锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数的题型及解题技巧

锐角三角函数是三角函数的基础，它应用广泛，解题技巧性强，下面归纳出锐角三角函数的常见题型，并结合例题介绍一些解题技巧。

一、 化简或求值

例1 （1）已知tan 2cot 1αα-=，且α是锐角，的值。

（2）化简()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-。

分析 （1）由已知可以求出tan α1tan cot αα=⋅；

（2）先把平方展开，再利用22sin cos 1αα+=化简。 解 （1）由tan 2cot 1αα-=得2tan 2tan αα-=，解关于tan α的方程得

tan 2α=或tan 1α=-。又α是锐角，∴tan 2α=＝

tan cot αα-。由tan 2α=，

得1cot 2α=＝tan cot αα-＝13222

-=。 （2）()()22sin cos cos sin a b a b αααα++-＝

2222sin 2sin cos cos a ab b αααα+⋅⋅+＋2222cos 2cos sin sin a ab b αααα-⋅⋅+＝()()222222sin cos sin cos a b αααα+++＝22a b +。

说明 在化简或求值问题中，经常用到“1”的代换，即22sin cos 1αα+=，tan cot 1αα⋅=等。

二、已知三角函数值，求角

例2 在△ABC 中，若2

cos sin 0A B ⎛-= ⎝⎭(),A B ∠∠均为锐角，求C ∠的度数。

分析 几个非负数的和为0，则这几个数均为0。由此可得cos A 和sin B 的值，进而求出,A B ∠∠的值，然后就可求出C ∠的值。

v1.0 可编辑可修改 解 由题意得2cos 0,23sin 0.A B ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪解得2cos ,23sin .A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又∵,A B ∠∠均为锐角，∴45A ∠=,60B ∠=。∴18075C A B ∠=-∠-∠=.

说明 解这类问题首先要熟记特殊角的三角函数值，还要掌握一些化简的技

巧。

三、 已知锐角的一个三角函数值，求其余三角函数值

例3 已知tan 2α=，求sin cos sin cos αααα

-+的值。 分析 ∵tan 2α=，根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使

90C ∠=，AC a =，2BC a =，就可求出sin ,cos αα。

解 根据三角函数的定义，构造如图1的直角三角形，使90C ∠=，AC a =，2BC a =。则tan 2α=，()2225AB a a a =+=。∴2sin 55

BC AB α=

=，5cos 5AC AB α==. ∴sin cos sin cos αααα-+＝21555155213

355555

-==+。 说明 构造直角三角形解题，特别是解几何问题是应用比较广泛的一种方

法。

四、比较大小

例4 若太阳光线与地面成37的角，一颗树的影长10米，取3 1.7=，则

树高h 的范围是（ ）

A 35h <≤

B 510h <<

C 1015h <<

D 15h >

分析 ∵10tan 37h =⋅，利用正切函数的性质估算出tan37的范围即可。 解 ∵303745<<，∴tan30tan37tan 45<<。而10tan 37h =⋅，

∴10tan3010tan3710tan 45⋅<⋅<⋅， 1.7101013

h ⨯<<⨯，即510h <<。故选B 。 说明 掌握三角函数函数值随自变量的变化的性质，正确估算是解此题的关键。

五、求齐次式的值

例5 已知tan 2α=，（1）求sin 3cos 2cos 5sin αααα

-+的值； （2）求222sin sin cos cos αααα-+的值。

分析 （1）可以仿造例3构造直角三角形求解。亦可考虑sin α、

cos α及tan α的关系，在sin 3cos 2cos 5sin αααα

-+的分子、分母同时除以cos α，转化为tan α的代数式，然后求值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的分母是1，利用22sin cos 1αα+=，仿造（1）求解。

解 （1）∵tan 2α=，

∴sin 3cos 2cos 5sin αααα-+＝sin 3cos cos 2cos 5sin cos αα

αααα

-+＝tan 325tan αα-+23253-=+⨯＝112

-。 （2）∵tan 2α=，

∴22

2sin sin cos cos αααα-+22222sin sin cos cos sin cos αααααα-+=+222tan tan 1tan 1ααα-+=+22222121⨯-+=+75

=。 说明 如果所求代数式是关于sin α和cos α的齐次式或可转化为sin α和cos α的齐次式，可把原代数式转化成关于tan α的代数式求解。