3.1 平稳时间序列模型的基本概念解析
第2章平稳时间序列模型
第二章 平稳时间序列模型本章将介绍Box-Jenkins 方法，主要包括一元平稳时间序列的识别、估计、诊断和预测方法。
2．1 平稳性时间序列t y 的均值和协方差 ()t t E y μ=,cov(,)[()()]t s t t s s t s y y E y y μμγ=--=一个随机过程的线性性质可由均值和协方差来描述。
如果这个过程是正态过程， ,,t t s μγ可以完全刻画这个随机过程的分布性质。
如果没有正态性质，但生成过程是线性的，则在它的均值和方差中可获得关于这个过程的更多的重要特征。
下面的问题是如何来估计t μ，对于一些过程我们可以得到大量的实现（反复做观测）,1,2,,.1,2,,.jt y t n j k ==那么，t μ的估计是11ˆkt jt j y k μ==∑但对大多数过程来说，得不到更多的实现。
如，不可能把经济停下来，然后重新开始观测。
对一个实现，不可能估计出t μ。
为了克服这个困难，时间序列分析要做如下的假设：均值和方差不随时间而改变。
如果对任何t, t-s, 都有μ==-)()(s t t y E y E222)()(y s t t y E y E σμμ=-=--s s j t j t s t t y y y y γ==----),cov(),cov(这里 2,y μσ都是常量，与时间无关，s γ是依赖于s 的常量。
这样的随机过程称为协方差平稳。
可以简单地说，如果一个时间序列的均值和协方差不受时间变化影响，则称这个时间序列是协方差平稳。
在一些文献中，协方差平稳的过程也称为弱平稳，二阶矩平稳或宽平稳过程。
（注意一个强平稳过程不一定有有限的均值和方差）。
一个更进一步的假设是遍历性（ergodic ）。
这是一个较难理解的一个概念。
遍历性是指，按时间平均11nn t t y y n ==∑是总体均值μ的无偏、一致估计。
即(),()0,()n n E y Var y n μ=↓→∞。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
平稳时间序列模型及其特征
第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。
其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。
利用这些记号，（2.1.2）式可化为：X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列X t称为滑动平均序列。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
平稳时间序列模型的性质概述
平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。
具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。
这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。
这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。
3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。
这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。
4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。
这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。
根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。
常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。
总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。
通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。
平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。
在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。
首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。
这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。
例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。
平稳时间序列分析
0
varX t
(1
2 1
2 q
)
2
1
cov( X t , X t1 )
(1
1 2
2 3
q
1
q
)
2
q 1
cov( X t ,
X t q1 )
( q1
1
q
)
2
q
cov( X t , X tq )
q
2
当滞后期不小于q时，Xt旳自协方差系数为0。
所以:有限阶移动平均模型总是平稳旳。
3、ARMA(p,q)模型旳平稳性
• 有时，虽然能估计出一种较为满意旳因果关系回归方程， 但因为对某些解释变量将来值旳预测本身就非常困难，甚 至比预测被解释变量旳将来值更困难，这时因果关系旳回 归模型及其预测技术就不合用了。
在这些情况下，我们采用另一条预测途径：经过时间 序列旳历史数据，得出有关其过去行为旳有关结论，进而 对时间序列将来行为进行推断。
0
2 X
2
12
在稳定条件下，该方差是一非负旳常数，从而有 ||<1。
而AR(1)旳特征方程
(z) 1 z 0
旳根为
z=1/
AR(1)稳定，即 || <1，意味着特征根不小于1。
例 AR(2)模型旳平稳性。 对AR(2)模型
X t 1 X t1 2 X t2 t
方程两边同乘以Xt，再取期望得：
所使用旳工具主要是时间序列旳自有关函数 （autocorrelation function，ACF）及偏自有关函 数（partial autocorrelation function， PACF ）。
1、AR(p)过程
(1)自有关函数ACF 1阶自回归模型AR(1)
第三章平稳时间序列分析
t Pp t tt tt x B x x B x Bx x===---221第3章 平稳时刻序列分析一个序列通过预处理被识不为平稳非白噪声序列，那就讲明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1方法性工具 3.1.1差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时刻指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时刻向过往拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质：1.10=B 2.假设c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B 4.n t t n x x B -= 5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2ARMA 模型的性质 3.2.1AR 模型定义具有如下结构的模型称为p 阶自回回模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
那个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验
时间序列分析的基本概念是什么如何进行时间序列的平稳性检验时间序列分析是一种应用广泛的统计分析方法，用于研究随时间变化的数据序列的规律性和特征。
时间序列数据是按照时间顺序排列的观测值序列，常见的包括股票价格、气温、销售额等。
时间序列分析的基本概念是对时间序列数据进行模型拟合和预测。
它的主要目的是揭示数据的内在规律和特征，为未来的预测和决策提供依据。
下面将介绍时间序列分析的基本概念和时间序列的平稳性检验。
一、时间序列分析的基本概念1. 趋势分析：指时间序列数据在长期内的增长或下降趋势。
趋势分析可以采用移动平均法和指数平滑法等方法进行预测和拟合。
2. 季节性分析：指时间序列数据在短期内的重复周期。
季节性分析可以使用季节指数法和季节自回归移动平均法等方法来对季节性进行分析和预测。
3. 循环分析：指时间序列数据在长期内的周期性波动。
循环分析可以利用时间序列的滞后项构建循环指标，并对周期性进行拟合和预测。
4. 不规则分量分析：指不能被趋势、季节性和循环等因素解释的随机变动。
不规则分量包含各种无法归类的随机因素，可以通过随机过程模型进行分析和预测。
二、时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性是进行时间序列分析的基本要求，平稳性包括严平稳和弱平稳两个概念。
严平稳要求时间序列的联合概率分布不随时间的变化而改变，即均值和方差等参数在时间序列的不同阶段保持不变。
严平稳序列可以使用统计工具进行参数估计和假设检验。
弱平稳是指时间序列的均值和自相关性不随时间的变化而改变，但方差可能会随时间的变化而改变。
弱平稳序列可以通过差分进行处理，将非平稳序列转化为平稳序列。
进行时间序列的平稳性检验可以使用统计学方法，常用的方法包括ADF检验、单位根检验和KPSS检验等。
这些方法通过检验序列的单位根特征或自回归模型的稳定性来判断序列的平稳性。
ADF检验（Augmented Dickey-Fuller Test）是一种常用的平稳性检验方法，其原理是对序列进行单位根检验，并根据检验统计量与临界值的比较来判断序列的平稳性。
3.1-平稳时间序列模型的基本概念解析
被{Xt}的一维分布族所决定。均值表示随机过程在
各个时刻的摆动中心。
• 3. 时间序列的自协方差函数 (t, s) E( Xt t )(X s s )
aa
a a (x t )(y s )dFt,s (x, y)
由此可见，时间序列的自协方差函数是 随机变量间协方差推广差. 时间序列自协方差函数具有对称性：
nk t 1
( xt
x )(xt k
x)
(2)
ˆˆk
1 nk
nk
( xt
t 1
x)(xtk
x)
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• 通过证明有如下结论：
• 上述样本自协方差函数 ˆk ˆˆk 都是总体自协方 差函数 k的渐近无偏估计，且ˆk比 ˆˆ的k 偏差 要 况大下。（n但很是大，）ˆk比，ˆˆ二k的者方差差别小不，大且，在因大此样我本们情
二、平稳时间序列
• （一）两种不同的平稳性定义 • （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 • （三）平稳序列的自协方差和自相关函数 • （四）白噪声序列和独立同分布序列 • （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 • （六）线性平稳序列 • （七）偏自相关函数
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（一）两种不同的平稳性定义
• 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：
• Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s)
《平稳时间序列》课件
欢迎来到《平稳时间序列》PPT课件！在这个课程中，我们将深入研究平稳 时间序列的定义、检验和应用，以及常见的模型和实操演练。
定义
平稳性
均值、方差和协方差都不随时间变化而变化。
检验
1 观察法
通过观察时间序列的趋势和波动性来判断是否平稳。
2 自相关Leabharlann 与偏自相关图通过绘制自相关图和偏自相关图来辅助平稳性检验。
常见模型
AR模型
自回归模型，使用过去的观测值来预测未来值。
MA模型
移动平均模型，使用过去滞后项的线性组合来预测 未来值。
ARMA模型
自回归移动平均模型，结合AR和MA模型的特点， 用于拟合时间序列。
ARIMA模型
差分自回归移动平均模型，用于拟合非平稳时间序 列。
实操演练
1
Python实现平稳性检验
3 单位根检验
使用单位根检验方法（如ADF检验）来检验时间序列的平稳性。
应用
时间序列预测
利用平稳时间序列的特性，进 行未来数值的预测和预测不确 定性的评估。
时间序列建模
根据平稳时间序列的规律性， 构建数学模型来解释和预测时 间序列的行为。
数据挖掘
利用时间序列的历史数据，发 现其中的规律和趋势，为决策 提供依据。
使用Python中的统计库，通过ADF检验方法来检验时间序列的平稳性。
2
R实现时间序列预测
利用R语言中的时间序列分析包，对平稳时间序列进行预测和评估。
3
MATLAB实现时间序列建模
利用MATLAB中的时间序列工具箱，构建平稳时间序列的数学模型。
第八章 平稳时间序列
0＝－1＝＝－ q-1＝0 的条件下，最大化样本数
据的似然函数。
四、ARMA模型
为了使模型更好地拟合数据，可以将AR p 与 MA q 结合起来，得到ARMA p，q ： y t＝ 0＋1 y t-1＋＋ p y t-p＋ t＋1 t-1＋＋ q t-q 其中， t 为白噪声。在给定 y1， ，y p 与 “ 0＝－1＝＝－ q-1＝0
在估计完模型之后，仍然需要进行一些诊断性分析 （diagnostic checking），以确定ARMA p，q 模型 的假定是否成立。其中最重要的假定是，扰动项 t 为白噪声。
ˆ ˆ 如果模型过小，即p<p或q<q，则相当于遗漏解释变 量。这些被遗漏的解释变量纳入扰动项中，导致扰 动项出现自相关，不再是白噪声。为此可以使用Q 检验等来检验模型的残差是否存在自相关。如果残 差存在自相关，则应考虑增加自回归或移动平均的 阶数，重新对模型进行估计，然后再检验新模型的 残差是否为白噪声，如此反复，直至残差为白噪声
名。考虑使用条件MLE估计。为此，假设 t 为独
知道 t－1，，则 y t t-1 N ＋ t-1， 2 。
t＝y t－－ t-1计算出全部1， 2， ， T 。
（可推出 t＝ y t-i－ －1 ）。
i i i=0 t-1
y t＝ 0＋1 y t-1＋ t t＝2， ，T） （
由于 y t 为平稳过程，其期望与方差均不随时间而 变。对该方程两边同时取期望可得：
0 E y ＝ 0＋1E y ，即得E y ＝ 1－1
对该方程两边同时取方差可得：
2 Var y ＝12 Var y ＋ 2，即得Var y ＝ 1－12
数据分析中的时间序列模型
数据分析中的时间序列模型时间序列模型是数据分析中一种重要的统计方法，它用于揭示数据随时间变化的模式和趋势。
时间序列模型可以应用于多个领域，例如经济学、气象学、市场营销等等。
本文将介绍时间序列模型的基本概念、常见的方法和应用案例。
一、时间序列模型的基本概念时间序列是按照时间顺序排列的一系列数据，它可以是离散的或连续的。
时间序列模型的目标是对时间序列数据进行建模和预测。
在实际应用中，时间序列通常具有趋势（Trend）、季节性（Seasonality）和周期性（Cyclical）等组成部分。
1. 趋势：指时间序列数据在长期内表现出的整体上升或下降的趋势，可以是线性或非线性的。
2. 季节性：指时间序列数据在特定时间段内重复出现的规律，比如每年夏季的销售额通常会高于其他季节。
3. 周期性：指时间序列数据在较长时间内出现的波动，可能是由于经济周期或其他周期性因素引起。
二、常见的时间序列模型方法时间序列模型包括很多不同的方法和算法，下面介绍几种常见的方法。
1. 移动平均模型（Moving Average，MA）：MA模型基于数据的移动平均值，用于捕捉数据的平稳性和周期性。
它通常表示为MA(q)，其中q表示模型中的滞后阶数。
2. 自回归模型（Autoregressive，AR）：AR模型假设当前的观测值可以由过去若干观测值的线性组合表示，用于描述趋势和周期性。
它通常表示为AR(p)，其中p表示模型中的滞后阶数。
3. 自回归移动平均模型（Autoregressive Moving Average，ARMA）：ARMA模型结合了AR和MA模型，用于同时考虑趋势和周期性。
它通常表示为ARMA(p, q)，其中p和q分别表示AR和MA模型中的滞后阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（Seasonal Autoregressive Moving Average，SARMA）：SARMA模型用于处理具有明显季节性的时间序列数据，它在ARMA模型的基础上添加了季节性因素。
《平稳时间序列》课件
通过分析股票市场的波动数据，平稳时间序列方法可以帮助预测未 来市场的波动情况，有助于投资者制定风险管理策略。
行业趋势
通过对不同行业股票数据的平稳时间序列分析，可以预测未来行业 的发展趋势，有助于投资者进行行业配置和投资决策。
06
时间序列分析软件介绍
EViews软件介绍
适用范围
EViews是专门用于时间序列分析的软件，广泛应用于经济学、金 融学等领域。
降水预测
通过对历史降水数据的分析，平稳时间序列方法可以帮助 预测未来降水情况，有助于农业生产和灾害防范。
极端天气事件
通过分析极端天气事件的历史数据，平稳时间序列模型可 以预测未来极端天气事件的频率和强度，有助于防范自然 灾害。
股票市场预测
股票价格
利用历史股票价格数据，平稳时间序列模型可以预测未来股票价 格的走势，有助于投资者制定投资策略和风险控制。
列。
Holt's线性指数平滑
02
结合了趋势和季节性因素，适用于具有线性趋势和季节性变化
的时间序列。
Holt-Winters指数平滑
03
适用于具有非线性趋势和季节性变化的时间序列，能更好地捕
捉数据的季节性变化。
季节性自回归积分滑动平均模型(SARIMA)预测
01
SARIMA模型
结合了季节性和非季节性因素，适用于具有季节性和非季节性变化的时
04
平稳时间序列的预测
线性预测
线性回归模型
通过建立自变量与因变量之间的线性关系，预测时间序列的未来 值。
线性趋势模型
适用于具有线性趋势的时间序列，通过拟合线性方程来预测未来 趋势。
简单移动平均模型
对时间序列进行移动平均处理，根据历史数据预测未来值。
《平稳时序模型》PPT课件
(2)自相关图检验（判断准则）
平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关 系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自 相关系数会很快地衰减向零。 ➢ 若时间序列的自相关函数在k>3时都落入置 信区 间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性； ➢ 若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外 面，则该时间序列就不具有平稳性。
(一).一阶自回归模型，AR(1) 1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为：
xt 1xt1 t
其中：(1) εt是白噪声序列（E εt =0,Var(εt )=σ2, cov(εt, εt+k)=0 ,k≠0）,(2)假定：E(xt, εs)=0 (t<s)， 那么我们就说xt遵循一个一阶自回归或AR(1) 随机过程。
平稳时间序列模型
时间序列的预处理 线性平稳时间序列建模原理 线性平稳时间序列的种类 ARMA模型的平稳性和可逆性
1
时间序列的预处理
平稳性检验 纯随机性检验
2
时间序列的预处理
无规律可循， 分析结束
时间序列
平稳性 检验
平稳性 纯随机 时间序列 性检验
白噪声序列 (纯随机序列)
ARMA 模型
平稳非白噪声序列
xt (B) t
阶移动平均系数多项式
q
(B) 11B 2B2 q Bq
55
系数多项式
引进延迟算子，中心化ARMA模( 型p,又q)可以简记
为
(B)xt (B)t
p阶自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
q 阶移动平均系数多项式
(B) 11B 2B2 q Bq
56
ARMA模型的平稳性和可逆性
平稳时间序列分析
平稳时间序列分析平稳时间序列分析是一种常用的时间序列分析方法，它旨在研究时间序列在均值和方差上的稳定性，并将其用于预测未来的数据走势。
本文将详细介绍平稳时间序列分析的基本概念、建模方法和预测技术。
首先，让我们来了解什么是时间序列。
时间序列是按照一定的时间间隔收集到的一系列数据点的有序集合，它可以是连续的或离散的。
时间序列分析的目的是通过对过去的数据进行统计分析，揭示出时间序列中的内在规律和趋势，并预测未来的数据走势。
平稳时间序列是指在统计意义上具有稳定性的时间序列，即其均值和方差保持恒定不变。
平稳时间序列具有以下特点：1）均值是常数，不随时间变化；2）方差是常数，不随时间变化；3）协方差只与时间间隔有关，与具体的时间点无关。
为了实现平稳时间序列分析，我们需要进行以下几个步骤：1. 数据准备：收集所需的时间序列数据，并将其整理成适合分析的格式。
通常，我们会绘制时间序列图以直观地查看数据的趋势和模式。
2. 时间序列分解：时间序列通常包含趋势、季节性和随机成分。
我们需要对时间序列进行分解，将其分解为这些组成部分。
常用的分解方法有经典的加性模型和乘性模型。
3. 平稳性检验：对于时间序列分析，我们需要确保数据是平稳的。
平稳性检验的目的是判断时间序列的均值和方差是否是稳定的。
常用的平稳性检验方法有ADF检验、KPSS检验等。
4. 模型建立：如果时间序列被证实是平稳的，我们可以根据数据的模式和趋势选择适当的模型。
常用的模型包括自回归滑动平均模型（ARMA模型）、自回归积分滑动平均模型（ARIMA模型）等。
5. 模型识别与估计：在模型建立的基础上，我们需要对模型进行识别和估计。
模型识别的目的是选择最适合数据的模型阶数，常用的方法有自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）的分析。
模型的估计通常使用最大似然估计方法。
6. 模型检验：建立模型后，我们需要对模型进行检验，验证其拟合程度和预测准确度。
常用的模型检验方法有残差分析、DW检验、Ljung-Box检验等。
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2.定义：
设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对 于每一个e ，我们总可以依某种规则确定 一时间t的函数
s
X (e, t ), t T
与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于 所有的的e 来说，就得到这族时间t的函 数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过 程的样本函数（或一次实现）。
s
该定义蕴涵的四种情况：
1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它表 示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时， x(t)是一个时间t的函数， 称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时， x(t)是一个随机变量。
4、当e、t均给定时， x(t) 是一个标量或者矢量。
(1)t EXt c (2) (t , s) E( X t c)( X s c) (t s,0)
则称该时间序列为宽平稳过程。 此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均 值为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间 间隔(t-s)有关。 （宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）
• 3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别 • 区别： • （1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变， 宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而 不变。 • （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列； 一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。
被{Xt}的一维分布族所决定。均值表示随机过程在
各个时刻的摆动中心。
t EX t XdF t (Xt )
a
a
• 3. 时间序列的自协方差函数
(t , s) E ( X t t )( X s s t )( y s )dFt , s ( x, y)
• 但由于确定时间序列的分布函数一般不可能， 人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描 述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、 偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机 变量的主要特征。
• 2.均值函数 • 一个时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}的 均值函数指：
t 即为{Xt}的均值函数。它实质上是一个实数列，
• 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有：
• Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s)
• 则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称为狭义 平稳或强平稳过程。
• 联系：
• （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的 二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。
• （2）若时间序列为正态序列（即它的任何有 限维分布都是正态分布），那么该序列为严 平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。
• 注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难 以满足，我们研究的通常是宽平稳序列. • 在以后讨论中，若不作特别说明，平稳 序列即指宽平稳序列。
二、平稳时间序列
• （一）两种不同的平稳性定义 • （二）时间序列的分布、均值和协方差函数 • （三）平稳序列的自协方差和自相关函数
• （四）白噪声序列和独立同分布序列
• （五）独立增量随机过程、二阶矩过程 • （六）线性平稳序列 • （七）偏自相关函数
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（一）两种不同的平稳性定义
3.1 时间序列的基本概念
一、随机过程 二、平稳时间序列 三、随机过程的特征描述 四、线性差分方程
一、随机过程
•
（一）随机过程的定义 （二）随机过程与随机变量之间的关系
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（一）随机过程的定义
1.引言：事物的变化过程可分为两类：对 于每一个固定的时刻t，变化的结果， 一类是确定的，这个结果可用t的某 个确定性函数来描述； 另一类结果是随机的，即以某种可 能性出现多个（有限多个或无限多个） 结果之一。
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• 此定义表明，严平稳的概率分布与时间 的平移无关。 • 一般来说，若所研究的随机过程，前后 的环境和主要条件都不随时间变化，就可以 认为它是平稳随机过程。
平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关。二维概率密度函数只与时间 间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。
• 2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二 阶矩，且Xt满足如下两个条件：
（二）时间序列的分布、均值和协方差函数
• 1.时间序列的概率分布
•
随机过程是一族随机变量，类似于随机 变量，可以定义随机过程的概率分布函数和概 率密度函数。它们都是两个变量t, x的函数。
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•
如果我们能确定出时间序列的概率分布， 我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间 序列的全部随机特征，
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联系： 1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通函数的
特性。
2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视为参数 集为单元素集的随机过程。 3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机变量。 4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，它是 随机变量X(t)的集合。
•
我们所要讨论的时间序列分析，只是对 平稳序列及其有关的随机序列进行统计分析， 而不是对所有的随机序列进行统计分析。
（二）随机过程与随机变量之间的关系
区别：
1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数，随 机过程是一族时间t的函数。
2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时间t无 关，而随机过程与时间密切相关。 3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随机过 程描述事物发展变化的动态。
当T ,, 则随机过程可表示成 {X t , t } 当t {0,1,2, }时随机过程可写为 {X t , t 0,1,2, }
此类随机过程又称随机序列（random sequence)或时间序列（time series)。对于 一个连续时间的随机过程，通过等间隔采 样，也是一个随机序列。