第2章电测深曲线正演数学模型及程序设计08

第二章 电测深曲线正演数学模型及程序设

计

§2-1 电测深正演数学模型

一﹑电测深视电阻率褶积分表达式

对称四极0→MN 时：（视电阻率褶积积分表达式的导出过程）

已知：λλλλρd r J T r

r s )()()(10

12

⎰

∞

= （1）

（为了将上式变换成可以用计算机计算的离散形式，对)(r s ρ和

)(1λT 的自变量取对数，引入新变量x 和y ）

设 ⎪⎩

⎪⎨⎧-=====--dy e d e y e r r x y y x

λλλ,

)

1ln(ln （2）

代入① 式（意注意推导过程）

dy e e e e J e T e

e y y y x y x

x S )()()()(112----∞

∞

--=⎰

ρ

dy e e J e T y x y x y ))()()(211---∞

∞

-⎰=

令：)()(x x S e x ρρ= )()(1y e T y T -=

)(21)()(y x y x e e J y x F --=-

dy y x F y T x S )()()(-=⎰∞

∞

-ρ （3）

)(x T ——输入信号

)(x s ρ——输出信号

)(y x F -——滤波器脉冲响应

结论：电测深曲线正演计算可采用空间域数字滤波过程来完成。

也可写成褶积表达式： )(*)()(x F x T x S =ρ

采用对数变量后，其它常用装置系统的视电阻率)(r s ρ褶积运算的表达形式分别为：

二极装置：λρd e e J y T y

x y x st --∞

⎰=)()(0

温纳装置：dy e e J e J y T y x y x y x sw ---∞-=⎰

)]2()()[(2000ρ 式中：a x ln = 偶极装置：x

P

s

s sd ∂∂-=ρρρ 式中0=P 是为方位装置（090=θ时为赤道偶极）；2/1=P 时为径向装置（00=θ时为轴向偶极）

二﹑电测深视电阻率离散化数学模型

1﹑)(y T 离散式：

∑∞

-∞

=∆

∆-∆∆-∆=

n n y n y Sin n T y T )

()

()

()(ππ （4）

∆——采样间隔

)(∆n T ——第n 个采样点上核函数值 2﹑将（4）式代入（3）式

dy y x F n y n y Sin n T x n S )()

()

()

()(-∆

∆-∆∆-∆=⎰∑∞

∞-∞

-∞=ππρ

dy y x F n y n y Sin n T n )()

()

()(-∆

∆-∆∆-∆=

⎰

∑∞

∞

-∞

-∞

=ππ

令u n y =∆-，du dy =，当 ∆==00n x x 时

du u n n F u

u

Sin n T n n S ])[()()(0

0-∆-∆

∆∆=

∆⎰

∑∞

∞

-∞

-∞

=ππρ

令：du u n n F u

u

Sin n n C ])[(])[(0

0-∆-∆

∆=∆-⎰∞

∞

-ππ

)(])[()(0

0∆⋅∆-=

∆∑∞

-∞

=n C n n

T n n s ρ （5）

改写成编程使用的正演计算模型为：

)(]))[()(∆⋅∆-=

∆∑∞

-∞

=i C i j T j n S ρ （6）

→j 第j 个计算点序列号

→i 第i 个滤波点序号 →∆)(i C 正演滤波系数

如果给出滤波系数)(∆i C ，再根据递推公式计算出相应点的核函数值，则可由上述公式计算出相应采样点的视电阻率)(r s ρ的值。

（滤波系数)(∆i C 计算过程将在下一节详细说明）

3﹑)(∆i T 的计算：

∆--==i y e e λ

取 6)10ln(=∆每个对数节取6个点，间隔固定。

6

)

10ln(i e

-=λ，6

)

10ln(1i e

=λ

由递推公式计算)(∆i T

由以上分析可知，只要给出地电断面层参数i i h ρ,的值，由递推公式求得一系列核函数采样值)(0∆+j n T 。

§2-2 滤波系数计算方法及正演滤波系数

在电测深正演和反演问题中用到三种滤波系数： 1）、由核函数计算视电阻率函数值的正演滤波器；

2）、由视电阻率函数确定核函数（视电阻率转换函数）的反演滤波

器；

3）、由一种装置的视电阻率函数确定另一种装置的视电阻率函数的

变换滤波器。

（正演和反演滤波系数计算方法相同，目前常用的计算方法有三种：） 一﹑频率域中的付氏变换法：

由上节分析已经得出了各种装置电测深视电阻率函数和核函数在空间域中的褶积积分形式：

dy y x F y T x S )()()(1-=⎰∞

∞-ρ （1）

D ．P ．Ghosh 首次采用付氏变换计算电测深滤波系数，给出满足上式的三对函数，其中之一为：

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧⋅=+=---y e y x x

s e e y T e e x 31)()1()(25

23ρ （2） 对（2）式中的函数进行付氏变换，分别求出)(x s ρ的频谱)(f R 以及

)(y T 的频谱)(f T ，则（1）式的褶积可表示为：