圆锥曲线题型归纳(经典含答案)

圆锥曲线题型归纳(经典含

答案)

-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

椭圆题型总结

一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义:

1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙: P 的轨迹是以A 、B 为

焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( B )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点，且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是（ D ）

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.线段

3. 已知1F 、2F

是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动

点Q

的轨迹是( B )

A.椭圆

B.圆

C.直线

D.点

4. 椭圆

19

252

2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 是椭圆的中心，则ON 的值是 4 。

5. 选做：F 1是椭圆15

92

2=+y x 的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （1，1），求||||1PF PA +的最小值。

解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA

(二) 标准方程求参数范围

1. 试讨论k 的取值范围，使方程13

52

2=-+-k y k x 表示圆，椭圆，双曲线。（略）

2.

轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102

2=+>>( C ) A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3. 若方程1cos sin 2

2=+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆，α所在的象限是（ A ）

A.第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

4. 方程2

31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 .

5. 已知方程22

2=+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程

1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，－5），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 1144

1692

2=+x y （2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，－6）；

137

148,113522

222=+=+y x x y 或 （3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程.

1392

2=+y x

2. 简单几何性质

1． 求下列椭圆的标准方程（1）

32,8=

=e c ； （2）过（3，0）点，离心率为36

=

e 。 180144,1801442222=+=+y x x y 或 13

9,19272

222=+=+y x x y 或 （3）椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是3。

112

9,11292

222=+=+y x x y 或 （4）椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为

125

16,125162

222=+=+y x x y 或 （5）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3

5

2，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。

110

35,110352

222=+=+y x x y 或 3．过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若

︒=∠6021PF F ，则椭圆的离心率为_____3

3

________________

（四）椭圆系————共焦点，相同离心率

1．

椭圆

19

252

2=+y x 与

)90(19252

2<<=-+-k k

y k x 的关系为（ A ）

A ．相同的焦点

B 。有相同的准线

C 。有相等的长、短轴

D 。有相等的焦距

2、求与椭圆14

92

2=+y x 有相同焦点，且经过点()23-，的椭圆标准方程。 110

152

2=+y x

（五）焦点三角形4a

1. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点。若

1222=+B F A F ，则=AB 8 。

2. 已知1F 、2F 为椭圆19

252

2=+y x 的两个焦点，过2F 且斜率不为0的直线交椭圆于A 、B 两点，则

1ABF ∆的周长是 20 。

3. 已知C AB ∆的顶点B 、C 在椭圆13

22

=+y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦

点在BC 边上，则C AB ∆的周长为 34 。

（六）焦点三角形的面积：

1. 已知点P 是椭圆14

22

=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，021=•PF PF ，求点P 到x 轴的距离。 解：设),(y x P 则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1

4

32

222y x y x 解得33||=y ，所以求点P 到x 轴的距离为33||=y 2. 设M 是椭圆116

252

2=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，621π=∠MF F ，求21MF F ∆的面积。

解：

|

|||2|

|||24|

|||24||||2|)||(|||||2||||||cos 21212

212

21221212212221PF PF PF PF b PF PF c PF PF PF PF PF PF F F PF PF ⋅⋅-=

⋅-⋅-+=

⋅-+=θ

当621π

=∠MF F ，S=)32(166

sin ||||2121-=⋅πPF PF

3. 已知点P 是椭圆192522=+y x 上的一点，1F 、2F 为焦点，若212

121=••PF PF PF PF ，则21F PF ∆的面积为 33 。

4. 已知AB 为经过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 的面积的

最大值为 cb 。

（七）焦点三角形

1. 设椭圆14

92

2=+y x 的两焦点分别为1F 和2F ，P 为椭圆上一点，求21PF PF •的最大值，并求此时

P 点的坐标。

2. 椭圆12

92

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若41=PF ，则=2PF

2 ；=∠21PF F 120O 。

3. 椭圆14

92

2=+y x 的焦点为1F 、2F ，P 为其上一动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值

范围为 )5

5

3,553(- 。

（八）与椭圆相关的轨迹方程

定义法：