高中数学必修五第一章测试题含答案 精校打印版 名校用过
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第一章测试
一、选择题
1.在△ABC 中,AB =5,BC =6,AC =8,则△ABC 的形状是( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .非钝角三角形 2.在△ABC 中,已知a =1,b =3,A =30°,B 为锐角,那么A ,B ,C 的大小关系为( ) A .A >B >C B .B >A >C C .C >B >A D .C >A >B 3.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )
A .4 2
B .4 3
C .4 6 D.32
3
4.在△ABC 中,AB =5,BC =7,AC =8,则BA →·BC →
的值为( ) A .5 B .-5 C .15 D .-15
5.若三角形三边长之比是1:3:2,则其所对角之比是( )
A .1:2:3
B .1:3:2
C .1:2: 3 D.2:3:2 6.在△ABC 中,若a =6,b =9,A =45°,则此三角形有( ) A .无解 B .一解 C .两解
D .解的个数不确定
7.已知△ABC 的外接圆半径为R ,且2R (sin 2A -sin 2C )=(2a -b )sin B (其中a ,b 分别为A ,B 的对边),那么角C 的大小为( )
A .30°
B .45°
C .60°
D .90°
8.在△ABC 中,已知sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C A .1 B .2 C. 2 D. 3
9.在△ABC 中,A =120°,AB =5,BC =7,则sin B
sin C
的值为( A.85 B.58 C.53 D.35
10.在三角形ABC 中,AB =5,AC =3,BC =7,则∠BAC A .2π3 B .5π6 C .3π4 D .π3
11.有一长为1 km 的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为A .0.5 km B .1 km C .1.5 km D .3
2
km
12.已知△ABC 中,A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若a ) A .2 B
.4+2 3 C .4-2 3 D .6- 2
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共2013.在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =4,则此三角形的最小边是____________. 14.在△ABC 中,若b =2a ,B =A +60°,则A =________. 15.在△ABC 中,A +C =2B ,BC =5,且△ABC 的面积为103,则B =________,AB =________. 16.在△ABC 中,已知(b +c):(c +a):(a +b)=8:9:10,则sin A :sin B :sin C =________. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)在非等腰△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a 2=b(b +c).
(1)求证:A =2B ;
(2)若a =3b ,试判断△ABC 的形状. a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,角A ,B 满足2sin (A +
19.(12分)如右图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12 6 nmile,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°,距离为8 3 nmile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求:
(1)A处与D处的距离;
(2)灯塔C与D处的距离.
20.(12分)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若m⊥p,边长c=2,角C=
π
3,求△ABC的面积.
21.(12分)在△ABC中,已知内角A=
π
3,边BC=23,设内角B=x,周长为y.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求y的最大值.
22.(12分)△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan C=
sin A+sin B
cos A+cos B
,sin(B-A)=cos C.
(1)求A,C;
(2)若S△ABC=3+3,求a,c.
第一章测试答案
一、选择题
1.C 解析 最大边AC 所对角为B ,则cos B =52+62-822×5×6=-3
20<0,∴B 为钝角.
2.C 解析 由正弦定理a sin A =b sin B ,∴sin B =b sin A a =3
2.
∵B 为锐角,∴B =60°,则C =90°,故C >B >A .
3.C 解析 由A +B +C =180°,可求得A =45°,由正弦定理,得b =a sin B sin A =8×sin60°
sin45°=8×
3
22
2=
4 6.
4.A 解析 在△ABC 中,由余弦定理得cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =25+49-642×5×7=1
7.
∴BA →·BC →=|BA →|·|BC →
|cos B =5×7×1
7
=5.
5.A 解析 设三边长分别为a ,3a,2a ,设最大角为A ,则cos A =a 2+(3a )2-(2a )2
2·a ·3a =0,∴A =90°.
设最小角为B ,则cos B =(2a )2+(3a )2-a 22·2a ·3a =3
2,
∴B =30°,∴C =60°. 因此三角之比为1:2:3.
6.A 解析 由b sin B =a sin A ,得sin B =b sin A
a =9×
226=3 24>1.
∴此三角形无解.
7.B 解析 根据正弦定理,原式可化为2R ⎝⎛⎭⎫a 2
4R 2
-c 2
4R 2=(2a -b )·b
2R , ∴a 2-c 2=(
2a -b )b ,∴a 2+b 2-c 2=
2ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =22
,∴C =45°.
8.D 解析 由a sin A =b sin B =c
sin C
=2R ,又sin 2A +sin 2B -sin A sin B =sin 2C ,
可得a 2
+b 2
-ab =c 2
. ∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =60°,sin C =3
2
.
∴S △ABC =1
2
ab sin C = 3.
9.D 解析 由余弦定理,得cos A =AB 2+AC 2-BC 2
2AB ·AC ,解得AC =3.
由正弦定理
sin B sin C =AC AB =3
5
. 10.A 解析 由余弦定理,得cos ∠BAC =AB 2+AC 2-BC 22AB·AC =52+32-722×5×3=-1
2,
∴∠BAC =2π
3
.
11.B 解析 如图,AC =AB·sin 20°=sin 20°,BC =AB·cos 20°=cos 20°,DC =AC
tan 10°=2cos 210°,∴DB
=DC -BC =2cos 210°-cos 20°=1.
12.A 解析 在△ABC 中,由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∵a =c ,∴0=b 2-2bc cos A =b 2
-2b(6+2)cos 75°,而cos 75°=cos (30°+45°)=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=
22⎝⎛⎭⎫32-12=1
4
(6-2),
∴b 2-2b(6+2)cos 75°=b 2-2b(6+2)·1
4(6-2)=b 2-2b =0,解得b =2,或b =0(舍去).故选
A .
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.解析 由A +B +C =180°,得B =75°,∴c 为最小边,由正弦定理,知c =b sin C sin B =4sin 45°
sin 75°=
4(3-1).
14.解析 由B =A +60°,得sin B =sin (A +60°)=12sin A +3
2cos A.
又由b =2a ,知sin B =2sin A. ∴2sin A =12sin A +3
2
cos A.