中考最值问题大全2019解析

中考最值问题解题策略垂线段最短在最值问题中的应用模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的取值范围是_______________。

2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．3. 如图，在Rt △AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ的最小值为________．模型二“胡不归”问题基本模型：两定一动，动点在定直线上问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使2AP＋BP最小．解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将2AP转化为PE，使得2AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”找到最小值的位置．4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线BD上的一个动点，则12BP＋PC的最小值是( )A. 3B. 33C. 3D.33A BOM5. 如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．6、如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.②点D 与B 、C 不重合时，过点D 作DE ⊥AC ， DF ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．7．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（ ）8．如图6－2－6，O 为原点，每个小方格的边长为1个单位长度，A 、B 是第一象限内横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB ＝10． ⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．AB CMN OAx yOBx yOCxyODxy图6-2-5图6-2-6ABOP x y C DABOxy C图6-2-49．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC＝513探究：如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．拓展如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值；⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．对称性质在最值问题中的应用模型一 两点一线 类型1 异侧和最小值问题问题：两定点A 、B 位于直线l 异侧，在直线l 上找一点P ，使PA ＋PB 值最小． 问题解决：结论：根据两点之间线段最短，PA ＋PB 的最小值即为线段AB 长． 类型2 同侧和最小值问题问题：两定点A 、B 位于直线l 同侧，在直线l 上找一点P ，使得PA ＋PB 值最小． 问题解决：ABC ABCDF E 图6-2-7①图6-2-7②类型3 同侧差最小值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．问题解决：结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.类型4 同侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，则|PA－PB|的最大值为线段AB 的长．类型5 异侧差最大值问题问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．问题解决：结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为________．2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时，则y的值为________．3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．4、如图6－1－1的两条对角线分别为6和8，M、N分别是BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝.5、如图6－1－1⑤，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D是BC边上的点，CD＝3，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是.6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC中，AB＝6，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使PB＋PE的值最小，最小值为.（2）如图6－1－2②，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P 是OB上一动点，则PA＋PC的最小值是；（3）如图6－1－2③，点D、E分别是△ABC的AC、AB边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，P在BC边上，则△PDE周长的最小值为.7.（1）如图6－1－3①，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为.（2）如图6－1－3②，菱形ABCD中AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为.M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是.B图6-1-1④（3）如图6－1－3③，锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，AD平分∠BAC，CB P图6-1-3②图6-1-3③C图6-1-2①图6-1-2②图6-1-2③8.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB上的动点，则△PQR 周长的最小值是 . （2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x (x <0)上，点P 、Q 分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.A .y ＝xB .y ＝x ＋1C .y ＝x ＋2D .y ＝x ＋39. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB ＝a 上找一点MMN ⊥a 且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ A .6 B .8 C .10 D .1210、如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的范围：__________________11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是____________________． 12．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．13．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15－PB ＝__________________.14．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过A (－1,0)、C (0,4)两点，与x 轴交于另一点B ．⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值． 图6-1-14图6-1-15图6-1-16A BO PRQ a b 图6-1-4① 图6-1-5图6-1-13③模型二一点两线类型1 一定点与两条直线上两动点问题问题：点P在∠AOB的内部，在OB上找一点D，在OA上找一点C，使得△PCD周长最小．问题解决：结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长．类型2 两定点与两条直线上两动点问题问题：点P、Q在∠AOB的内部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小．问题解决：结论：将问题转化为类型1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q’长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋PQ的值．1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的周长的最小值是________．模块四 “小虫爬行问题”例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面 周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为多少cm ?【规律】“一点内一点外要用轴对称.” 练习：1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只A（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .（3）6－1－7③,圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .A .20B .10C .14D .无法确定（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器内侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到内部的点M 的最短距离等于 . 2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？ 图6-1-7④ 图6-1-7 ③图6-1-7②图6－1－8A C ′ 蚂蚁蜜蜂ABCD A ′ B ′C ′D ′图6－1模块五折叠最值【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合情推理能力.方法是：（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.1、如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值范围是.【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为.模块六圆中最长弦是直径解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、或圆中线段最小值时常用它．1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小值是_________________．2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．模块七、求两正数和的最小值[9]解法：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2(a、b为正数)，则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝2，即m＋n≥，当且仅当m＝n时等号成立．这是高中两个最重要的不等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．1、阅读理解：对任意实数a，b，∵（2≥0，∴a－＋b≥0，∴a＋b≥2a＝b时，等号成立．根据上述内容，回答下列问题：⑴若m＞0，只有m＝____时m＋1m有最小值______________；AB C′D′图6－1－9图6－1－11B′A′D′C′P′QA′图6-3-2图6-3-1⑵若n ＞0，只有n ＝_____时n ＋2n有最小值_____________； ⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋22x有最小值___________________;2、如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B 不重合的任意一点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥并指出等号成立时的条件．3、如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲线y ＝12x (x ＞0)上任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．4、公式：对于任意正数a 、b ，总有a ＋b ≥a ＝b 时，等号成立． 直接应用或变形应用⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝1x （x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.⑵已知函数y ＝x ＋ax(a ＞0，x ＞0)，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________．⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1)2＋4，当x ＞－1时，求21yy 的最小值，并指出相应的x的值．实际应用已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？模块八 二次函数最值解法归一：“二次整数ax 2＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a ,b ,c 为常数，且a ≠0） 1、 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________;B图6-4-12、如图6－6－1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD 于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），C （5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.4、如图6－6－3，把一张边长为4的正方形ABCD折叠，使B点落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．图6-6-2 图6-6-3 C D EP图6-6-155模块九 几何探究最值类[8]1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）． 路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则l 12＝AC 2＝AB 2＋2BDC l 22＝(AB ＋BC )2，将AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC 长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：l 12＝AC 2＝ ； l 22＝(AB ＋BC )2＝ ； l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ,高AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 12＝AC 2＝ ；路线2：l 22＝(AB ＋BC )2＝ ；∵l 12 l 22，∴l 1 l 2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.2、在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点)；图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2,且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).观察与计算（1）在方案一中， d 1＝ km (用含a 的式子表示)；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路C图6-7-1①图6-7-1②沿AB 剪开 摊平图6-7-2①图6-7-2②图6-7-2③P5d 2＝ km (用含a 的式子表示).探索归纳：（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；②当a ＝6时比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；（2）请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？3、（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A 与 重合，点B 与 重合.探究与发现（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？创新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.′图6-7-4②图6-7-4①B C ′′ 图6-7-3⑤图6-7-4B 图6-7-3④B B A B ′’′ ’′图6-7-3① 图6-7-3②图6-7-3③。