降雨量模型

降雨量预测方法优劣的评价摘要本文就如何评价降雨量预报方法的优劣建立了相应的数学模型，并且用气象部门提供的数据对两种预报方法进行了比较。

首先用误差作为评价标准，对问题1建立了对两种降雨量预报方法进行比较的数学模型。

在计算误差的时候，为了使取值更具有比较意义，只选择离观测站最近的预测位置的预测值进行计算，通过对误差的计算，建立了数学模型。

用Object Pascal编程求解，得出了如下结论：第一种降雨量的预报方法优于第二种预报方法。

问题2在问题1所建模型的基础上建立另外一个数学模型，该模型巧妙结合公众的满意度来评价预测方法的优劣。

其中，在使用量化的方法对公众的满意程度进行刻划的时候，充分考虑公众的认知心理，使用了柯西分布隶属函数。

同样用Object Pascal编程求解，得出了如下的结论：第一种方法优于第二种方法。

综合问题1和2的结论，第一种方法优于第二种方法。

关键字降雨量预测数学模型误差柯西分布隶属函数1 问题重述雨量预报对农业生产和城市工作和生活都有重要作用，但准确、及时地对雨量作出预报是一个十分困难的问题，我国某地气象台、气象研究所正在研究6小时雨量预报方法，即每天晚上20点预报从21点开始的4个时段在某些位置的雨量，这些位置都位于东经120度、北纬32度附近的53×47的等距网格点上。

再设立91个观测站点实测这些时段的实际雨量，站点的设置是不均匀的。

气象部门提供了41天的用两种不同方法的预报数据和相应的实测数据，希望建立一种科学评价预报方法好坏的数学模型与方法，对两种预测方法进行评价。

其中雨量用毫米做单位，小于0.1毫米视为无雨。

(1) 请建立数学模型来评价两种6小时雨量预报方法的准确性；(2) 气象部门将6小时降雨量分为6等：0.1—2.5毫米为小雨，2.6—6毫米为中雨，6.1—12毫米为大雨，12.1—25毫米为暴雨，25.1—60毫米为大暴雨，大于60.1毫米为特大暴雨。

若按此分级向公众预报，如何在评价方法中考虑公众的感受？2 模型假设2.1 观测站所测得的降雨量准确可靠；2.2 地球可以近似地看成一个球体；2.3 降雨量等级的划分符合公众的认识；2.4 气象站预测的数据刚好够描述整个地区的降雨情况；2.5 各个预测位置的预测数据所描述的区域范围是一样的，并且各个观测站测量的区域范围是一样的。

3 符号说明i s ：第i 个观测站的经纬度向量12(,)i i i s s s =；i p ：第i 个预测位置的经纬度向量12(,)i i i p p p =；i M ：距离第i 个观测站最近的有预测雨量的位置的编号的集合；()k ij w ：第i 个位置第j 时段采用第k 种预测方法的预测值；ij u ：第i 个观测站第j 个时段的实际测量值；()k ij d ：第i 个观测站所在地区内第j 个时段采用第k 种方法的预测的降雨量和实际测量的误差；1()d j ：第j 种方法各个时段的总误差；[,]i i a b ：第i 等级的降雨量范围（i=2,3,4,5,6）；()i f x ：预测降雨量属于第i 个等级时，人们的满意程度；()g x ：降雨量x 所属的等级；()k ij H ：人们对离观测站i 最近的位置第j 时段采用第k 种方法所预测的数据的满意程度的总和；i S ：人们对第i 种方法的总满意程度。

4 模型建立4.1 问题一的分析、建模与求解由于某观测站所测的降雨量代表的是其邻近一定范围的降水量[1]，由此可认为每个观测站和其附近一定范围内被预测的位置（以下简称“位置” ）的降雨量是相等的，因而可用观测站附近位置预测的雨量和观测站实测雨量进行直接比较。

为方便叙述，对每个观测站进行编号，依次为1，2，3，…，91，第i 个观测站的经纬度用向量12(,)i i i s s s =表示（i=1,2,3,…,91）, 其中，1i s 为东经，2i s 为北纬。

同时对所有位置进行编号，依次为1，2，3，…，2491，第i 个位置的经纬度用向量12(,)i i i p p p =表示（i=1,2,3,…,2491）, 其中，1i p 为东经，2i p 为北纬。

将离观测站最近的位置所预测的雨量与观测站实测的雨量作比较。

已知各个位置与观测站的经纬度，可以利用公式[2]()(,,,)arccos cos cos cos cos cos sin cos sin sin sin A A B B A B A B A A B B A B D x y x y R y y x x y x y x y y =++ 求出它们的距离（其中地球半径R=6371km ，(,)A A x y 为A 地经纬度，(,)B B x y 为B 地经纬度）。

设M i 为距离第i 个观测站最近的位置编号的集合，则：1212{|min{(,,,)},1,2,3,...,2491}191i i i j j M j D s s p p j i ==≤≤由题中数据的分析可知，41天的数据可以分成2部分，即6月18日~6月28日为第一部分，7月1日~7月30日为第二部分。

为了方便，将日期进行编号，记6月18日为第1天，19号为第2天，依此类推，28号为第11天，7月1日为第12天，7月30日为第41天。

进而将所有441164×=个时段也进行编号，称第i 天第j 个时段为第4(i-1)+j 时段，例如第三天第二时段为第10时段。

记第i 个位置第j 个时段采用第k 种预测方法的预测值为()k ij w ，第i 个观测站第j 个时段的实际测量值为ij u 。

由于预测点的分布成等距网格式分布，所以可能存在某个观测站有多个预测点离它最近，即可能存在|M i |>1，1i 91≤≤，为了方便计算，只取它们预测值的平均值，则第i 个观测站所在地区内第j 个时段采用第k 种方法预测的降雨量和实际测量值的误差为：()()1i k k ij ij ij i M i d u w M ∈=−∑所以，第j 个时段用第k 种方法的平均误差为91()1191k ij i d =∑， 所以，第k 种方法各个时段的总误差16491()1111()91k ij j i d k d == = ∑∑。

用Mathematica 生成的各个时段的平均误差见下图（其中灰虚线为第一种方法，细黑色线为第二种方法）。

图 1 用M at h e m at i ca 生成的各个时段的平均误差图1中可以看出，方法一和方法二预测的误差是比较接近的，但第一种方法所产生的误差总是比第二种方法所产生的误差小一点。

用计算机（具体程序Compare1见附录7.2）算得1(1)75.71d ≈，1(2)80.61d ≈，显然11(1)(2)d d <，即，第一种预测方法优于第二种预测方法。

4.2 问题二的分析、建模与求解气象部门将6小时降雨量分成6个等级，不妨将“无雨”也看成一个等级，则共有7个等级，如下表：等级 名称 降雨量范围（单位：毫米）1 无雨 [0,0.1)2 小雨 [0.1,2.5]3 中雨 [2.6,6]4 大雨 [6.1,12]5 暴雨 [12.1,25]6 大暴雨 [25.1,60]7 特大暴雨 [60.1,+∞)考虑公众的感受，一般地，若天气预报准确，人们会对所预报的值表示满意；若天气预报不准确，人们会不满意所预报的值，因此可以用人们的满意程度高低来判别这两种预测方法的优劣（显然，人们满意程度高的方法更优）。

人们的满意程度可以通过量化的方法来刻划。

拟定人们对某次预报的满意程度函数()[0,1]i f x ∈，其中i 为该次预报的等级，x 为实际降雨量；若()1i f x =，则人们对该次预报“完全满意”，若()0i f x =，则人们对该次预报“完全不满意”。

考虑这样的一个过程：人们首先通过天气预报（通常只预报降雨等级）在心中形成对未来天气状况的预期。

随时间的转移，人们很快知道了真实的天气状况。

这时人们会将对真实天气状况的感受与对所预报的天气状况的理解进行比较。

两者给人感觉差距越大，人们对预报天气情况的认可程度越低，即，满意度越低。

由于“有雨”/“无雨”给人的感觉是很明显的，因而可以取110.1()00.1x f x x < = ≥ 降雨等级是根据人们的经验来划分的。

若降雨量在等级范围区间的中间，则人们容易确定所下的雨是属于哪个等级的，而在区间的两端却不容易确定，特别是在两个相邻区间的交界处会更加模糊，难以确定属于哪个等级。

假设预报的是等级A ，若实际降雨量在A 的范围区间的中间，人们会认为预报是非常准确的；若实际降雨量在A 的范围区间的两端，则会认为预报基本准确。

若实际降雨量在两个等级范围区间的交界处附近，则人们也会认为预报是比较准确的，因为人们较难辨别实际降雨的等级。

例如，若降雨量为2.6毫米，虽然应该分属于中雨，但是人们却往往区分不出是中雨还是小雨，因而不管预报的是小雨还是中雨，人们总会认为是比较准确的。

由以上分析，可知等级2到等级6的满意度函数可以采用图形大致如下的函数：图 2 等级2到等级6满意度函数的大致图像取中间型柯西分布隶属函数[3]，令 00.1()10.11()i i i i x f x x x r βα < = ≥ +− (2,3,4,5,6;0;)i i i αβ=>是正偶数记等级i 的范围区间为[,]i i a b （i=2,3,4,5,6），取1()2i i i r a b =+。

取区间左端的满意度约为0.8，与其相邻的14区间处的满意度约为0.1，即 1112333()0.82,3,4,5,63(())0.13,4,5,641(())0.14i i i i i i f a i f a b a i f a b a −−− ≈= +−≈= +−≈ 取2222210.0526902,8,() 1.32r a b αβ===+=，则 23331(())0.03990930.14f a b a +−=≈，22()0.8152890.8f a =≈，当0.1x ≥时， 281()10.0526902( 1.3)f x x =+− 取63333313.3351110,18,() 4.32r a b αβ−=×==+=，则 32223(())0.04119260.14f a b a +−=≈，33()0.9551990.8f a =≈， 当0.1x ≥时，36181()1 3.3351110( 4.3)f x x −=+×− 取84444413.8501410,14,()9.052r a b αβ−=×==+=，则 43333(())0.1212010.14f a b a +−=≈，44()0.872950.8f a =≈， 当0.1x ≥时，48141()1 3.8501410(9.05)f x x −=+×− 取125555511.0242210,14,()18.552r a b αβ−=×==+=，则 54443(())0.1752640.14f a b a +−=≈，55()0.8190570.8f a =≈， 当0.1x ≥时，512141()1 1.0242210(18.55)f x x −=+×− 取166666614.4536910,12,()42.552r a b αβ−=×==+=，则 65553(())0.2578110.14f a b a +−=≈，66()0.7379910.8f a =≈， 当0.1x ≥时，616121()1 4.4536910(42.55)f x x −=+×−由于等级7比较特殊，参考等级2到等级6的满意度函数图像，等级7的满意度函数图像大致为图 3 等级7的满意度函数大致图像取偏大型柯西分布隶属函数[3]，令70()11()x a f x x a x a βα−≤ = > +− 取6663()51.2754a ab a =+−=，6β=，记等级7的范围区间为7[,)a +∞，令77()0.8f a =，则=19.4702α，因而，76051.275()151.275119.4702(51.275)x f x x x − ≤ = > +−接下来比较人们对两种方法的预测值的满意程度。