运筹学试题及答案解析

运筹学试题及答案

一、填空题：（每空格2分，共16分）

1、线性规划的解有唯一最优解、无穷多最优解、 无界解 和无可行解四种。

2、在求运费最少的调度运输问题中，如果某一非基变量的检验数为4，则说明 如果在该空格中增加一个运量运费将增加4 。

3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题一定存在可行解”，这句话对还是错？ 错

4、如果某一整数规划： MaxZ=X 1+X 2

X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数

所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 X1≤1 和 X1≥2 。

5、在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是： 从第k 个阶段到第n 个阶段的最优解 。 6. 假设某线性规划的可行解的集合为D ，而其所对应的整数规划的可行解集合为B ，那么D 和B 的关系为 D 包含 B

7. 已知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等

问：（1）写出B -1=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---1003/20.3/131

2

(2)对偶问题的最优解： Y ＝（5，0，23，0，0）T

8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；

9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_ 无解_____；

10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设X i =b i 不符合整数要求，INT （b i ）是不超过b i 的最大整数，则构造两个约束条件：Xi ≥INT （b i ）＋1 和 Xi ≤INT （b i ） ，分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。 11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条件均为“≤”型不等式）其中

对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0) （2）写出B -1=

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛611401102

二、计算题（60分）

1、已知线性规划（20分） MaxZ=3X 1+4X 2

X 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤8

X 1,X 2≥0

2）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？

3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？

4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：

1)对偶问题为

Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y3≥3

y1+4y2+2y3≥4

y1,y2≥0

2)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4

由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。 3）当若b 2的量从12上升到15 X ＝9/8 29/8 1/4

由于基变量的值仍然都是大于0的，所以最优解的基变量不会发生变化。 4）如果增加一种新的产品，则 P 6’=(11/8,7/8，－1/4)T

σ6=3/8>0

所以对最优解有影响,该种产品应该生产

解：初始解为

计算检验数

由于存在非基变量的检验数小于0，所以不是最优解，需调整 调整为：

重新计算检验数

所有的检验数都大于等于0，所以得到最优解 3、某公司要把4个有关能源工程项目承包给4个互不相关的外商投标者，规定每个承包商只能且必须

承包一个项目，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者，总费用为多少？各承包商对工程的报价如表2所示：

答最优解为：

X= 0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

总费用为50

4. 考虑如下线性规划问题（24分）

Max z=-5x

1+5x

2

+13x

3

s.t. -x

1+x

2

+3x

3

≤20

12x

1+4x

2

+10x

3

≤90

x 1，x

2

， x

3

≥0

回答以下问题：

1）求最优解

2）求对偶问题的最优解

3）当b

1

由20变为45，最优解是否发生变化。

4）求新解增加一个变量x

6，c

6

=10，a

16

=3，a

26

=5，对最优解是否有影响

5）c

2

有5变为6，是否影响最优解。答：最优解为

13

2)对偶问题最优解为

Y＝（1/22,1/11,68/33,0,0）T

3)

当b1=45时

2

4）P

6

’=(3/11,-3/4)T

σ

6

=217/20>0

所以对最优解有影响。

5）当C

2

=6

σ

1

=-137/33

σ

4

=4/11

σ

5

=-17/22

由于σ

4

大于0所以对最优解有影响

5. 求如图所示的网络的最大流和最小截集(割集)，每弧旁的数字是（c

ij , f

ij

）。（15分）

V

1

(5,0) (3,3) (3,3)

V

S （4,1） V

2 (4,0)

(9,3) (8,4)

V

3

Vt (6,0)

最大流为：14

V3 (6,6)

6. 考虑如下线性规划问题（20分）

Max z=3x

1+x

2

+4x

3

s.t. 6x

1+3x

2

+5x

3

≤9

3x

1+4x

2

+5x

3

≤8

x 1，x

2

， x

3

≥0

回答以下问题：

1）求最优解；

2）直接写出上述问题的对偶问题及其最优解；

3）若问题中x

2

列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化；

4）c

2

由1变为2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。