2019年上海高三二模真题汇编讲义——排列组合和概率统计专题

2019年二模汇编——排列组合与概率统计专题

一、知识梳理

排列组合

【知识点1】排列模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素做排列的种数记为m

n P ，由乘法原理易知

)!

(!

m n n P m n -=

.

【例1】（长宁金山青浦2017二模16）设1x 、2x 、…、10x 为1、2、…、10的一个排列，则满足 对任意正整数m 、n ，且110m n ≤<≤，都有m n x m x n +≤+成立的不同排列的个数为（ ） A. 512 B. 256 C. 255 D. 64 【答案】A

【点评】排列问题，列举法找出规律.

【知识点2】组合模型：从给定的n 个元素中，选择m 个元素的组合数记为m

n C .由乘法原理可知

m n m m m n P P C =⋅，由此知!

)!(!

m m n n C m n -=

.

【例1】有15本不同的书，其中6本是数学书，问： （1）分给甲4本，且都不是数学书； （2）平均分给3人； （3）若平均分为3份；

（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本； （5）1人2本，1人7本，1人6本.

【答案】(1)4

9

C (2)55

510

515

C C C (3)

33

55

510515P C C C （4）66713215C C C （5）3

3

66713215P C C C

【点评】注意平均分组问题.

【知识点3】含组合数的代数式的化简.组合数有如下两个基本公式： m

n n m n C C -=；

1

1

1+++=+m n m n m n C C C .

【例1】(1)2

236

1212

x x x C C -+=,求x . (2) 33333

3345678C C C C C C +++++= .

(3) 173213n n n n C C -++=

. 【答案】(1)2236x x x -=+ 或221236x x x -=-- 2560x x --=或260x x +-=

122,3x x == 或343,2x x =-=

经检验2x =

(2)原式=33333

343456789126C C C C C C C +++++==

(3)1721713

631332n n n n n n

-≤⎧⇒≤≤⇒=⎨

≤+⎩

∴ 原式=111811

12

191219121931C C C C +=+=+= 【点评】牢记组合中的两个基本公式.

【知识点4】排列组合基本方法

所谓的方法，某种意义上可以认为就是把问题转换成基本模型的方式.

【知识点4.1】 应用记数原理

【例1】(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？

(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？ (3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？ 【答案】(1)81 (2)36(3)42 【点评】计数原理.

【知识点4.2】捆绑法与插空法、隔板法

【例1】9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？ （1）排成一排；

（2）排成前排4人，后排5人；

（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻； （4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻； （5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾； （6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；

（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减； （8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个. 【答案】（1）99

P （2）99

P （3）27

87P P

（4）

28

28P P

（5）

8117

8777P P P P

+（或

9879

8

7

2P P P -+）（6）9

92

P （7）

48C （8）226

726P P P

【例2】（宝山区7）在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女生都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【参考答案】1688.

【例3】（普陀区4）书架上有上、中、下三册的《白话史记》和上、下两册的《古诗文鉴赏辞典》，现将这五本书从左到右摆放在一起，则中间位置摆放中册《白话史记》的不同摆放种数为_______（结果用数值表示）.

【参考答案】24.

二项式定理

【知识点1】二项式定理公式

n

n n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N

通项公式：k

k n k n

k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n =;

其中：k

n C (0,1,2,

,)k n =叫做二项式系数.

【例1】（崇明2017二模7）若1n

x ⎫⎪⎭的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项

的值为 ． 【答案】15； 【点评】公式应用.

【例2】（虹口2017二模5）若7

)(a x +的二项展开式中，含6x 项的系数为7，则实数=a ． 【答案】1

【知识点2】二项式系数的性质

① 在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：k n n k n C C -= ；

② 在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n

2，即：n n n

n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；

奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：1

2

-n ，

即：15

314202-=+++=+++n n n n n n n

C C C C C C N n ∈.

【例1】（闵行、松江2017二模5）若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的

值为 ． 【答案】16 【点评】公式应用. 【例2】（青浦区8）621

(1)(1)x x

+

+展开式中2x 的系数为______________．