2 一元线性回归模型(计量经济学)

一、参数的普通最小二乘估计
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求 样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
总体回归函数说明被解释变量Y的平均状 态（总体条件期望）随解释变量X变化的 规律。至于具体的函数形式，则由所考 察的总体的特征和经济理论来决定。 在例2.1中，将居民消费支出看成是其可 支配收入的线性函数时，该总体回归函 数为: E (Y | X i ) 0 1 X i

它是一个线性函数。其中，0，1是未知 参数，称为回归系数（regression coefficients）。
描出散点图可以发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且 Y的条件均值均落在 一根正斜率的直线上，这条直线称为总体回归线。
课堂思考题
3500
3000 每 月 消 费 支 出 Y （元） 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

课堂思考题
2、回归分析的基本概念

回归分析(regression analysis)是研究一个变量 关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方 法和理论。其目的在于通过后者的已知或设定值， 去估计和（或）预测前者的（总体）均值。 前者称为被解释变量（Explained Variable）或 应变量（Dependent Variable）。
E(i|Xi)=0 Var
(i|Xi)=2 Cov(i, j|Xi,Xj)=0

i=1,2, …,n i=1,2, …,n i≠j i,j= 1,2, …,n
假设5：随机误差项与解释变量之间不相关。 假设6：随机误差项服从零均值、同方差的 正态分布。
课堂思考题
以上假设称为线性回归模型的经典假设。 满足该假设的线性回归模型称为经典线性 回归模型。
称为样本回归函数。
样本回归模型
课堂思考题
将样本回归线看成总体回归线的近似替代，则有
于是
同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：
ˆ ˆ X e ˆ ˆ Yi Y i i 0 1 i i
式中，ei 称为 （样本）残差 （或剩余）项 （ residual） ，代表
ˆi 。 i 的估计量 了其他影响 Yi 的随机因素的集合，可看成是
假设1：回归模型是正确设定的。 假设2：解释变量X是确定性变量，不是随 机变量。 假设3：解释变量X在所抽取的样本中具有 变异性，而且随着样本容量的无限增加， 解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限 常数。

课堂思考题

假设4：随机误差项具有给定X条件下的零 均值、同方差和不序列相关性：

一元线性回归模型：只有一个解释变量
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项。

回归分析的主要目的是要通过样本回归 函数（模型）SRF尽可能准确地估计总 体回归函数（模型）PRF。

为保证参数估计量具有良好的性质，通 常对模型提出若干基本假设。

第二节课堂思考题

一元线性回归模型的基本假设有哪些？
§2.3 一元线性回归模型的参数估 计
一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、最小二乘估计量的性质 三、参数估计量的概率分布及随机干扰项 方差的估计 四、某城市消费规律研究

一元线性回归模型的参数估计，是在一组 样本观测值(xi,yi ),i=1,2,…,n下，通过一定 的参数估计方法，估计出样本回归线。 最常用的是普通最小二乘法（ Ordinary least squares, OLS）估计。 除此之外，还有其他的估计方法，如最大 似然法（ml ）和矩法（mm ），有兴趣的 同学可自学。


随机误差项主要包括下列因素：
在解释变量中被忽略的因素的影响；
变量观测值的观测误差的影响；
模型关系的设定误差的影响；
其它随机因素的影响。
四、样本回归函数

由于总体回归函数所需全部数据的获取往 往是非常困难的，有时甚至是不可能的， 于是我们关心：
能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？
每月可支配收入X（元）

在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望 轨迹称为总体回归线（population regression line），或更一般地称为总体回归曲线。 相应的函数：
E (Y | X i ) f ( X i )
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
三、随机扰动项
总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该 社区家庭的平均消费支出水平。 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平 均水平有偏差。对每个个别家庭，记

i Yi E (Y | X i )

为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差。它 是一个不可观测的随机变量，称为随机误差项 或随机干扰项。

课堂思考题
两者的区别
一方面，相关分析仅关注变量间的联系程 度，不关注具体的依赖关系；而回归分析 则关注变量间的具体依赖关系（因果关系 ），研究如何通过解释变量的变化来估计 或预测被解释变量的变化。 另一方面，在相关分析中，变量的地位是 对称的。而在回归分析中，变量的地位是 不对称的，有解释变量与被解释变量之分 。

仍以例2.1.1（回顾）为例，假设总体中有如下 一个样本，能否从该样本估计总体回归函数？
表2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本
X Y 800 638 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 935 1155 1254 1408 1650 1925 2068 2266 2530
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1、变量间的关系
（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现 象非随机变量间的关系。
圆面积 f , 半径 半径2
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现 象随机变量间的关系。
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过 相关分析(correlation analysis)或回归分 析(regression analysis)来完成的。 相关分析主要研究随机变量间的相关形式 及相关程度。变量间的相关程度可通过计 算相关系数来考察。 具有相关关系的变量有时存在因果关系， 这时，我们可以通过回归分析来研究它们 之间的具体依存关系。
共计
2420
21450 21285
15510
பைடு நூலகம்
一个抽样
由于调查的完备性，给定收入水平 X的消费
支出Y的分布是确定的。即以X的给定值为条 件的 Y 的分布是已知的，如 P(Y=561 | X = 800) =1/4。 进而，给定某收入 Xi ，可得消费支出 Y 的条 件均值，如 E(Y | X = 800) =605。 这样，可依次求出所有不同可支配收入水平 下相应家庭消费支出的条件概率和条件均值， 见表2.1.2.
（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数

回归分析关心的是根据解释变量的已知或 给定值，考察被解释变量的总体均值，即 当解释变量取某个确定值时，与之统计相 关的被解释变量所有可能值的平均值。

例2.1.1：一个假想的社区有99户家庭组成， 要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家 庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家 庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均 月消费支出水平。 为达到此目的，将该99户家庭划分为组内 收入差不多的10组，以分析每一收入组的 家庭消费支出。 课堂思考题
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6

回归分析概述 一元线性回归模型的基本假设 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的统计检验 一元线性回归模型的预测 一元线性回归建模实例
§2.1

回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归函数 三、随机扰动项 四、样本回归函数
由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型， 因此也称为样本回归模型。
课堂思考题
▼回归分析的主要目的，就是根据样本回 归函数SRF，估计总体回归函数PRF。
ˆ ˆ X e ˆ e 即，由 Yi Y i i 0 1 i i
估计 Yi E(Y | X i ) i 0 1 X i i
回答：能。
课堂思考题
在例2.3.1中的应用
该样本的散点图（scatter diagram)：
画一条直线以尽好地拟合该散点图，由 于样本取自总体，可以该直线近似地代表 总体回归线。该直线称为样本回归线。


记样本回归线的函数形式为：
ˆ ˆX ˆ f (X ) Y i i 0 1 i

表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入 X（元） 800 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 561 594 627 638 1100 638 748 814 847 935 968 1400 869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210 1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485 2000 1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606 1650 1716 2300 2600 2900 1969 1991 2046 2068 2101 2189 2233 2244 2299 2310 3200 2090 2134 2178 2266 2354 2486 2552 2585 2640 3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871 1408 1650 1452 1738 1551 1749 1595 1804 1650 1848 1672 1881 1683 1925 1716 1969 1749 2013 1771 2035 1804 2101 1870 2112 1947 2200 2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025

例2.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可 表示为两部分之和：

（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出 E(Y|Xi)，称为系统性或确定性部分； （2）其他随机或非确定性部分i。

称为总体回归函数（PRF）的随机设定 形式。表明被解释变量除了受解释变 量的系统性影响外，还受其他因素的 随机性影响。 由于方程中引入了随机项，成为计量 经济学模型，因此也称为总体回归模 型。
表2.1.2 各收入水平组家庭消费支出的条件均值
收入 800 水平
1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500
条件 1/4 概率
条件 605 均值
1/6
825
1/11 1/13 1/13 1/14 1/13 1/10 1/9
1/6
1045 1265 1485 1705 1925 2145 2365 2585
后者称为解释变量（Explanatory Variable）或 自变量（Independent Variable）。

课堂思考题

回归分析构成计量经济学的方法论基础，其 主要内容包括：
（1）根据样本观察值对经济计量模型参数
进行估计，求得回归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行显著性
检验；
注意：这里PRF （总体回归函数） 可能永远无法知道
第一节课堂思考题
什么是回归分析？回归分析和相关分析是 一回事吗，为什么？ 以例2.1.1为例，概述总体回归函数和样本 回归函数有什么区别（提示：Y，家庭个 数）。 样本（总体）回归函数和样本（总体）回 归模型有什么区别？

§2.2 一元线性回归模型的基本假 设