材料力学-教材-02

第二章 杆件的内力2.1 杆件内力的一般描述·截面法杆件在外力作用下，任一横截面的内力如第一章1.3节中图1.3所示。

不失一般性地讨论，横截面上的内力应为空间力系。

由理论力学静力学知识，无论杆件横截面上的内力分布如何复杂，主矢和内力主矩。

图2.1在图2.1仅引起一种基本变形。

图2.1x M 、y M 、z M 方向上的分量。

其中：x F 与轴线重合，称之为轴力y F 、z F x M 的扭转变形。

y M 、z M 作用平面与横截面垂直，称之为弯矩，二者均使杆件产生弯曲变形。

下面的讨论将首先基于仅引起一种基本变形的外载所对应的内力及其力学行为（第三章、第四章），并在此基础上讨论引起两种或两种以上基本变形（又称组合变形）的外载对应的力学行为（第六章）。

在绪论中已介绍了内力的概念和截面法（1.3节），内力的计算是强度计算的基础，计算杆件内力的基本方法是截面法，该法可归纳为以下三个步骤：(1)在欲求内力的截面处用一平面假想地把构件分成两部分,任取一部分作为研究对象,将工程中有许多杆件，例如液压传动机构中的活塞杆（图2.2a），桁架结构中的拉杆或压N23 1.5kN F F =-=- （c ）以横坐标x 表示横截面的位置，纵坐标表示相应截面上轴力N F ，于是便可用图线表示沿杆件轴线轴力的变化情况（图e ），这就是轴力图。

在轴力图中拉力绘在x 轴的上侧，压力绘在下侧。

由（a ）、（b ）、（c ）三式可知，横截面上的轴力等于该截面一侧的所有轴向外力的代数和。

当外力为拉力时，在该截面引起正的轴力；当外力为压力时，在该截面引起负的轴力。

例2.2 如图a 所示。

已知50kN F =解：设混凝土柱AB N150kN F F =-=-，N23F F =-若考虑混凝土柱的自重，截面面积为1A ，BC 何，请读者考虑。

2.3 机械中的传动轴（图2.5a ）、水轮发电机的主轴（图2.6a ）均以扭转为其主要变形。

它们可简化为图2.5b 、图2.6b 中的计算简图，其特点是在杆件两端作用大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转的功率等于力偶矩e M 与角速度ω的乘积，即截面n n -由平衡方程M ∑T 段在截面n n -扭矩T T 均为正。

例2.3传动轴如图a 所示。

主动轮A 输入功率为36kW A P =，从动轮B 、C 、D 输出功率分别为11kW 14kW B C D P P P ===，，轴的转速为300r/min n =。

试作轴的扭矩图。

解：按式（2.1）算出作用于轴上的外力偶矩36954995491146N m 3001195499549350N m 3001495499549446N m 300A A B B C D D P M n P M M n P M n =⨯=⨯=⋅==⨯=⨯=⋅=⨯=⨯=⋅从受力情况看出，轴在BC 、CA 、AD 三段内的受力并不相同。

现用截面法研究各段内的扭矩。

在BC 段内以任一横截面Ⅰ-Ⅰ将轴分为两段，并取左段研究，将截面Ⅰ-Ⅰ上的扭矩1T 设为正（图b ）。

由左段的平衡方程100x B M T M ∑=+=，，得1350N m B T M =-=-⋅结果中的负号表示1T 的方向与假设的相反，即1T 为负值扭矩。

同理，在CA 段内任取截面Ⅱ-Ⅱ，其上扭矩2T 仍设为正，由左段的平衡方程200x C B M T M M ∑=++=，，得2700N m B C T M M =--=-⋅在AD 段内任取截面Ⅲ-Ⅲ，扭矩3T 仍设为正，由右段的平衡方程0x M ∑=，30D T M -=例2.3图得3446N m D T M ==⋅结果为正，表明3T 的方向与假设相同，即3T 为正值扭矩。

仿照轴力图的作法，以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示相应截面上的扭矩，按照求出的各段扭矩值，即可得到轴的扭矩图（图c ）。

车刀被牢牢地固定在刀架中，A端截面既不能移动，也不能转动，可以简化为固定端。

支座反力可以根据静力平衡方程求出的梁称为静定梁。

根据支座约束的不同情况，静定梁可分为三种基本形式。

（1）简支梁。

一端为固定铰支座，一端为可动铰支座（图2.10a）。

（2）悬臂梁。

一端为固定端约束，另一端自由，（图2.10b）。

（3）外伸梁。

固定铰支座和可动铰支座不在梁端（图2.10c）。

根据上述符号规则和内力与外力间的平衡关系可知，对水平梁的某一指定截面来说，在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，在该截面产生正的剪力；反之，产生负的剪力。

至于弯矩，则无论在指定截面的左侧或右侧，向上的外力产生正的弯矩，向下的外力产生负的弯矩（图2.12）。

例2.4 桥式起重机的梁，可简化为图示的计算简图，梁上作用的集中力F 为吊车和吊重的重力，均布载荷q 为梁的自重。

若已知50kN 10kN/m F q ==，，梁长2m l =，试求梁横截面D 上的剪力和弯矩。

解：利用对称性容易求出两端支反力35kN A B F F ==在截面D 左侧的外力有A F D 上，A F 5.0⨯A F ；均布载荷引起的剪力和弯矩均为负，为5.0⨯q 和25.05.0⨯⨯q 。

故D 截面上的剪力和弯矩分别为 S 0.530kN A F F q =-⨯=0.50.50.516.25kN m 2A M F q =⨯-⨯⨯=⋅ 2.5 剪力方程与弯矩方程·剪力图与弯矩图从前面的讨论看出，一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化。

若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x 的函数，即)(x F F S S =)(x M M =上面的函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。

与绘制轴力图和扭矩图一样，可以用图线表示梁横截面上的剪力和弯矩沿轴线变化的情况。

以平行于梁轴的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力或弯矩，所绘制的图线分别称为剪力图和弯矩图①。

下面举例说明。

例2.5 图示悬臂梁受均布载荷q 作用。

试作梁的剪力图和弯矩图。

解：以A 点为坐标系原点建立坐标系如图a 所示。

在坐标为x 的任意横截面左侧，外力只有均布载荷。

根据剪力和弯矩的计算方法及符号规定，可求得该截面上剪力和弯矩的表达式分别为① 本书将弯矩图画在梁弯曲变形受压的一侧。

在土木工程中习惯将弯矩图画在梁弯曲变形受拉一侧。

S ()F x q x =-⋅ (0)x l ≤< (a) 22)(2qx x qx x M -=⋅-= (0)x l ≤< (b) 这就是梁的剪力方程和弯矩方程。

式)(a 表明，剪力图是一斜直线，只需确定两点，例如在0=x 处S 0F =，在 l x =处S F ql =-，即可绘出（图b ）。

式(b)表明，弯矩图是抛物线，需要确定曲线上的几个点，才能绘出该条曲线（图c ）。

A B Fb Fa F F l l==， 以梁的左端为坐标原点，建立坐标系如图a 所示。

由于集中力F 的作用，将梁分为AC 和CB 两段，两段内的剪力或弯矩不能用同一方程式表达，应分段列出。

在AC 段内取距原点为x 的任意横截面左侧，根据剪力和弯矩的计算方法及符号规定，可求得AC 段的剪力和弯矩方程分别为S ()Fb F x l=(0)x a << (a) x l Fb x M =)( )0(a x ≤≤ (b) 在CB 段内取坐标为x 的任意截面，该截面上的剪力方程和弯矩方程分别是S ()Fb Fa F x F l l=-=- )(l x a << (c) )()()(x l l Fa a x F x l Fb x M -=--= )(l x a ≤≤ (d)当然，在CB 段内如用截面右侧的外力计算，会得到相同的结果。

由(a)、(c)两式可知，左、右两段梁的剪力图各是一条平行于x 轴的直线。

由(b)、(d)两式可知，左、右两梁段的弯矩图各是一条斜直线。

根据这些方程绘出的剪力图和弯矩图如图b 、c 所示。

由图可见，在集中力作用处，左、右两侧截面上的剪力值有突变，且突变量为集中力的值。

在集中力作用处截面上的弯矩值为最大。

例2.7 图a 所示的简支梁在C 点处受矩为e M 的集中力偶作用。

试作此梁的剪力图和弯矩图。

解：e A M F l =CB 同。

这些方程是S ()A F x F =-=AC 段： ()A M x F x =-=CB 段： ()()B M x F l x =-=示。

例2.8 图a 集中力 2 kN F =，集中力偶e M 剪力图和弯矩图。

解： 1 kN A F =（向上）， F 分AB 和BC AB 段，以A 矩的表达式为S 111()1A F x F qx x =-=- (11)(x F x M A =当列BC 段内的剪力方程和弯矩方程时，为使方程简单，可以C 为坐标原点，距C 点为2x 的任意横截面上的剪力和弯矩的表达式为S 2() 2 kN F x F == 2(0 1.5m)x <<2222)(x Fx x M -=-= 2(0 1.5m)x ≤<按以上方程作出剪力图和弯矩图分别如图b 、c 所示。

式(b)表明，AB 段内的弯矩图是抛物线，作弯矩图时，有三个截面上的弯矩应该求出，即A 、B 截面和弯矩为极值的截面。

根据极值条件0)(11=dx x dM ，由式(b)，得 011=-x由此解出1 1 m x =，亦即在该截面上弯矩为极值。

代入式(b)得弯矩的极值为0.5 kN m M =⋅。

)(x ∆均布的（图2.13a ）连续变化（图2.13b ）截面C 直梁的受力如图 2.14a 载荷集度)(x q 是x 大为图2.14b 。

微段左边截面上的剪力和弯矩分别为S ()F x 和)(x M ，它们都是x 的连续函数。

当x 有一个增量d x 时，S ()F x 和)(x M 的相应增量是S d ()F x 和d ()M x 。

所以，微段右边截面上的剪力和弯矩分别是S S ()d ()F x F x +和()d ()M x M x +。

微段上的这些内力均设为正，且设微段内无集中力和集中力偶。

由微段的静力平衡方程0y F ∑=和0C M ∑=（C 为微段右侧截面形心），得[]S S S ()()d ()()d 0F x F x F x q x x -++=[]S d ()()d ()()d ()d 02x M x M x M x F x x q x x -++-⋅-⋅⋅=整理以上两式，并略去第二式中的高阶微量d ()d 2xq x x ⋅⋅，得 S d ()()d F x q x x = （2.2） S d ()()d M x F x x= （2.3） 从式（2.2）和式（2.3）又可得到如下关系2S 2d ()d ()()d d F x M x q x x x== 以上三式表示了直梁载荷集度、剪力和弯矩之间的关系。