专题：直角三角形培优

专题：直角三角形

知识要点：

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角_________

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_________;

（3）直角三角形30°角所对的直角边是______的一半；

（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°.

2、直角三角形的判定方法：

（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；

（2）有两个角______的三角形是直角三角形；

（3）如果一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是_____,且两条直角边相等。等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。

典型例题

1、如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则则∠1+∠2等

于__________.

2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（）

A. B. C. D.

3、如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列

结论一定成立的是（）

=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE

4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可

能的是（）

A． B． C． D．7

5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，

DE=1，则EF的长是（）A．3 B．2 C．3 D．16、已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=

2

1

BC，则△ABC底角的度数为___________________.

7、如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜

边AC的中点，则∠BDE=__________．

8、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点F，试说明

AE=AF.

9、如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的

延长线于点E．求证：CE＝

2

1

BD

10、如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中

点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点0的

距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB的面积最大为______________.

11、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）．

12、如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是斜边AB边上的高与中线，CF是∠ACB的

平分线，则∠1与∠2的大小关系是（）

A．∠1>∠2 B. ∠1=∠2 C. ∠1<∠2 D.不能确定

13、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线

BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件

的点P共有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

14、如图，在直角三角形ABC中，CM 是斜边AB 上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN

交MN于N，求证：CM=MN．

15、如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；

在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2

中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长

是_______________.

16、下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有________个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有_________个．

17、如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BAC=78°，过C作CF∥AB,连接AF于BC相交于

G，若GF=2AC，则∠BAG=

18、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分

别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下

列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积

保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）

A．①②③B．①③C．①③④D．②③④

19、电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6．如果跳蚤开始时在BC边的P0

处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1=CP0；第二步从

P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3=BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为P n（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为__________.

20、已知，如图△ABC是边长4cm的等边三角形. 动点P从点A出发，沿AB向点B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P、Q都以1cm/s的速度同时出发. 设运动

时间为

t（s），那么t为何值时，△PBQ是直角三角形

21、如图，已知OA=a，P是射线ON上一动点（即P可以在射线ON上运动），

∠AON=60°，填空：

（1）当OP=_________时，△AOP为等边三角形；

（2）当OP=__________时，△AOP为直角三角形；

（3）当OP满足___________时，△AOP为钝角三角形．

22、已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠

ABC=∠ADE=90°，点M为EC的中点．

（1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD

为等腰直角三角形；

（2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使

点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰

直角三角形”还成立吗请对你的结论加以证明．

23、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2．将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交线段AC、CB于D、E两点．如图1、2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．

（1）如图1，三角板绕点P旋转，当PD⊥AC时，求证：PD=PE．当PD与AC不垂直时，如图2，PD=PE还成立吗并证明你结论．

（2）如图2，三角板绕点P旋转，当△PEB成为等腰三角形时，求CE的长．

G

F C

B A

A

P