大学物理 电容 电容器和电场能量
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8
在真空间隙中
DQ
E1 0 0S
在介质中
E2
D
Q
S
Q QQ
U E 1 (d t) E 2 t0 S (d t)S t0 S [d ( 0 ) t]
Q 0SU d(0)t
（ 2） CU Qd(0S 0)t1d tC (100)
组成电容器的两导体
如A、B叫电容器的
极板。
其电容为
C q q UA UB UAB
电容器的电容C与两导体的尺寸、形状及其相对位置有关 实际应用中的电容器，只要求从一个极板发出的电力线 都终止于另一个极板上。
2
电容器电容的计算
步骤
1）设两极板分别带电 q ；
2）求 E；
3）求 U； 4）求 C .
l RBRA
分别带电
（2）
E l 2πlr 2πr
（3）UABR R A B2π rdr2πlnR RA B
l
-
-
+ +
A
-+
-+
RA B
RB
（4）电容 C l 2πl/lnRB
UAB
RA
4
2.平板电容器. 在真空中，平板电容器由两个彼此靠得 很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均为S， 两极板间距离为d. 且 S d，求此平板电容器的电容.
解：
E 1
4π
Q r2 r0
w1E2
2
32πQ22r4
dWwdV8πQ2r2 dr
R1 dr
r
R2
W dW Q 2 R 2drQ 2 (11) 8π r R 1 2 8π R 1 R 2 16
C1
C2
Cn
7
例8.15 一平行板电容器的极板面积为S，板间距离 d，电势差为U.两极板间平行放置一层厚度为t，介
电常数为 的电介质.试求：(1)极板上的电量Q；
(2)电容器的电容.
解：如图，作柱形高斯面
S1S2 S
SD d SD S
qS
D Q
S
Q是正极板上的电量，待求.
的介电常数均为 0 .
解 直接计算定域在电场中的能量.
E沿着球的半径方向，大小为
Qr
E 4Q0R3 40r2
(r R) (r R)
14
得静电场能量
W V 120E2dV 2 00 R (4Q 0 r R 3 )2 4r2 d r 2 0R (4Q 0 r2 )2 4r2 d r
C0
0S d
由于电介质插入，电容增大了
9
§5.6 电场的能量
一 带电系统的能量
把一个带电体带电Q的过程设想为不断地把dq从无穷远处搬移 到带电体上的过程
把 一 试 探 电 荷 q0从 电 场 中 a 点 移 动 到 b 点 U
dq
电 场 力 所 做 功 为 ： q0 Ua Ub
Q
把 一 电 荷 元 d q 从 电 场 中 无 穷 远 移 动 到 q 导 体 上 电 场 力 所 做 功 为 ：
1.圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形
电容器是由半径分别为 R A 和 R B 的两
同轴圆柱面 A 和 B 所构成，且圆柱体
的长度 l 远大于半径之差. 两导体之间
充满介电常数为 的电介质. 求此圆
柱形电容器的电容.
l RBRA
l
-
-
+ +
A
RA B
-+ -+
RB
3
解： （1）设两导体圆柱面单位长度上
8Q 02R6
Rr4dr Q2
0
80
dr R r2
Q2 Q2 3 Q 2
400R 80R 2 0 0 R
15
例2 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R 1
和 R 2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充介电常数 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
dqUU Udq
则，外力克服电场力做功为： U d q
带电体增加的能量为: dW Udq
10
所以带电体从不带电到带有电量Q的过程中积蓄的能量为
Q
WdW0 Udq
Q
W Udq
Qqdq1Q2
0
0 C 2C
或 W1CU2 1UQ
2
2
Q ---------
U
E
-
dq
+Q ++++++++
电容器贮存的电能 （任何结构电容器）
W1CU2 1UQ
2
2
11
二 电场能量
考虑一个理想平行板电容器，它的极板面积为S，极板间 电场占空间体积V=Sd，极板自由电荷为Q，板间电压为U
W 1Q UQ DUE d
2
S
W 1 Q U 1 D S E d = 1 D E S d 1 D E V
§5.5 电容 电容器
一 孤立导体的电容
qU
q C U
C为孤立导体的电容.
ห้องสมุดไป่ตู้
单位 1F1C/V 1μF106F
1pF1012F
电容的大小与导体的尺寸和形状有关，与q和U无关.
电容的物理意义：使导体升高单位电势所需的电量，反映 了导体储存电荷和电能的能力。
1
二 电容器及其电容
把导体壳B与其腔内的导体A所 组成的导体系称为电容器。
解（1）设两导体板分别带电 q
S dd
（2）两带电平板间的电场强度
E q 0 0S
q
+
+
S
+ +
q
-
（3）两带电平板间的电势差
+
-
U Ed qd
A+
-B
0S
（4）平板电容器电容
C q 0S
U5 d
三 电容器的联接
1.电容器的串联 ＋
C1
C2
各电容器都带有相同的电量q
Cn
11 1 U U 1 U 2 U nq (C 1C 2C n)
由U q 得 C
111 1
C C1 C2
Cn
6
2.电容器的并联
各电容器上的电压相同
C q q1 q2
U
U
＋
qn
U (C1 C2 C n ) U
C1 C2 Cn
22 2
2
电场能量体密度 w W 1 DE V2
电场能量体密度的公式适用于任何电场.
12
总电场能量 W dW 1DEdV
V
V2
在真空中 D 0E W V1 20E 2d V
各向异性的电介质 W 1DEdV
( D 与 E 方向不同)
V2
13
例8.17 计算均匀带电球体的静电能.球的半径 为R，带电量为Q.为简单起见，设球内、外介质
在真空间隙中
DQ
E1 0 0S
在介质中
E2
D
Q
S
Q QQ
U E 1 (d t) E 2 t0 S (d t)S t0 S [d ( 0 ) t]
Q 0SU d(0)t
（ 2） CU Qd(0S 0)t1d tC (100)
组成电容器的两导体
如A、B叫电容器的
极板。
其电容为
C q q UA UB UAB
电容器的电容C与两导体的尺寸、形状及其相对位置有关 实际应用中的电容器，只要求从一个极板发出的电力线 都终止于另一个极板上。
2
电容器电容的计算
步骤
1）设两极板分别带电 q ；
2）求 E；
3）求 U； 4）求 C .
l RBRA
分别带电
（2）
E l 2πlr 2πr
（3）UABR R A B2π rdr2πlnR RA B
l
-
-
+ +
A
-+
-+
RA B
RB
（4）电容 C l 2πl/lnRB
UAB
RA
4
2.平板电容器. 在真空中，平板电容器由两个彼此靠得 很近的平行极板A、B 所组成，两极板的面积均为S， 两极板间距离为d. 且 S d，求此平板电容器的电容.
解：
E 1
4π
Q r2 r0
w1E2
2
32πQ22r4
dWwdV8πQ2r2 dr
R1 dr
r
R2
W dW Q 2 R 2drQ 2 (11) 8π r R 1 2 8π R 1 R 2 16
C1
C2
Cn
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例8.15 一平行板电容器的极板面积为S，板间距离 d，电势差为U.两极板间平行放置一层厚度为t，介
电常数为 的电介质.试求：(1)极板上的电量Q；
(2)电容器的电容.
解：如图，作柱形高斯面
S1S2 S
SD d SD S
qS
D Q
S
Q是正极板上的电量，待求.
的介电常数均为 0 .
解 直接计算定域在电场中的能量.
E沿着球的半径方向，大小为
Qr
E 4Q0R3 40r2
(r R) (r R)
14
得静电场能量
W V 120E2dV 2 00 R (4Q 0 r R 3 )2 4r2 d r 2 0R (4Q 0 r2 )2 4r2 d r
C0
0S d
由于电介质插入，电容增大了
9
§5.6 电场的能量
一 带电系统的能量
把一个带电体带电Q的过程设想为不断地把dq从无穷远处搬移 到带电体上的过程
把 一 试 探 电 荷 q0从 电 场 中 a 点 移 动 到 b 点 U
dq
电 场 力 所 做 功 为 ： q0 Ua Ub
Q
把 一 电 荷 元 d q 从 电 场 中 无 穷 远 移 动 到 q 导 体 上 电 场 力 所 做 功 为 ：
1.圆柱形电容器. 如图所示，圆柱形
电容器是由半径分别为 R A 和 R B 的两
同轴圆柱面 A 和 B 所构成，且圆柱体
的长度 l 远大于半径之差. 两导体之间
充满介电常数为 的电介质. 求此圆
柱形电容器的电容.
l RBRA
l
-
-
+ +
A
RA B
-+ -+
RB
3
解： （1）设两导体圆柱面单位长度上
8Q 02R6
Rr4dr Q2
0
80
dr R r2
Q2 Q2 3 Q 2
400R 80R 2 0 0 R
15
例2 如图所示,球形电容器的内、外半径分别为 R 1
和 R 2 ，所带电荷为 Q ．若在两球壳间充介电常数 的电介质，问此电容器贮存的电场能量为多少？
dqUU Udq
则，外力克服电场力做功为： U d q
带电体增加的能量为: dW Udq
10
所以带电体从不带电到带有电量Q的过程中积蓄的能量为
Q
WdW0 Udq
Q
W Udq
Qqdq1Q2
0
0 C 2C
或 W1CU2 1UQ
2
2
Q ---------
U
E
-
dq
+Q ++++++++
电容器贮存的电能 （任何结构电容器）
W1CU2 1UQ
2
2
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二 电场能量
考虑一个理想平行板电容器，它的极板面积为S，极板间 电场占空间体积V=Sd，极板自由电荷为Q，板间电压为U
W 1Q UQ DUE d
2
S
W 1 Q U 1 D S E d = 1 D E S d 1 D E V
§5.5 电容 电容器
一 孤立导体的电容
qU
q C U
C为孤立导体的电容.
ห้องสมุดไป่ตู้
单位 1F1C/V 1μF106F
1pF1012F
电容的大小与导体的尺寸和形状有关，与q和U无关.
电容的物理意义：使导体升高单位电势所需的电量，反映 了导体储存电荷和电能的能力。
1
二 电容器及其电容
把导体壳B与其腔内的导体A所 组成的导体系称为电容器。
解（1）设两导体板分别带电 q
S dd
（2）两带电平板间的电场强度
E q 0 0S
q
+
+
S
+ +
q
-
（3）两带电平板间的电势差
+
-
U Ed qd
A+
-B
0S
（4）平板电容器电容
C q 0S
U5 d
三 电容器的联接
1.电容器的串联 ＋
C1
C2
各电容器都带有相同的电量q
Cn
11 1 U U 1 U 2 U nq (C 1C 2C n)
由U q 得 C
111 1
C C1 C2
Cn
6
2.电容器的并联
各电容器上的电压相同
C q q1 q2
U
U
＋
qn
U (C1 C2 C n ) U
C1 C2 Cn
22 2
2
电场能量体密度 w W 1 DE V2
电场能量体密度的公式适用于任何电场.
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总电场能量 W dW 1DEdV
V
V2
在真空中 D 0E W V1 20E 2d V
各向异性的电介质 W 1DEdV
( D 与 E 方向不同)
V2
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例8.17 计算均匀带电球体的静电能.球的半径 为R，带电量为Q.为简单起见，设球内、外介质