高中数学必修五第一章测试题含答案 精校打印版 名校用过

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第一章测试

一、选择题

1.在△ABC 中,AB =5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .非钝角三角形 2.在△ABC 中,已知a =1,b =3,A =30°,B 为锐角,那么A ,B ,C 的大小关系为( ) A .A >B >C B .B >A >C C .C >B >A D .C >A >B 3.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )

A .4 2

B .4 3

C .4 6 D.32

3

4.在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,则BA →·BC →

的值为( ) A .5 B .-5 C .15 D .-15

5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( )

A .1:2:3

B .1:3:2

C .1:2: 3 D.2:3:2 6.在△ABC 中,若a =6,b =9,A =45°,则此三角形有( ) A .无解 B .一解 C .两解

D .解的个数不确定

7.已知△ABC 的外接圆半径为R ,且2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )sin B (其中a ,b 分别为A ,B 的对边),那么角C 的大小为( )

A .30°

B .45°

C .60°

D .90°

8.在△ABC 中,已知sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C A .1 B .2 C. 2 D. 3

9.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin B

sin C

的值为( A.85 B.58 C.53 D.35

10.在三角形ABC 中,AB =5,AC =3,BC =7,则∠BAC A .2π3 B .5π6 C .3π4 D .π3

11.有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为A .0.5 km B .1 km C .1.5 km D .3

2

km

12.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a ) A .2 B

.4+2 3 C .4-2 3 D .6- 2

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2013.在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =4,则此三角形的最小边是____________. 14.在△ABC 中,若b =2a ,B =A +60°,则A =________. 15.在△ABC 中,A +C =2B ,BC =5,且△ABC 的面积为103,则B =________,AB =________. 16.在△ABC 中,已知(b +c):(c +a):(a +b)=8:9:10,则sin A :sin B :sin C =________. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在非等腰△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 2=b(b +c).

(1)求证:A =2B ;

(2)若a =3b ,试判断△ABC 的形状. a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,角A ,B 满足2sin (A +

19.(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 6 nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 3 nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求:

(1)A处与D处的距离;

(2)灯塔C与D处的距离.

20.(12分)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).

(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;

(2)若m⊥p,边长c=2,角C=

π

3,求△ABC的面积.

21.(12分)在△ABC中,已知内角A=

π

3,边BC=23,设内角B=x,周长为y.

(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;

(2)求y的最大值.

22.(12分)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan C=

sin A+sin B

cos A+cos B

,sin(B-A)=cos C.

(1)求A,C;

(2)若S△ABC=3+3,求a,c.

第一章测试答案

一、选择题

1.C 解析 最大边AC 所对角为B ,则cos B =52+62-822×5×6=-3

20<0,∴B 为钝角.

2.C 解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,∴sin B =b sin A a =3

2.

∵B 为锐角,∴B =60°,则C =90°,故C >B >A .

3.C 解析 由A +B +C =180°,可求得A =45°,由正弦定理,得b =a sin B sin A =8×sin60°

sin45°=8×

3

22

2=

4 6.

4.A 解析 在△ABC 中,由余弦定理得cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =25+49-642×5×7=1

7.

∴BA →·BC →=|BA →|·|BC →

|cos B =5×7×1

7

=5.

5.A 解析 设三边长分别为a ,3a,2a ,设最大角为A ,则cos A =a 2+(3a )2-(2a )2

2·a ·3a =0,∴A =90°.

设最小角为B ,则cos B =(2a )2+(3a )2-a 22·2a ·3a =3

2,

∴B =30°,∴C =60°. 因此三角之比为1:2:3.

6.A 解析 由b sin B =a sin A ,得sin B =b sin A

a =9×

226=3 24>1.

∴此三角形无解.

7.B 解析 根据正弦定理,原式可化为2R ⎝⎛⎭⎫a 2

4R 2

-c 2

4R 2=(2a -b )·b

2R , ∴a 2-c 2=(

2a -b )b ,∴a 2+b 2-c 2=

2ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =22

,∴C =45°.

8.D 解析 由a sin A =b sin B =c

sin C

=2R ,又sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C ,

可得a 2

+b 2

-ab =c 2

. ∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =60°,sin C =3

2

.

∴S △ABC =1

2

ab sin C = 3.

9.D 解析 由余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 2

2AB ·AC ,解得AC =3.

由正弦定理

sin B sin C =AC AB =3

5

. 10.A 解析 由余弦定理,得cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB·AC =52+32-722×5×3=-1

2,

∴∠BAC =2π

3

.

11.B 解析 如图,AC =AB·sin 20°=sin 20°,BC =AB·cos 20°=cos 20°,DC =AC

tan 10°=2cos 210°,∴DB

=DC -BC =2cos 210°-cos 20°=1.

12.A 解析 在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∵a =c ,∴0=b 2-2bc cos A =b 2

-2b(6+2)cos 75°,而cos 75°=cos (30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=

22⎝⎛⎭⎫32-12=1

4

(6-2),

∴b 2-2b(6+2)cos 75°=b 2-2b(6+2)·1

4(6-2)=b 2-2b =0,解得b =2,或b =0(舍去).故选

A .

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)

13.解析 由A +B +C =180°,得B =75°,∴c 为最小边,由正弦定理,知c =b sin C sin B =4sin 45°

sin 75°=

4(3-1).

14.解析 由B =A +60°,得sin B =sin (A +60°)=12sin A +3

2cos A.

又由b =2a ,知sin B =2sin A. ∴2sin A =12sin A +3

2

cos A.

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