3.1 平稳时间序列模型的基本概念解析

• 联系：
• （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的 二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。
• （2）若时间序列为正态序列（即它的任何有 限维分布都是正态分布），那么该序列为严 平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。
• 注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难 以满足，我们研究的通常是宽平稳序列. • 在以后讨论中，若不作特别说明，平稳 序列即指宽平稳序列。
s
该定义蕴涵的四种情况：
1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表 示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时， x(t)是一个时间t的函数， 称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时， x(t)是一个随机变量。
4、当e、t均给定时， x(t) 是一个标量或者矢量。
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联系： 1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的
特性。
2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数 集为单元素集的随机过程。 3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机变量。 4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，它是 随机变量X(t)的集合。
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2.定义：
设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对 于每一个e ，我们总可以依某种规则确定 一时间t的函数
s
X (e, t ), t T
与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于 所有的的e 来说，就得到这族时间t的函 数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过 程的样本函数（或一次实现）。
二、平稳时间序列
• （一）两种不同的平稳性定义 • （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 • （三）平稳序列的自协方差和自相关函数
• （四）白噪声序列Baidu Nhomakorabea独立同分布序列
• （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 • （六）线性平稳序列 • （七）偏自相关函数
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（一）两种不同的平稳性定义
• 但由于确定时间序列的分布函数一般不可能， 人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描 述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、 偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机 变量的主要特征。
• 2.均值函数 • 一个时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}的 均值函数指：
t 即为{Xt}的均值函数。它实质上是一个实数列，
•
我们所要讨论的时间序列分析，只是对 平稳序列及其有关的随机序列进行统计分析， 而不是对所有的随机序列进行统计分析。
（二）随机过程与随机变量之间的关系
区别：
1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随 机过程是一族时间t的函数。
2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无 关，而随机过程与时间密切相关。 3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过 程描述事物发展变化的动态。
当T ,, 则随机过程可表示成 {X t , t } 当t {0,1,2, }时随机过程可写为 {X t , t 0,1,2, }
此类随机过程又称随机序列（random sequence)或时间序列（time series)。对于 一个连续时间的随机过程，通过等间隔采 样，也是一个随机序列。
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• 此定义表明，严平稳的概率分布与时间 的平移无关。 • 一般来说，若所研究的随机过程，前后 的环境和主要条件都不随时间变化，就可以 认为它是平稳随机过程。
平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关。二维概率密度函数只与时间 间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。
• 2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二 阶矩，且Xt满足如下两个条件：
被{Xt}的一维分布族所决定。均值表示随机过程在
各个时刻的摆动中心。
t EX t XdF t (Xt )
a
a
• 3. 时间序列的自协方差函数
(t , s) E ( X t t )( X s s )

a a a

a
( x t )( y s )dFt , s ( x, y)
(1)t EXt c (2) (t , s) E( X t c)( X s c) (t s,0)
则称该时间序列为宽平稳过程。 此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均 值为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间 间隔(t-s)有关。 （宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）
• 3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别 • 区别： • （1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变， 宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而 不变。 • （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列； 一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。
（二）时间序列的分布、均值和协方差函数
• 1.时间序列的概率分布
•
随机过程是一族随机变量，类似于随机 变量，可以定义随机过程的概率分布函数和概 率密度函数。它们都是两个变量t, x的函数。
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•
如果我们能确定出时间序列的概率分布， 我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间 序列的全部随机特征，
• 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：
• Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s)
• 则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称为狭义 平稳或强平稳过程。
3.1 时间序列的基本概念
一、随机过程 二、平稳时间序列 三、随机过程的特征描述 四、线性差分方程
一、随机过程
•
（一）随机过程的定义 （二）随机过程与随机变量之间的关系
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（一）随机过程的定义
1.引言：事物的变化过程可分为两类：对 于每一个固定的时刻t，变化的结果， 一类是确定的，这个结果可用t的某 个确定性函数来描述； 另一类结果是随机的，即以某种可 能性出现多个（有限多个或无限多个） 结果之一。