第三次matlab作业

0.3333 0.7222 1.1481 1.5849 2.0265 2.4698 2.9138 3.3581 3.8025 4.2469 4.6914 5.1358 5.5802 6.0247 6.4691 6.9136 7.3580 7.8025 9.7369 8.9397
i= 5 从迭代次数可以看出 b 的不同对于高斯-赛德尔迭代法收敛速度也是有影响的。 其他改换参数的实验由于篇幅原因就不枚举。 实验结果综合分析： 从①中可以看出两种算法的结果会收敛于同一向量且高斯-塞尔德迭代法比雅可比迭代更 快 从①和②比较可以看出不同的迭代初值的选取对收敛速度没有影响，对于雅可比迭代法初 值的选择对于结果有一定微小偏差 从①和③比较可以看出不同的 b 的选取（在迭代初值一样时）对于收敛速度会有影响。
i= 8 高斯-赛德尔迭代法 matlab 实现： n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x;
第一题：迭代法求解方程组
实验目的： （1） 选取不同的初始向量 x (0) 和不同的方程组右端项向量 b， 给定迭代误差要求， 用 雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法计算，观测得到的迭代向量序列是否均收敛？ 若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得到你的结论； （2） 取定右端向量 b 和初始向量 x (0) ，将 A 的主对角线元素成倍增长若干次，非主 对角线元素不变，每次用雅可比迭代法计算，要求迭代误差满足
0.4444 0.4444 0.5206 0.4571
i= 4 与 x0=zeros（1,20）同样方法迭代次数（均为 4）无差别，所得结果也无差异。 ③当改变 b 值时，很显然结果将会不同，我们在此观测 b 的不同对收敛速率的影响。 改变 b=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20] 雅可比迭代法： n=20;x0=zeros(1,20);b=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]; x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=A*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 所得结果如下： x= 0.3333 0.7222 1.1481 1.5849 2.0265 2.4698 2.9138 3.3581
B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=B*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 得到结果： x= 0.3333 0.3889 0.4259 0.4367 0.4416 0.4433 0.4440 0.4443 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4445 0.4445 0.4445 0.4445 0.4445 0.4445 0.5207 0.4572
i= 8
与之前的 x0=zeros（1,20）时的雅可比法迭代次数（均为 8）无差别，结果存在些许不同 高斯-赛德尔迭代法 matlab 实现： n=20;x0=ones(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; for j=1:20 x(j)=B(j,:)*x+1/3*b(j); end i=i+1; end x i 得到结果如下： x= 0.3333 0.3889 0.4259 0.4367 0.4416 0.4433 0.4440 0.4443 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444
3.8025 4.2469 4.6914 5.1358 5.5802 6.0247 6.4691 6.9136 7.3580 7.8025 9.7369 8.9397
i= 10 从迭代次数可以看出 b 的不同对于雅可比迭代法收敛速度是有影响的。 高斯-赛德尔迭代法： n=20;x0=zeros(1,20);b=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]; x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; for j=1:20 x(j)=B(j,:)*x+1/3*b(j); end i=i+1; end x i 所得结果如下： x=
0.380952199300130 0.412920021716459 0.383616068508181
i= 7 可以看出收敛速度加快 ③将 A 的主对角元变为 9（即在我的 matlab 命令中加入 B=B/3） 雅可比迭代法 matlab 实现： n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.00001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B=B/3; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=B*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 得到如下结果： x= 0.333333333333333 0.351851851851852 0.362139917695473 0.363225880201189 0.363571991058274 0.363621385064382 0.363633733565909 0.363635762248302 0.363636181215318 0.363636236342557
10 ②将 A 的主对角元变为 6（即在我的 matlab 命令中加入 B=B/2） 雅可比迭代法 matlab 实现： n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.00001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B=B/2; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=B*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 得到如下结果： x= 0.333333333333333 0.361111111111111 0.377314814814815 0.379822530864197 0.380706661522634 0.380884827246228 0.380936513167295 0.380948234596479 0.380951332402763 0.380952030106882 0.380952176624746 0.380952197555870 0.380952199300130 0.380952199300130 0.380952199300130 0.380952199300130 0.380952199300130
for j=1:20 x(j)=B(j,:)*x+1/3*b(j); end i=i+1; end x i 得到如下结果： x= 0.3333 0.3889 0.4259 0.4367 0.4416 0.4433 0.4440 0.4443 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.5206 0.4571
x(k 1) x(k)

105 ，比较收敛速度，分析现象并得出你的结论。
实验分析：本实验是单纯的数学问题，利用迭代法的有关原理直接进行 matlab 命令执行， 完成实验要求。 实验过程：
(1)
①当 n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20)，误差要求时 M= x 雅可比迭代法 matlab 实现： n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=B*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 得到如下结果：
(2)
取定 b=ones（20,1） ， x (0) =zeros（20,1） ，M= ①主对角元仍为 3 雅可比迭代法 matlab 实现： n=20;x0=zeros(1,20);b=ones(1,20); x=x0';
x (k 1) x (k)
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105
M=0.00001; for i=1:n-2 B(i,i)=0; B(i+1,i)=1/6; B(i+2,i)=1/12; end B(n-1,n-1)=0;B(n,n)=0; B(n,n-1)=1/6;B(n-1,n)=1/6; B; i=0; t=10*ones(20,1); while max(abs(x-t))>M t=x; x=B*x+1/3*b'; i=i+1; end x i 得到结果如下： x= 0.333333333333333 0.388888888888889 0.425925925925926 0.436728395061728 0.441615226337449 0.443329903978052 0.444022919524463 0.444281311918915 0.444382128613524 0.444420464095497 0.444435249220986 0.444440880468446 0.444442989085336 0.444443727101247 0.444443953467472 0.444444009283802 0.444444019361750 0.444444020524590 0.520633995713674 0.457142099873634 i=
(k 1)
x(k)

104 时
x= 0.3333 0.3889 0.4259 0.4367 0.4416 0.4433 0.4440 0.4443 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.4444 0.5206 0.4571
i= 4 ②当改变 x (0) 值后： 当 n=20;x0=ones(1,20);b=ones(1,20)，误差要求时 M= x 雅可比迭代法： n=20;x0=ones(1,20);b=ones(1,20); x=x0'; M=0.0001; for i=1:n-2
(k 1)
x(k)

104 时