matlab最小二乘法

4. 设某物理量Y与X 满足关系式Y=aX2+bX+c，实验获得一批数据如

下表，试辨识模型参数a，b和c 。（50分）

X 1.01 2.03 3.02 4.015 6.027.038.049.0310

Y9.6 4.1 1.30.40.050.10.7 1.8 3.89.0单，最后给出结果及分析。

(1) 问题描述：

由题意知，这是一个已知模型为Y=aX2+bX+c，给出了10组实验输入输出数据，要求对模型参数a，b，c进行辨识。这里对该模型参数辨识采用递推最小二乘法。

(2) 参数估计原理

对该模型参数辨识采用递推最小二乘法，即RLS（recurisive least square），它是一种能够对模型参数进行在线实时估计的辨识方法。

其基本思想可以概括为：新的估计值=旧的估计值+修正项

下面将批处理最小二乘法改写为递推形式即递推最小二乘参数估计的计算方法。

批处理最小二乘估计为，设k时刻的批处理最小二乘估计为：

令

K时刻的最小二乘估计可以表示为

=

=；式中，因为要推导出P(k)和K(k)的递推方程，因此这里介绍一下矩阵求逆引理：设A、（A+BC）和（I+）均为非奇异方阵，则通过运用矩阵求逆引理，把复杂的矩阵求逆转化为标量求倒数，大大减小了计算量。与间的递推关系。最终得到递推最小二乘参数递推估计公式如下：

（3)程序流程图 (如右图1所示）

递推最小二乘法（RLS）步骤如下：

已知：、和d。

Step 1 ：设置初值和P(0)，输入初始数据；

Step2 ：采样当前输出y(k)、和输入u(k)

Step3 ：利用上面式计算、和；

Step4 ：kk+1，返回step2，继续循环。

图1 程序流程图

(4) Matlab仿真程序、输出参数估计值、

参数估计变化轨迹图像、结果分析

仿真程序如下：

X=[1.01 2.03 3.02 4.01 5 6.02 7.03 8.04 9.03 10]; Y=[9.6 4.1 1.3 0.4 0.05 0.1 0.7 1.8 3.8 9.0];

%实验输入数据、实验输出数据

syms a b c % 定义待辨识参数

theta=[a;b;c]; %theta包含待辨识参数a，b，c

theta1=zeros(3,1); %对象参数初始化

P=10^6*eye(3) %构造初始P阵

for k=1:10 %仿真步长范围1到10

phi=[X(k)*X(k);X(k);1];

%y=aX*X+bX+c=phi'*theta

%theta=[a；b；c]；phi=

[X(k)*X(k);X(k);1]

K=P*phi/(1+phi'*P*phi); %递推最小二乘法K阵的递推公式

theta=theta1+K*(Y(k)-phi'*theta1); %theta的递推公式

P=(eye(3)-K*phi')*P; %递推最小二乘法P阵的递推公式

theta1=theta; %theta的最终估计向量

theta2(:,k)=theta; %theta估计向量矩阵化，目的是为了

%下面的plot仿真图像输出

end

theta1 %输出参数估计值

plot([1:10],theta2) %输出参数逐步递推估计的轨迹图像

xlabel('k'); %设置横坐标为步长k

ylabel('参数估计a，b，c'); %纵坐标为估计参数a，b，c legend('a','b','c'); %标示相应曲线对应的参数

axis([1 10 -10 20]); %设置坐标轴范围

P =

1000000 0 0

0 1000000 0

0 0 1000000

输出参数估计值、参数估计变化轨迹图像：

theta1 =

0.4575

-5.0734

13.3711

图 2 参数估计逐步变化轨迹图像

结果分析：

通过matlab仿真可知，由递推最小二乘法辨识到的参数为：

a=0.4575；b=-5.0734；c=13.3711

所以Y=0.4575-5.0734X+13.3711 。通过输入输出的数据验算，模型参数a，b，c的递推最小二乘估计在误差允许的范围内基本符合要求。从上面参数估计逐步变化轨迹图像看出，参数a，b，c的递推估计曲线变化比较明显，曲线也不够平滑，这可能是由于题目只给出了10组实验输入输出数据，数据长度不算大，导致了参数估计的误差增大和估计精度不够高。