【水力学习题评讲】第二章
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水A 水
h3 4 B N N h2 2 D h1 1 D C C 3
气体
pM = 0.3 ×1000 × 9.8 = 29.4(kN / m2 )
作等压面DD 作等压面 、NN、CC
pM + ρ水 g (h3 + h1 ) = pB + ρ p gh2 − ρ0 gh1 + ρ p gh1
水银 ρp 题2.12图
h2
水
ρ gh 水
B
600
题2.19图
有一圆形平板闸门铰接于B，如图所示。 2.20 有一圆形平板闸门铰接于 ，如图所示。闸门的直径 d=1m，水平倾角 ，
α = 60，闸门中心点位于上游水面以下
4m处，闸门重G=980N，求闸门分别当： 处 闸门重 ，求闸门分别当： （1）下游无水；（2）下游水面与门顶同高时，在E处将 下游无水；（2 下游水面与门顶同高时， ；（ 处将 闸门吊起所需的拉力 分别为多大? FT分别为多大?
由（1）可知： 可知：
P左
的作用点 yD1=4.632m，
FT hD hC FP
E
P右的作用点
I xc yD1 = yc + yc × A
4 hc π d / 64 = + hc sin θ ×π d 2 / 4 sin θ = 4.74m
a
B C D
θ
G d
题2.20图
根据
∑M
B
= 0 可得
G × d / 2 cos θ + p左 × BD − FT × d cos θ－p右 BD2 = 0
2.2 如题 图所示封闭水箱两测压管的液面高程为▽1=100cm， 如题2.2图所示封闭水箱两测压管的液面高程为 图所示封闭水箱两测压管的液面高程为▽ ， ▽2=20cm，箱内液面高程为 ， 1 为多少？ ▽4=60cm。问▽3为多少？ 。 为多少 标高等压面有： 解：在▽4 标高等压面有：
4 ρ
p 0
AC = 2.12m
F1 = p A × AB × b = 357.35kN
A p A H F1 h2 F h1 2 ρp p
B
1 F2 = ( pB − p A ) ⋅ AB ⋅ b 2 = 62.328kN
C
D B
AD = 2.83m
（４）由静水压力施加的绕Ａ 由静水压力施加的绕Ａ 轴的力矩
题2.22图
1
p1 ，板的面积为 1, 板的面积为A
p1 = ( ρ油 g × h1 / 2） A1 = 4.619kN ×
I xc1 = 0.77 m y1 = yc1 + yc1 × A1
水
h2
0 B 60
题2.19图
对于BE板部分：设此部分板的面积为 静水压力为p 对于 板部分：设此部分板的面积为A2，静水压力为 2, 板部分 p2的作用点距A为y2 的作用点距A
= −17200 + 700 × 9.8 × (15 − 11.6) pa = 40524 pa
E F G 20.0 ห้องสมุดไป่ตู้5.0 11.6 8.0 6.0 hp ρ p 4.0
空气
ρ 1 ρ2 ρ 3
ρ1 g ( H E − 11.6) = 40524 pa,
H E = 12.5m
题 2.10图
测管F 测管F： −17200 + ρ1 g (15.0 − 11.6) + ρ 2 g (11.6 − 8.0) = ρ 2 g ( H F − 8.0)
A p A H F1 h2 F h1 2 ρp p
B
C
ρ汞 gh2 = pB + ρ水 gh1
pB = ρ汞 gh2 − ρ水 gh1 =113.68kN / m2
D B
题2.22图
p A = pB − ρ水 gH = 84.28kN / m2 （２）箱顶压强
（３）为方便计算，可将压强分布图划分为两部分： 为方便计算，可将压强分布图划分为两部分： 矩形部分压力F 作用点为C， 矩形部分压力 1，作用点为 ，三角形部分提供的压力为 F2，作用点为 ， 作用点为D，
根据 可得
∑M
B
=0
G × d / 2 × cos θ + p × BD − FT × d cos θ = 0
FT hD hC FP
E
FT = 32.2kN
a
B C D
θ
G d
题2.20图
（2）根据解析法可得此时图形阀门上的静水总压力
P左 = pc A = 30.79kN , P右 = pc' A = 3.33kN
p0 abs = ρ汞 gz1 = 13600 × 9.8 × 0.05 = 6.664kN / m
得z2 = 0.68m
2
p z1
z2
0
N
N
水
p0 abs = ρ水 gz2 = 6.664kN / m2，
题2.17图
设一受两种液压的平板AB如图所示其倾角， AB如图所示其倾角 α 2.19 设一受两种液压的平板AB如图所示其倾角， = 60 上部油的深度 h = 1.0m ，下部水的深度 h2 = 2.0m ，油 的密度 ρ油 = 816.33kg / m3 ，求作用在AB板上（单宽）的 求作用在 板上（单宽） 板上 静水总压力及其作用点的位置。 静水总压力及其作用点的位置。 板浸在两种不同的液体中， 解：解析法求解，由于AB板浸在两种不同的液体中，计算 解析法求解，由于 板浸在两种不同的液体中 分为AE板和 板和BE板 分为 板和 板 A 对于AE板部分 板部分： 对于 板部分： h1 油 设此部分板上受到的静水压力为
pB = pM + ρ水 g (h3 + h1 ) − ρp gh1 + ρ0 gh1 − ρp gh2 = −28.812(kN / m2 )
2.17如图所示容器中，两测压管的上端封闭，并为完全真空， 2.17如图所示容器中，两测压管的上端封闭，并为完全真空， 如图所示容器中 测得 z1 = 50mm ，求封闭容器中液面上的绝对压强 p0abs 及 z2 之值。 之值。 解：
M ' = F1 × AC + F2 × AD = 933.97 kN ⋅ m
一密闭盛水容器， 2.25 一密闭盛水容器，已知 h1 = 0.6m ，2 = 1m ， h 水银测压计读数 hP = 0.25m 。试求半径 R = 0.5m 的球形盖AB所受总压力的水平分力和铅垂分力。 所受总压力的水平分力和铅垂分力。 解： Px = pc Az
pE + p B p2 = × A2 = 41.07 kN 2
BE 3 /12 y2 = ( AE + BE / 2) + ( AE + BE / 2) × BE = 2.502m 2.502m
A h1
油 水
h2
0 B 60
p = p1 + p2 = 4.619 + 41.107 = 45.725kN
−17200 + 700 × 9.8 × 3.4 + 1000 × 9.8 × 3.6 = 1000 × 9.8 × ( H F − 8.0)
得：
H F = 12.2m
测管G： 17200 + ρ1 g (15.0 − 11.6) + ρ 2 g (11.6 − 8.0) + ρ3 g (8.0 − 6.0) = ρ3 gH G −
底部连接一水银测压计如图所示，测得水银柱高 底部连接一水银测压计如图所示，测得水银柱高h2=1m，水柱 ， 与水平方向成45 转轴在A点 高h1=2m，矩形闸门 与水平方向成 °角，转轴在 点。试 ，矩形闸门AB与水平方向成 求为使闸门关闭所需施加在转轴上的锁紧力矩。 求为使闸门关闭所需施加在转轴上的锁紧力矩。 解：（１）求高压水箱底部压强 ：（１ 如图取等压面Ｎ-Ｎ，则： 如图取等压面Ｎ Ｎ，则 Ｎ，
P = ρ g(∇1−∇4) （1） 0
在▽3标高等压面有： 标高等压面有：
2 3 ρp
P0 +ρ g (∇ 4 − ∇3)=ρ P g(∇ 2 − ∇3) （2）
由（1）、（2）两式可得： ） ）两式可得：
∇3 = 13.65cm
用图示U形管量测密闭盛水容器中 点压强， 形管量测密闭盛水容器中A 2.3 用图示 形管量测密闭盛水容器中A点压强，管右端开口通 大气，如果h 点的绝对压强和相对压强， 大气，如果 1=1m ，求A点的绝对压强和相对压强，并分别用 国际单位( 水柱高度（ ），水银柱高度（ ），水银柱高度 国际单位(N/m2) ，水柱高度（m），水银柱高度（mm）压示。 ）压示。 解：取等压面N-N，A点相对压强： 取等压面N 点相对压强： PA = ρ水 gh = 1000 × 9.8 ×1 = 9.8 kN / m2） （ 点的绝对压强： A点的绝对压强：
1 1 h2 2 o 2 = ρ油gh1 ⋅1/ sin 60 + ρ 水 gh2 + ρ 水 gh1 ⋅1 o 2 2 sin 60
A
可以采用合力之矩定理求得， 可以采用合力之矩定理求得，
h1
油
ρ gh 油
2 F ⋅ AD = F1 ⋅ h1 / sin 60o 3 2 + F2 ⋅ h2 + h1 / sin 60o 3 1 + F3 ⋅ h2 + h1 / sin 60o 2
−17200 + 700 × 9.8 × 3.4 + 1000 × 9.8 × 3.6 + 1600 × 9.8 × 2 = 1600 × 9.8 × H G
得： H G = 10.6m 求 HP
ρ 2 g ( H F − 8.0) + ρ 2 g (8.0 − 4.0) = ρ p gH p
1000 × 9.8 × (12.2 − 8.0) + 1000 × 9.8 × 4 = 13600 × 9.8 × H p
2
N
h A
PAbs = Pa + PA = 98 + 9.8 = 107.8 kN / m ） （
N
A点绝对压强用水柱压示 PAbs 题2.3图 h水 = = 11m水柱 ρ水 g Pabs 107.8 = = 808.8 （mm汞柱） 用mm汞柱压示为 h汞 = 汞柱压示为 ρ汞 g 13600 × 9.8 A点相对压：用水柱压示为 点相对压： 用汞柱压示
题2.19图
pyD = p1 y1 + p2 y2
yD = 4.619 × 0.77 + 41.107 × 2.502 = 2.327m
，
H D = 2.02m
采用几何法：画出压强分布图如图所示； 采用几何法：画出压强分布图如图所示；静水总压力为
F = F1 + F2 + F3
静水总压力合力作用线位置 设合力作用点为D点，则 设合力作用点为 点
h 水 = 1m水柱 P 9.8 h汞 = A = = 73.6mm汞柱 ρ汞 g 133.28
图示容器中盛有三种不相混合的液体， 2.10 图示容器中盛有三种不相混合的液体，其密度分别为 ρ1 = 700kg / m3 ρ 2 = 1000kg / m3 ρ3 = 1600kg / m 3 ，在容器右侧壁上安装三根测管E、F、G，左侧壁上安装有 在容器右侧壁上安装三根测管 、 、 ， U形水银测压计，容器上部压力压的读数为 − 17200 pa 形水银测压计， 形水银测压计 试求：（1 中液面的高程； 试求：（1）测压管E、F、G中液面的高程； ：（ （2）水银测压计的液面高差 hP （注：不计空气质量）。 不计空气质量）。 解：测管E： 测管E PE = P表 + ρ1 gh1
FT hD hC
2
解；根据解析法可得图形平板 阀门的静水总压力
a
B C
p = pc × A = ρ水 ghc × π d / 4 = 30.79kN
θ
FP
E
D
G d
题2.20图
总压力P的作用点 总压力P
Ixc hc πd4 / 64 yD = yc + = + = 4.632m hc yc × A sinθ ×π d 2 / 4 sinθ
E F G 20.0 15.0 11.6 8.0 6.0 hp ρ p 4.0
空气
ρ 1 ρ2 ρ3
H P = 0.6m
题 2.10图
2.12 图示为一测压装置，容器A中水面上压力压M的读数 为0.3个大气压，1 = 20cm , h2 = 30cm ,h3 = 50cm，该测压 h 装置中U形上部是酒精，其密度为800kg/m3，试求容器B中 气体的压强 p，ρ、ρ p、ρ 0 分别 M 酒精 ρ 0 为水、水银、酒精的密度。 解：压力压读数
代入数据并整理可得
FT = 28.0kN
FT a
B C E D
当下游水面与门顶同高时， 当下游水面与门顶同高时，在E处 处 将闸门吊起所需要的拉力
hD hC
θ
FP
FT ≥ 28.0kN
G d
题2.20图
2.22
高度H＝ ，宽度b＝ ，的密闭高压水箱， 高度 ＝3m，宽度 ＝1m，的密闭高压水箱，在水箱
h3 4 B N N h2 2 D h1 1 D C C 3
气体
pM = 0.3 ×1000 × 9.8 = 29.4(kN / m2 )
作等压面DD 作等压面 、NN、CC
pM + ρ水 g (h3 + h1 ) = pB + ρ p gh2 − ρ0 gh1 + ρ p gh1
水银 ρp 题2.12图
h2
水
ρ gh 水
B
600
题2.19图
有一圆形平板闸门铰接于B，如图所示。 2.20 有一圆形平板闸门铰接于 ，如图所示。闸门的直径 d=1m，水平倾角 ，
α = 60，闸门中心点位于上游水面以下
4m处，闸门重G=980N，求闸门分别当： 处 闸门重 ，求闸门分别当： （1）下游无水；（2）下游水面与门顶同高时，在E处将 下游无水；（2 下游水面与门顶同高时， ；（ 处将 闸门吊起所需的拉力 分别为多大? FT分别为多大?
由（1）可知： 可知：
P左
的作用点 yD1=4.632m，
FT hD hC FP
E
P右的作用点
I xc yD1 = yc + yc × A
4 hc π d / 64 = + hc sin θ ×π d 2 / 4 sin θ = 4.74m
a
B C D
θ
G d
题2.20图
根据
∑M
B
= 0 可得
G × d / 2 cos θ + p左 × BD − FT × d cos θ－p右 BD2 = 0
2.2 如题 图所示封闭水箱两测压管的液面高程为▽1=100cm， 如题2.2图所示封闭水箱两测压管的液面高程为 图所示封闭水箱两测压管的液面高程为▽ ， ▽2=20cm，箱内液面高程为 ， 1 为多少？ ▽4=60cm。问▽3为多少？ 。 为多少 标高等压面有： 解：在▽4 标高等压面有：
4 ρ
p 0
AC = 2.12m
F1 = p A × AB × b = 357.35kN
A p A H F1 h2 F h1 2 ρp p
B
1 F2 = ( pB − p A ) ⋅ AB ⋅ b 2 = 62.328kN
C
D B
AD = 2.83m
（４）由静水压力施加的绕Ａ 由静水压力施加的绕Ａ 轴的力矩
题2.22图
1
p1 ，板的面积为 1, 板的面积为A
p1 = ( ρ油 g × h1 / 2） A1 = 4.619kN ×
I xc1 = 0.77 m y1 = yc1 + yc1 × A1
水
h2
0 B 60
题2.19图
对于BE板部分：设此部分板的面积为 静水压力为p 对于 板部分：设此部分板的面积为A2，静水压力为 2, 板部分 p2的作用点距A为y2 的作用点距A
= −17200 + 700 × 9.8 × (15 − 11.6) pa = 40524 pa
E F G 20.0 ห้องสมุดไป่ตู้5.0 11.6 8.0 6.0 hp ρ p 4.0
空气
ρ 1 ρ2 ρ 3
ρ1 g ( H E − 11.6) = 40524 pa,
H E = 12.5m
题 2.10图
测管F 测管F： −17200 + ρ1 g (15.0 − 11.6) + ρ 2 g (11.6 − 8.0) = ρ 2 g ( H F − 8.0)
A p A H F1 h2 F h1 2 ρp p
B
C
ρ汞 gh2 = pB + ρ水 gh1
pB = ρ汞 gh2 − ρ水 gh1 =113.68kN / m2
D B
题2.22图
p A = pB − ρ水 gH = 84.28kN / m2 （２）箱顶压强
（３）为方便计算，可将压强分布图划分为两部分： 为方便计算，可将压强分布图划分为两部分： 矩形部分压力F 作用点为C， 矩形部分压力 1，作用点为 ，三角形部分提供的压力为 F2，作用点为 ， 作用点为D，
根据 可得
∑M
B
=0
G × d / 2 × cos θ + p × BD − FT × d cos θ = 0
FT hD hC FP
E
FT = 32.2kN
a
B C D
θ
G d
题2.20图
（2）根据解析法可得此时图形阀门上的静水总压力
P左 = pc A = 30.79kN , P右 = pc' A = 3.33kN
p0 abs = ρ汞 gz1 = 13600 × 9.8 × 0.05 = 6.664kN / m
得z2 = 0.68m
2
p z1
z2
0
N
N
水
p0 abs = ρ水 gz2 = 6.664kN / m2，
题2.17图
设一受两种液压的平板AB如图所示其倾角， AB如图所示其倾角 α 2.19 设一受两种液压的平板AB如图所示其倾角， = 60 上部油的深度 h = 1.0m ，下部水的深度 h2 = 2.0m ，油 的密度 ρ油 = 816.33kg / m3 ，求作用在AB板上（单宽）的 求作用在 板上（单宽） 板上 静水总压力及其作用点的位置。 静水总压力及其作用点的位置。 板浸在两种不同的液体中， 解：解析法求解，由于AB板浸在两种不同的液体中，计算 解析法求解，由于 板浸在两种不同的液体中 分为AE板和 板和BE板 分为 板和 板 A 对于AE板部分 板部分： 对于 板部分： h1 油 设此部分板上受到的静水压力为
pB = pM + ρ水 g (h3 + h1 ) − ρp gh1 + ρ0 gh1 − ρp gh2 = −28.812(kN / m2 )
2.17如图所示容器中，两测压管的上端封闭，并为完全真空， 2.17如图所示容器中，两测压管的上端封闭，并为完全真空， 如图所示容器中 测得 z1 = 50mm ，求封闭容器中液面上的绝对压强 p0abs 及 z2 之值。 之值。 解：
M ' = F1 × AC + F2 × AD = 933.97 kN ⋅ m
一密闭盛水容器， 2.25 一密闭盛水容器，已知 h1 = 0.6m ，2 = 1m ， h 水银测压计读数 hP = 0.25m 。试求半径 R = 0.5m 的球形盖AB所受总压力的水平分力和铅垂分力。 所受总压力的水平分力和铅垂分力。 解： Px = pc Az
pE + p B p2 = × A2 = 41.07 kN 2
BE 3 /12 y2 = ( AE + BE / 2) + ( AE + BE / 2) × BE = 2.502m 2.502m
A h1
油 水
h2
0 B 60
p = p1 + p2 = 4.619 + 41.107 = 45.725kN
−17200 + 700 × 9.8 × 3.4 + 1000 × 9.8 × 3.6 = 1000 × 9.8 × ( H F − 8.0)
得：
H F = 12.2m
测管G： 17200 + ρ1 g (15.0 − 11.6) + ρ 2 g (11.6 − 8.0) + ρ3 g (8.0 − 6.0) = ρ3 gH G −
底部连接一水银测压计如图所示，测得水银柱高 底部连接一水银测压计如图所示，测得水银柱高h2=1m，水柱 ， 与水平方向成45 转轴在A点 高h1=2m，矩形闸门 与水平方向成 °角，转轴在 点。试 ，矩形闸门AB与水平方向成 求为使闸门关闭所需施加在转轴上的锁紧力矩。 求为使闸门关闭所需施加在转轴上的锁紧力矩。 解：（１）求高压水箱底部压强 ：（１ 如图取等压面Ｎ-Ｎ，则： 如图取等压面Ｎ Ｎ，则 Ｎ，
P = ρ g(∇1−∇4) （1） 0
在▽3标高等压面有： 标高等压面有：
2 3 ρp
P0 +ρ g (∇ 4 − ∇3)=ρ P g(∇ 2 − ∇3) （2）
由（1）、（2）两式可得： ） ）两式可得：
∇3 = 13.65cm
用图示U形管量测密闭盛水容器中 点压强， 形管量测密闭盛水容器中A 2.3 用图示 形管量测密闭盛水容器中A点压强，管右端开口通 大气，如果h 点的绝对压强和相对压强， 大气，如果 1=1m ，求A点的绝对压强和相对压强，并分别用 国际单位( 水柱高度（ ），水银柱高度（ ），水银柱高度 国际单位(N/m2) ，水柱高度（m），水银柱高度（mm）压示。 ）压示。 解：取等压面N-N，A点相对压强： 取等压面N 点相对压强： PA = ρ水 gh = 1000 × 9.8 ×1 = 9.8 kN / m2） （ 点的绝对压强： A点的绝对压强：
1 1 h2 2 o 2 = ρ油gh1 ⋅1/ sin 60 + ρ 水 gh2 + ρ 水 gh1 ⋅1 o 2 2 sin 60
A
可以采用合力之矩定理求得， 可以采用合力之矩定理求得，
h1
油
ρ gh 油
2 F ⋅ AD = F1 ⋅ h1 / sin 60o 3 2 + F2 ⋅ h2 + h1 / sin 60o 3 1 + F3 ⋅ h2 + h1 / sin 60o 2
−17200 + 700 × 9.8 × 3.4 + 1000 × 9.8 × 3.6 + 1600 × 9.8 × 2 = 1600 × 9.8 × H G
得： H G = 10.6m 求 HP
ρ 2 g ( H F − 8.0) + ρ 2 g (8.0 − 4.0) = ρ p gH p
1000 × 9.8 × (12.2 − 8.0) + 1000 × 9.8 × 4 = 13600 × 9.8 × H p
2
N
h A
PAbs = Pa + PA = 98 + 9.8 = 107.8 kN / m ） （
N
A点绝对压强用水柱压示 PAbs 题2.3图 h水 = = 11m水柱 ρ水 g Pabs 107.8 = = 808.8 （mm汞柱） 用mm汞柱压示为 h汞 = 汞柱压示为 ρ汞 g 13600 × 9.8 A点相对压：用水柱压示为 点相对压： 用汞柱压示
题2.19图
pyD = p1 y1 + p2 y2
yD = 4.619 × 0.77 + 41.107 × 2.502 = 2.327m
，
H D = 2.02m
采用几何法：画出压强分布图如图所示； 采用几何法：画出压强分布图如图所示；静水总压力为
F = F1 + F2 + F3
静水总压力合力作用线位置 设合力作用点为D点，则 设合力作用点为 点
h 水 = 1m水柱 P 9.8 h汞 = A = = 73.6mm汞柱 ρ汞 g 133.28
图示容器中盛有三种不相混合的液体， 2.10 图示容器中盛有三种不相混合的液体，其密度分别为 ρ1 = 700kg / m3 ρ 2 = 1000kg / m3 ρ3 = 1600kg / m 3 ，在容器右侧壁上安装三根测管E、F、G，左侧壁上安装有 在容器右侧壁上安装三根测管 、 、 ， U形水银测压计，容器上部压力压的读数为 − 17200 pa 形水银测压计， 形水银测压计 试求：（1 中液面的高程； 试求：（1）测压管E、F、G中液面的高程； ：（ （2）水银测压计的液面高差 hP （注：不计空气质量）。 不计空气质量）。 解：测管E： 测管E PE = P表 + ρ1 gh1
FT hD hC
2
解；根据解析法可得图形平板 阀门的静水总压力
a
B C
p = pc × A = ρ水 ghc × π d / 4 = 30.79kN
θ
FP
E
D
G d
题2.20图
总压力P的作用点 总压力P
Ixc hc πd4 / 64 yD = yc + = + = 4.632m hc yc × A sinθ ×π d 2 / 4 sinθ
E F G 20.0 15.0 11.6 8.0 6.0 hp ρ p 4.0
空气
ρ 1 ρ2 ρ3
H P = 0.6m
题 2.10图
2.12 图示为一测压装置，容器A中水面上压力压M的读数 为0.3个大气压，1 = 20cm , h2 = 30cm ,h3 = 50cm，该测压 h 装置中U形上部是酒精，其密度为800kg/m3，试求容器B中 气体的压强 p，ρ、ρ p、ρ 0 分别 M 酒精 ρ 0 为水、水银、酒精的密度。 解：压力压读数
代入数据并整理可得
FT = 28.0kN
FT a
B C E D
当下游水面与门顶同高时， 当下游水面与门顶同高时，在E处 处 将闸门吊起所需要的拉力
hD hC
θ
FP
FT ≥ 28.0kN
G d
题2.20图
2.22
高度H＝ ，宽度b＝ ，的密闭高压水箱， 高度 ＝3m，宽度 ＝1m，的密闭高压水箱，在水箱