Matlab作业3

工程数学A 第三次作业（10.15）

李栋材研1班学号：642080502017

1.问题：用不同迭代法求解下面的线性方程组，并比较它们的收敛速度。

12x1 + 6x2 + x4 = 32

4x1 + 26x2 - 3x3 + x4 = 58

9x1 - x2 + 35x3 +3x4 = 69

3x1 + 5x2 +52x4 = 97

2.思路：分别用Jacobi迭代法、Gauss-seidel迭代法、逐次超松弛迭代法，解上述线性方程组，在精度相同的情况下，用matlab软件运算，得出不同迭代法的运算次数，进而比较它们的收敛速度。

3.Jacobi迭代法

(1)建立以jacobi为名的M文件，程序可如下编制：

%using Jacobi iterative to solve linear algebraic equations Ax=b

function [y,r,n]=jacobi(A,b,x0,e)

disp('Jacobi iteration on solving linear equations')

D=diag(diag(A));

U=-triu(A,1);

L=-tril(A,-1);

B=D\(L+U);

f=D\b;

y=B*x0+f;

n=1;

while norm(y-x0,inf)>=e

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

y

r=norm(y-x0,inf)

n

(2)

A=[12 6 0 1;4 26 -3 1;9 -1 35 3;3 5 0 52];

b=[32;58;69;97]; x0=[0;0;0;0]; e=1e-8;

y=jacobi(A,b,x0,e)

(3)计算结果如下：

1.4762

2.1181

1.5172

1.5766

r =

3.9189e-009

n =

19

4.Gauss-seidel迭代法

(1)建立以mygs为名的M文件，程序可如下编制：

%using Gauss-sedel iterative to solve linear algebraic equations Ax=b function [y,r,n]=mygs(A,b,x0,e)

disp('Gauss-seidel iteration on solving linear equations')

D=diag(diag(A));

U=-triu(A,1);

L=-tril(A,-1);

B=(D-L)\U;

f=(D-L)\b;

y=B*x0+f;

n=1;

while norm(y-x0,inf)>=e

x0=y;

y=B*x0+f;

n=n+1;

end

y

r=norm(y-x0,inf)

n

(2)

A=[12 6 0 1;4 26 -3 1;9 -1 35 3;3 5 0 52];

b=[32;58;69;97]; x0=[0;0;0;0]; e=1e-8;

y=mygs(A,b,x0,e)

(3)计算结果如下：

y =

1.4762

2.1181

1.5172

1.5766

r =

1.6532e-009

13

5.逐次超松弛迭代法

（1）首先编写用来执行SOR迭代的子程序sor.m:

function[y,r,n] = sor(a,b,x0,w,e,N)

D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1);

G=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U); f=w*((D-w*L)\b);

y=G*x0+f; n=1;

while(norm(y-x0)>=e&n

x0=y; y=G*x0+f;n=n+1;

end

n;y;r=norm(y-x0);

（2）其次编写主程序：先固定迭代次数，调用子程序mysor.m,选择适当的松弛因子；然后按精度要求，进行SOR迭代求解。

a=[12 6 0 1;4 26 -3 1;9 -1 35 3;3 5 0 52];

b=[32;58;69;97]; x0=[0;0;0;0]; e=1e-8;

for i = 1:15

w= 0.95 + i/20;N=8;

[y,r,n] = sor(a,b,x0,w,1e-15,N);

h(i)=r;

end

[s,j] = min(h);

w = 0.95+j/20

%SOR method to solve linear equations

[x,r,n] = sor(a,b,x0,w,e,100)

（3）计算结果如下：

w =

1.0500

x =

1.4762

2.1181

1.5172

1.5766

r =

8.1256e-009

n =

10

6.结论

在精度相同的条件（e=1e-8）下，Jacobi迭代法、Gauss-seidel迭代法、逐次超松弛迭代法迭代次数分别为：19次、13次、10次。可以得出它们的收敛速度大小：逐次超松弛迭代法> Gauss-seidel迭代法> Jacobi迭代法。

另附线性方程组的其它解法

7.利用矩阵左除操作符求解

在Matlab命令窗口输入：

A=[12 6 0 1;4 26 -3 1;9 -1 35 3;3 5 0 52];

b=[32;58;69;97];

x=A\b

计算结果如下：

x =

1.4762

2.1181

1.5172

1.5766

8.利用符号函数solve求解

>> syms x1 x2 x3 x4 z;

z=solve('12*x1 + 6*x2 + x4 = 32',' 4*x1 + 26*x2 - 3*x3 + x4 = 58',' 9*x1 - x*2 + 35*x3 +3*x4 = 69',' 3*x1 + 5*x2 +52*x4 = 97','x1','x2','x3','x4');

x1=z.x1; x2=z.x2; x3=z.x3; x4=z.x4;

vpa(x1),vpa(x2),vpa(x3),vpa(x4)

计算结果如下：

ans =

1.4800573445340073008810667333342-0.0035977054373790266663802044168573*x

ans =

0.0072774432462943829310166349930565*x + 2.1103726027504282285109366729623 ans =

0.058110169474973290650458111731996*x + 1.4556644329121687210567331975242

ans =

1.5770762490893430183615791622151 - 0.00049219422921797758953735695605213*x