

(f(x),g(x))

来表示首项系数为1的那个最大公因式,且当f(x)=g(x)=0时,规定(0,0)=0.

2,多项式的标准因式分解式：

对任意多项式f(x)∈K []x ,它在数域K 上有以下分解式:

f （x ）=c )()(2

121x p x p r r …)(x p s r s ,r i ≥0,i=12…s.

其中p 1(x),p 2(x)…p s (x)为数域K 上首一的不可约多项式.

2.主要方法的证明与应用

2.1命题1.设f(x),g(x)K[x],且在数域K 上有以下分解式：

f （x ）=C )()(2121x p x p r r …)(x p s r s ,r i ≥0,i=12…s.

g (x) =C )()(2

12

1x p x p t t …)(x p s t s ,t i ≥0,i=12…s. 则(f(x),g(x))=

){()}

{()x p x p t r t r 2211,m in 2,m in 1…}{()x ,min s s t r s p ,其中

p 1(x),p 2(x)…p s (x)为首项系数为一的不可约多项式。

证明：不妨令){()}

{()x p x p t r t r 2211,m in 2

,m in 1…}{()x ,min s s t r s p =d'(x)，而设（f(x),g(x)）=d(x).

∵min {}≤i i t r ,r i 且min {}≤i i t r ,t i （i=12…s ） ∴有d'(x)∣f （x ）且d'(x)∣g （x ）

∴d'(x)为f （x ）与g(x)的公因式. 则由最大公因式的定义可知：

d'(x) |（f(x),g(x)）=d(x) ………………（1） 又∵d （x ）可以表示成以下分解式：

d （x ）=)()(2

12

1x p x p k k …)(x p s k s ,(i k 为非负的整数，i=1，2…s) 则由（1）式可知：

min {}i i i k r t ≤,,(i=1,2…s) ………………（2） 又由最大公因式d （x ）|f （x ），d （x ）|g （x ） 则有i i i i r k t ≤≤且k （i=1，2…s ）

∴{}i i i r t k ,min ≤（i=1，2…s ） ………………（3） 则有（2）（3）两式可得：

min{i t ,i r }=i k （i=1，2…s ） 所以可得：

(f(x),g(x))=}{()}

{()x p x p r t r t 2211,m in 2,m in 1…}{()x ,min s s r t s p ，其中p 1(x),p 2（x ）

…p s (x)为首相系数为一的不可约多项式.

∴命题2.1结论成立.

小结：上述命题所得的结论只能从理论上将两个多项式的最大公因式表示出来，若要将两个多项式的最大公因式具体的求出，那么上述方法就行不通了，这主要是将多项式表示成标准分解式所需的不可约多项式不易求出.但上述方法在解决一些理论问题上却很大的功效，下面我通过几道例题来说明这个道理.

例1 证明：如果1f （x ）|g （x ），2f （x ）|g （x ），且（1f （x ），2f （x ））=1，那么1f （x ）2f （x ）|g （x ）.

证明：∵1f （x ），2f （x ），g （x ）可以分解成以下式子：

1f （x ）= c 1)()(2121x p x p r r …)(x p s r s ,r 1≥0,i=12…s.

2f （x ）=c 2)()(2

12

1x p x p t t …)(x p s t s ,t i ≥0,i=12…s. g （x ）=c 3)()(2

12

1x p x p k k ...)(x p s k s ,k i 0≥,i=12...s. 其中p 1(x),p 2（x ）...p s (x)为首项系数为一的不可约多项式. ∵1f （x ）| g （x ） 则 min{i r ,i k }=i r ,(i=1,2...s) .........(1) 2f (x)|g(x) 则min{i t ,i k }=t i , (i=1,2...s) (2)

而由命题2.1可知：

（1f （x ）,2f （x ））=){()}

{()x p x p t r t r 2211,m in 2

,m in 1…}{()x p s s t r s ,min 又∵（1f （x ）,2f （x ））=1

∴min {}i i t r ,=0 (i=1,2...s) (3)

而1f （x)2f （x ）= c 1c 2 )()(2

21121x p x p t r t r ++）（

x s s t r s p +, 由(3)式可知：r i 和t i 中至少有一个为0 (i=1,2…s) 则 i i i i i i t t r r t r =+=+或 (i=1,2…s) ………(4) 由(1)(2)(4）式可知：

min{i k ,i i t r +}=i i t r + , (i=1,2…s)

而（1f （x ）2f （x ），g （x ））=}{}

{)()(22211,m in 2

,m in 1x p x p k t r k t r i ++…}

{)(,min x p s s s k t r s

+=)()(2

21121x p x p t r t r ++…)(x p s s t r s +=

)()(1

1212

1x f x f c c ∴1f （x ）2f （x ）|g(x)，

∴命题得证.

上述方法虽然略现复杂,但它在解题的思路上较为清晰?明了.所以此法不失一种解题之道.

例2.2 证明：如果（f(x),g(x)）=1,(f(x),h(x))=1,那么 （f(x),g(x)h(x)）=1

对于此题我想用两种方法来证明上述问题，以说明利用命题2.1的结论有时能够起到化繁为简的作用.

法（一），证：由(f(x),g(x))=1可知： 存在多项式u(x),v(x)使得：

u （x ）f(x)+v(x)g(x)=1 (1)

同理可得：存在多项式()x 'u ,()x v '使得：

()1)()()(''=+x h x v x f x u …………（2） 为了构造u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1的形式 所以将（1）（2）式进行适当的变形得：

u(x)f(x)-1=-v(x)g(x) ………（3） )()(1)()(''x h x v x f x u -=- ………（4） ）

（）（43?得： （u(x)f (x)-1）

)()()()()1)()(''x h x g x v x v x f x u =-（

经化简得：

1)()()()()())()()()()(('''=+-+x h x g x v x v x f x f x u x u x u x u

不妨令: ))()()()()(()(''0x f x u x u x u x u x u -+= )()()('0x v x v x v = 则存在)(),(00x v x u 使得：

1)()()()()(00=+x h x g x v x f x u

所以 ： 1)()(),(=）（x h x g x f ∴上述命题成立. 法（二）:

证：令)()()()(2

12

111x p x p x p c x f s r s r r =，s i r 21i ，为非负的整数，=

.

2,1).()()()(2

12122s i t x p x p x p c x f i t s t t s ==为非负的整数，

.21i ),()()()(2

12

13S l x p x p x p c x h i l s l l s ，为非负的整数，== 其中321,,c c c 为非零的常数，)()(),(...21x p x p x p s 为首项系数为一的不可约多项式.

由命题2.1的结论可知：

(f(x),g(x))=}{}

{}{)()()(,m in ,m in 2

,m in 12211x p x p x p s s t r s t r t r (f(x),h(x))=}{}

{}{)()()(,m in ,m in 2

,m in 12211x p x p x p s s l r s l r l r 又由(f(x),g(x))=1，(f(x),h(x))=1

则有{}{}0,min ,0,min ==i i i i l r t r (i=1,2...s) (1)

而g(x)h(x)=)()(2

2112

132x p x p c c l t l t ++…)(x p s s l t s + 现要证(f(x),g(x)h(x))=1

只要证 {}0,min =+i i i l t r (i=1,2…s) ……(2) 则由(1)式可知：

当i r =0时（i=1，2…s ），由于i i l t ,为非负的整数，此时(2)式显然成立. 当i r ≠0时（i=1，2…s ），由于i i l t ,为非负的整数，则由（1）式可得：

0==i i l t （i=1，2…s ）

则此时（2）式依然成立.

{}）（为何值，均有无论3).........2,1(0,min s i l t r r i i i i ==+∴

∴由命题2.1的结论可知：

}{}

{}{)()()())()(),((,m in ,m in 2

,m in 1222111x p x p x p x h x g x f s s s l t r s l t r l t r +++= 其中)()(),(21x p x p x p s 为首项系数为一的不可约多项式. 而由(3)式可知：

1)()()())()(),((00

201==x p x p x p x h x g x f s

∴命题的证.

小结：由法一，法二对比可知：法一侧重于通过配凑的方法使等式u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1成立，但这种方法不易想出而且计算量稍大了一些，相对于法二而言，法二的思路较为简单，且便于思考，能够进行机械化的处理.

参考文献： 高等代数与解析几何 下册∕陈志杰 主编。-北京：高等教育出版社；海森堡：施普林格出版社，2001.2（2007重印）