计量经济学第2章 一元线性回归模型

ˆ2 ˆ2
) )
ˆ2
0 0
6
Q(ˆ1, ˆ2 ˆ1
Q(ˆ1, ˆ2 ) ˆ2
) [ [
(Yi
ˆ1 ˆ1
ˆ2
X
i
)2
]
2
(Yi
ˆ1 ˆ2
ˆ2
X
i
)2
]
2
Yi ˆ1 ˆ2 X i Yi ˆ1 ˆ2 X i X i
Yi ˆ1 ˆ2 X i 0 Yi ˆ1 ˆ2 X i X i 0
全为零，线性性得证。 i
• ˆ的1 线性性可利用 的ˆ2线性性得到。
ˆ1
Y
ˆ2 X
1 n
i
Yi X
i
biYi
i
(
1 n
Xbi
)Yi
• 可记为
ˆ1 WiYi
i
这表明 同ˆ1 样是Yi的线性组合，其中Wi也不全为零，线性
性也得到证明。
12
• 2.无偏性
• 无偏性指ˆ1和的ˆ2数学期望分别等于总体回归系数的值β1和
5
• 下面用最小二乘法求总体回归系数β1、β2的估计 值 ˆ1和。ˆ2 即令
min Q(ˆ1, ˆ2 ) ei2 (Yi Yˆi )2 [Yi (ˆ1 ˆ2 Xi )]2
i
i
i
• 根据微积分多元函数极值原理，要使上式达到最
小，对ˆ1和ˆ2 的一阶偏导数都等于零，即
Q(ˆ1,
ˆ1 Q(ˆ1,
归模型的基本假定。
4
§2.2 一元线性回归模型的参数估计
• 1.普通最小二乘法（OLS）
• 总体回归模型：
Yi 1 2 X i ui
• 总体回归方程：
E(Yi ) 1 2 X i
• 样本回归模型：
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei
• 样本回归方程：
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
i 1,2,...,n
i
Xi
Y 1 n
i
Yi
8
• 2.几个常用的结果
• （1）
ei 0
• （2）
ei Xi 0
• （3）
ˆ1 Y ˆ2 X
• （4）
Yˆ Y
Y ˆ1 ˆ2 X
9
• 3.截距为零的一元线性回归模型的参数估计
• 一元线性回归模型的一般形式为
Yi X i ui
• 当ui满足假定条件时，β的最小二乘估计量为
β2，即
E(ˆ1) 1 E(ˆ2 ) 2
• 证明：
E(ˆ2 ) E( biYi ) E( bi (1 2 X i ui ))
i
i
E( bi1) E( bi2 X i ) E( biui )
i
i
i
1 bi 2 bi X i bi E(ui )
i
i
i
0 2 0 2
正规方程组
ˆ1
nˆ1 ˆ2 X i ˆ2
X i Yi
X
2 i
X iYi
7
• 求解得到：
n XiYi Xi Yi
xi yi
ˆ2
i
n
i
X
2 i
(
i
Xi )2
i
xi2
i
i
i
ˆ1
1 n
(
Yi ˆ2
X i ) Y ˆ2 X
xi X n
i
i
i
1 0 0 1
• 即ˆ1是β1的无偏估计。
14
• 3.最小方差性 • 最小方差性，即在β1和β2所有可能的线性无偏估
计中，最小二乘估计 ˆ的1和方ˆ2差最小。 • 证估Va明计r(思，ˆ)2路设≤V：法ar假证( 设明)~。满2~1这和足是两V~2βa个1r和(不β)等≤2的V式aˆ任1的r(意证)其明和他相线似~1 性，无因偏
• (3)Cov(uiuj)=E[ui-E(ui)]E[μj-E(uj)]
•
=E(uiuj)= 0，i≠j
• (4)Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)]E[Xi-E(Xi)]
•
=E(uiXi)=0，i=1,2,…
• (5)ui服从正态分布,即ui～N(0,σu2)
• 前五条称为线性回归分析的经典假设条件，是古典线性回
• 即ˆ是2 参数真实值β2的无偏估计得到了证明。推导
13
• 同样地，证明 ˆ的1 无偏性。
E(ˆ1) E( WiYi ) E( Wi (1 2 X i ui ))
i
i
E( Wi 1) E( Wi 2 X i ) E( Wiui )
i
i
i
1 Wi 2 Wi X i Wi E(ui )
i
Yi ( X i X ) (Xi X )2
i
Y (Xi X) (Xi X )2
i
i
i
[ i
Xi X (Xi X
)2
]Yi
xi xi2
Yi
i
• 其中
Y (Xi X ) Y
i
i
Xi
nYX
1 n
i
Yi
i
Xi
n
1 n
i
Yi
1 n
i
Xi 0
11
• 前面的式子可记为 ˆ2 表b明iYi 是Yi的线性组合，其中bi不
2
•
Y
•
0
X
• Yi’=β1+β2Xi表示X与Y之间的线性部分，称作总体回归直线。 • 样本值与回归直线的偏离ui表示对这种线性关系的随机扰动。 • 即ui= Yi-Yi’ （i=1,2,…,n）
3
• 3.随机误差项的假定条件
• (1)E(ui)=0，i=1,2,…
• (2)Var(ui)=E[ui-E(ui)]2=E(ui2)=σu2, i=1,2,…
法的主要内容。
1
• 2.一元线性回归模型
• 例如：Yi=β1+β2Xi +ui • 其中Yi某市城镇居民年人均鲜蛋需求量，称作被解释变量； • Xi某市城镇居民年人均可支配收入，称作解释变量； • ui随机误差项（随机扰动项或随机项、误差项）； • β1、β2回归系数（待定系数或待定参数）。 • 随机误差项ui中一般包括以下几个方面的因素： • （1）回归模型中省略的变量； • （2）人们的随机行为； • （3）建立的数学模型的形式不够完善； • （4）测量误差。
第2章 一元线性回归模型
§2.1 模型的建立及其假定条件
• 1.回归分析的概念
• 回归分析是处理变量与变量之间关系的一种数学关系。 • 经济变量之间的关系，一般分为两类： • 一类是变量之间存在的确定函数关系；Yi=PXi • 另一类是变量之间存在着非确定的依赖关系。
Yi=f(Xi)+ui • 回归分析的理论和方法是计量经济模型估计理论和估计方
X iYi
ˆ
i
X
2 i
i
10
§2.3 最小二乘估计量的统计性质
• 1.线性性
• 最小二乘估计量ˆ1和均ˆ是2 Yi的线性函数，即可以表示为Yi
的线性组合。
• 证明：
ˆ1 WiYi , ˆ2 biYi
ˆ2
xi yi xi2
i
(Yi Y )( X i X ) (Xi X )2